【数学】2018届一轮复习人教A版9-2　两条直线的位置关系　学案

【数学】2018届一轮复习人教A版9-2　两条直线的位置关系　学案

‎1．两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行：‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直：‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎2．几种距离 ‎(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．‎ ‎2．两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.‎ ‎3．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：‎ ‎(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　×　)‎ ‎(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)‎ ‎(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)‎ ‎(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)‎ ‎(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)‎ ‎1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 答案　A 解析　直线x－2y－2＝0可化为y＝x－1，‎ 所以过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝x＋b，‎ 将点(1,0)代入得b＝－.‎ 所以所求直线方程为x－2y－1＝0.‎ ‎2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)‎ A. B．2－ C.－1 D.＋1‎ 答案　C 解析　依题意得＝1.‎ 解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.‎ ‎3．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ 答案　D 解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，‎ 又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，‎ 所以直线l的斜率k＝1.‎ 由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.‎ ‎4．(2017· 朝阳调研)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)‎ A．－10 B．－2 C．0 D．8‎ 答案　A 解析　∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.‎ 又∵l2⊥l3，∴(－)×(－2)＝－1，‎ 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.‎ ‎5．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.‎ 答案　0或1‎ 解析　由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.‎ 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　当m＝2时，代入两直线方程中，‎ 易知两直线平行，即充分性成立．‎ 当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，‎ 解得m＝2或m＝－1，‎ 但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，‎ 故必要性成立，故选C.‎ ‎(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎①试判断l1与l2是否平行；‎ ‎②当l1⊥l2时，求a的值．‎ 解　①方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，‎ l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，‎ l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，‎ l2：y＝x－(a＋1)，‎ l1∥l2⇔解得a＝－1，‎ 综上可知，a＝－1时，l1∥l2.‎ 方法二　由A1B2－A2B1＝0，‎ 得a(a－1)－1×2＝0，‎ 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，‎ ‎∴l1∥l2⇔ ‎⇔⇒a＝－1，‎ 故当a＝－1时，l1∥l2.‎ ‎②方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，‎ l1与l2不垂直，故a＝1不成立；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，‎ l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由(－)·＝－1⇒a＝.‎ 方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.‎ 思维升华　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．‎ ‎　已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：‎ ‎(1)l1∥l2；‎ ‎(2)l1⊥l2.‎ 解　(1)方法一　当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，‎ l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.‎ 当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.‎ 要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±.‎ 所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.‎ 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，‎ 所以sin α＝±，所以α＝kπ±，k∈Z.‎ 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.‎ ‎(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，‎ 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.‎ 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.‎ 题型二　两条直线的交点与距离问题 例2　(1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．‎ ‎(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．‎ 答案　(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 解析　(1)由得 ‎∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．‎ 设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，‎ 则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.‎ ‎∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.‎ ‎(2)方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，‎ 直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 思维升华　(1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．‎ ‎(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎　(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．‎ 解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.‎ 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，‎ ‎∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.‎ 解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.‎ ‎(2)(2016·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0‎ 上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　)‎ A. B．5 C. D．15 答案　B 解析　设P1P2的中点为P(x，y)，则x＝，y＝.‎ ‎∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.‎ ‎∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.‎ ‎∴y＝x－10，∴P(x，x－10)，‎ ‎∴P到原点的距离d＝ ‎＝≥＝5.‎ 题型三　对称问题 命题点1　点关于点中心对称 例3　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．‎ 答案　x＋4y－4＝0‎ 解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ 命题点2　点关于直线对称 例4　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．3 B．6 C．2 D．2 答案　C 解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)．则光线经过的路程为|CD|＝＝2.‎ 命题点3　直线关于直线的对称问题 例5　(2016·泰安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ 解　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设对称点M′(a，b)，则 解得 ‎∴M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，则 由 得N(4,3)．‎ 又∵m′经过点N(4,3)．‎ ‎∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ 思维升华　解决对称问题的方法 ‎(1)中心对称 ‎①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ ‎(2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．‎ ‎　已知直线l：3x－y＋3＝0，求：‎ ‎(1)点P(4,5)关于l的对称点；‎ ‎(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；‎ ‎(3)直线l关于(1,2)的对称直线．‎ 解　(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，‎ ‎∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1. ①‎ 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，‎ ‎∴3×－＋3＝0. ②‎ 由①②得 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，‎ ‎∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．‎ ‎(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，‎ 得关于l的对称直线方程为－－2＝0，‎ 化简得7x＋y＋22＝0.‎ ‎(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，‎ ‎∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．‎ l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，‎ ‎∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，‎ 即3x－y－5＝0.‎ ‎20．妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．‎ 典例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．‎ 思想方法指导　因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．‎ 规范解答 解　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，‎ 又因为直线过点(1,2)，‎ 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.‎ 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.‎ 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．‎ 典例2　求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．‎ 思想方法指导　依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．‎ 规范解答 解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.‎ 三、过直线交点的直线系 典例3　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．‎ 思想方法指导　可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．‎ 规范解答 解　方法一　解方程组得P(0,2)．‎ 因为l3的斜率为，且l⊥l3，‎ 所以直线l的斜率为－，‎ 由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ 方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.‎ 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，‎ 解得λ＝11.‎ ‎∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.‎ ‎1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　(1)充分性：当a＝1时，‎ 直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；‎ ‎(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1.‎ 所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．(2016·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，‎ ‎∴m＝3或m＝－2.‎ ‎∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．‎ ‎3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)‎ A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0‎ 答案　A 解析　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．‎ ‎4．(2017·兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，‎ 则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.‎ 故选B.‎ ‎5．(2016·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为＝≠，所以两直线平行，‎ 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，‎ 即＝，‎ 所以|PQ|的最小值为，故选C.‎ ‎6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，‎ 即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，‎ 于是 解得 故m＋n＝，故选A.‎ ‎7．(2016·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.‎ 答案　0或 解析　由题意得 解得或经检验，两种情况均符合题意，‎ ‎∴a＋b的值为0或.‎ ‎8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．‎ 答案　－1　1　2 解析　若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan ＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.‎ ‎9.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．‎ 答案　6‎ 解析　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴ab－6＝0，ab＝6，b＝.‎ Rt△ABC的面积S＝· ‎＝·＝ ‎≥＝6.‎ ‎10．(2016·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．‎ 答案　(2,4)‎ 解析　如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．‎ ‎∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，‎ ‎∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．‎ 由得Q(2,4)．‎ ‎11．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．‎ ‎(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ 证明　(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．‎ ‎∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，‎ ‎∴解得故直线经过的定点为M(2，－2)．‎ ‎(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ ‎∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，∴|PQ|<4，故所证成立．‎ ‎12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x ‎－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ 解　依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，‎ ‎∴lAC为2x＋y－11＝0，‎ 联立lAC、lCM得∴C(4,3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ ‎∴∴B(－1，－3)，‎ ‎∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，‎ 即6x－5y－9＝0.‎ ‎*13.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．‎ 解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝，即＝，‎ 又a＞0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．‎ 若点P满足条件②，则点P在与l1，‎ l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，‎ 且＝×，‎ 即c＝或，‎ 所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；‎ 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，‎ 有＝×，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；‎ 由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得(舍去)；‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得 所以存在点P同时满足三个条件．‎