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文档介绍
2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 1.1.若集合,则集合( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析:把x=-2,-1,0,1,2代入得y=0,1,2,3,故选C. 【考点】求函数值. 2.若集合中只有一个元素,则 A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 【答案】A 【解析】由题意得方程只有一个实数解,当时,方程无实数解; 当时,则,解得(不符合题意,舍去).故选:A. 3.将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形,矩形的面积关于的函数关系式是,则函数的定义域为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据题意易得,从而得到结果. 【详解】 将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形,则宽为, ∴,解得 ∴函数的定义域为 故选:D 【点睛】 定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出. 4.已知函数,则 A. 3 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 当时,,当时,,从而得到结果. 【详解】 . 故选:B 【点睛】 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 5.已知函数是定义上的增函数,且,则的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据f(x)的定义域以及单调性可得x﹣1,1﹣3x满足的条件,由此即可解得x的范围. 【详解】 由已知可得,解得0≤x. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性以及抽象不等式的解法,解抽象不等式的关键是利用单调性把函数值关系转化为自变量关系. 6.若函数分别是定义上的奇函数、偶函数,且满足,则有() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,所以f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),用﹣x代换x得:f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣f(x)﹣g(x)=2﹣x,又由f(x)﹣g(x)=2x联立方程组,可求出f(x),g(x)的解析式进而得到答案. 【详解】 用﹣x代换x得:f(﹣x)﹣g(﹣x)=2﹣x,即f(x)+g(x)=﹣2﹣x, 又∵f(x)﹣g(x)=2x ∴解得:f(x)=,g(x)=﹣, 故f(x)单调递增,又f(0)=0,g(0)=﹣1,有g(0)<f(2)<f(3) 故选:D. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性性质的应用,以及指数函数的单调性,同时考查了运算求解的能力,属于基础题 7.已知函数满足,则的值是() A. B. C. D. 与有关 【答案】C 【解析】 根据﹣= 12a+6b=0,得到4a+2b=0,从而求出f(2)的值. 【详解】 ∵﹣= 12a+6b=0, ∴4a+2b=0, ∴f(2)=4a+2b+7=7, 故选:C. 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质,属于基础题. 8.若,则,就称是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 31 【答案】B 【解析】 根据“伙伴关系集合”的定义可得具有伙伴关系的元素组是,从而可得结果. 【详解】 因为,则,就称是伙伴关系集合,集合, 所以集合中具有伙伴关系的元素组是, 所以具有伙伴关系的集合有个:,,故选B. 【点睛】 本题主要考查集合与元素、集合与集合之间的关系,以及新定义问题,属于中档题. 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决. 9.若函数,则() A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 根据条件结合对数的运算法则得到f(-x)+f(x)=2,即可得到结论. 【详解】 易知函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2=ln1+2=2,由上式关系知,f(1g2)+f =f(lg2)+f(-lg2)=2. 【点睛】 本题主要考查函数值的计算,根据条件结合对数的运算法则得到f(-x)+f(x)=2是解决本题的关键. 10.若函数的值域为的函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据对数函数的值域便知,(0,+∞)是函数y=ax2+ax+1值域的子集,从而得到,解该不等式组即可得出实数a的取值范围. 【详解】 设y=ax2+ax+1,根据题意(0,+∞)⊆{y|y=ax2+ax+1}; ∴; 解得a≥4; ∴实数a的取值范围为[4,+∞). 故选:C. 【点睛】 本题考查函数值域的概念,对数函数的值域,二次函数的取值和判别式△的关系,以及子集的概念. 11.二次函数的二次项系数为正数,且对任意项都有成立,若,则的取值范围是( ) A. B.或 C. D.或 【答案】C 【解析】试题分析:因为,所以二次函数的对称轴为,且开口向上,,所以 等价于,解得. 【考点】二次函数图象与性质. 12.若,函数表示中的最大一个,则函数的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 8 D. -1 【答案】A 【解析】 分别作出三个函数的图象,利用数形结合求出f(x)的最小值. 【详解】 分别作出的图象如图:(阴影部分对应的曲线ABCDE), 则由图象可知函数f(x)在C处取得最小值, 由,得,即(x)的最小值为2. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查函数最值的判断,利用数形结合是解决本题的关键. 二、填空题 13.函数是幂函数,且当时, 是增函数,则__________. 【答案】2 【解析】由函数是幂函数,且当时, 是增函数可知, ,解得: 故答案为: 14.已知函数,则的值是________________. 【答案】0 【解析】 由已知中函数f(x)=.可得f(x)+=1,进而可得答案. 【详解】 ∵ ∴f(x)+= ∴ . 故答案为:0 【点睛】 本题考查函数表达式的应用,解题关键根据目标结构抽象出f(x)+=0. 15.已知函数是上的单调递增函数,则实数的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析:因为,函数是上的单调递增函数,所以,,解得,实数的取值范围是。 【考点】本题主要考查分段函数的概念,指数函数、一次函数的单调性。 点评:中档题,本题较为典型,综合考查指数函数、一次函数的单调性,处理方法是,数形结合,联想指数函数、一次函数的单调性。 16.若不等式,当上恒成立,则实数的取值范围________________. 【答案】≤a<1 【解析】 要使不等式2x<logax在x∈(0,)时恒成立等价于函数y=logax的图象在(0,)内恒在函数y=2x图象的上方,由此能求出a的取值范围. 【详解】 要使不等式2x<logax在x∈(0,)时恒成立, 即函数y=logax的图象在(0,)内恒在函数y=2x图象的上方,而y=2x图象过点(,). 由loga≥,知0<a<1, ∴函数y=logax递减. 又∵loga≥=logaa, ∴a≥, ∴a≥, ∴所求的a的取值范围是≤a<1. 【点睛】 本题考查函数恒成立问题的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化与数形结合思想的合理运用. 三、解答题 17.已知集合,或. (1)若,求; (2)若,求的取值范围. 【答案】(1)(2)或. 【解析】试题分析:(1)将 代入求集合 ,然后求 ;(2)对集合 是否是空集展开讨论,再根据子集的性质即可求出结果. 试题解析: (1)当时,易得. ∵或,∴. (2)若,即时,,满足. 若,即时,要使,只需或,解得或. 综上所述,的取值范围为或. 18.求值 (1) (2) 【答案】(1)69; (2)14. 【解析】 (1)利用有理数指数幂的运算性质计算即可;(2)利用对数的运算性质即可得到结果. 【详解】 1)原式= . 2) =, ∴ 【点睛】 第(1)题考查有理数指数幂的运算性质和运算法则,第(2)题考查对数的运算性质和运算法则,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 19.已知函数,求的最值及对应的值. 【答案】当x=3时,.当x=1时,. 【解析】 利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】 求出定义域 , ∴当x=3时,.当x=1时, 【点睛】 本题考查对数型复合函数的最值问题,易错点忽视函数的定义域,属于中档题. 20.若二次函数(, , )满足 ,且. (1)求的解析式; (2)若在区间上,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析: (1)由,求出,根据,通过系数相等,从而求出的值,得到的解析式; (2)问题转化为,使不等式成立,令 ,求出的最大值即可. 试题解析:(1)由,得,∴, 又, ∴, 即, ∴∴∴. (2)等价于, 即在上恒成立, 令, ,∴. 【考点】二次函数的性质,函数恒成立问题 21.函数 (1)求证:在上是增函数. (2)若函数是关于的方程在有解,求的取值范围. 【答案】(1)见解析; (2). 【解析】 (1)根据函数单调性的定义即可证明函数f(x)在(﹣∞,+∞)内单调递增; (2)将方程g(x)=m+f(x)转化为m=g(x)﹣f(x),然后求出函数g(x)﹣f(x)的表达式,即可求出m的取值范围. 【详解】 1)(1)任设x1<x2,, ∵x1<x2, ∴, ∴, 即f(x1)<f(x2), 即函数的在定义域上单调递增. 2)由g(x)=m+f(x),∴, 当1≤x≤2时,,, 【点睛】 本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质,考查逻辑推理能力与运算能力. 22.已知函数对于任意的都有,当时,则且 (1)判断的奇偶性; (2)求在上的最大值; (3)解关于的不等式. 【答案】(1) 函数f(x)为奇函数. (2)6. (3)见解析. 【解析】 分析:(1)取x=y=0可得f(0)=0;再取y=﹣x代入即可; (2)先判断函数的单调性,再求函数的最值; (3)由于f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax2)+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2);即f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2);再由函数的单调性可得ax2﹣2x>ax﹣2,从而求解. 详解:(1)取x=y=0, 则f(0+0)=f(0)+f(0); 则f(0)=0; 取y=﹣x,则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x), ∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立 ∴f(x)为奇函数; (2)任取x1,x2∈(﹣∞,+∞)且x1<x2,则x2﹣x1>0; ∴f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0; ∴f(x2)<﹣f(﹣x1), 又∵f(x)为奇函数 ∴f(x1)>f(x2); ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数; ∴对任意x∈[﹣3,3],恒有f(x)≤f(﹣3) 而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=﹣2×3=﹣6; ∴f(﹣3)=﹣f(3)=6; ∴f(x)在[﹣3,3]上的最大值为6; (3)∵f(x)为奇函数, ∴整理原式得 f(ax2)+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2); 即f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2); 而f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数, ∴ax2﹣2x>ax﹣2; ∴(ax﹣2)(x﹣1)>0. ∴当a=0时,x∈(﹣∞,1); 当a=2时,x∈{x|x≠1且x∈R}; 当a<0时,; 当0<a<2时, 当a>2时,. 点睛:根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点:(1)一定注意抽象函数的定义域(这一点是同学们容易疏忽的地方,不能掉以轻心);(2)注意应用函数的奇偶性(往往需要先证明是奇函数还是偶函数);(3)化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.查看更多