数学卷·2018届北京市东城区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届北京市东城区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．﹣45° B．﹣30° C．45° D．135°‎ ‎2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（　　）‎ A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱锥 ‎3．命题“∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（　　）‎ A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立 B．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立 C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立 D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立 ‎4．已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 ‎6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β ‎7．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且，则x0的值为（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）‎ ‎9．若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=　　．‎ ‎10．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为　　．‎ ‎11．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是　　．‎ ‎12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥‎ 平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当 BE⊥PC时，的值为　　．‎ ‎13．已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎14．某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：‎ ‎2000‎ ‎2100‎ ‎2200‎ ‎2300‎ ‎2400‎ 新京报 ‎10‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎10‎ 北京晨报 ‎18‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎2‎ 北京青年报 ‎35‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是　　；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．‎ ‎16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．‎ ‎（ I）求证：AC⊥BD1；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线与直线 AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．‎ ‎17．已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．‎ ‎18．已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．‎ ‎（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．﹣45° B．﹣30° C．45° D．135°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．‎ ‎【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1‎ 所以该直线的斜率k=1，‎ 设直线的倾斜角为α，即tanα=1，‎ ‎∵α∈[0，180°），‎ ‎∴α=45°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（　　）‎ A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱锥 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】在A中，圆锥的横截面是圆；在B中，圆柱的横截面是圆；在C中，球的横截面是圆；在D中，三棱锥的截面不可能是圆．‎ ‎【解答】解：在A中，圆锥的横截面是圆，故A不成立；‎ 在B中，圆柱的横截面是圆，故B不成立；‎ 在C中，球的横截面是圆，故C不成立； ‎ 在D中，三棱锥的截面不可能是圆，故D成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．命题“∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（　　）‎ A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立 B．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立 C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立 D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立 ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，‎ 即∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据直线平行和垂直的关系 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，‎ 即当a⊥c时，b∥c不一定成立，即充分性不成立，‎ 若b∥c，则a⊥c成立，即必要性成立，‎ 则“a⊥c”是“b∥c”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．‎ ‎【解答】解：圆C1：x2+（y﹣1）2=1，表示以C1‎ ‎（0，1）为圆心，半径等于1的圆．‎ 圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0，即 （x﹣3）2+（y﹣4）2=25，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于5的圆．‎ ‎∴两圆的圆心距d==3‎ ‎∵5﹣1＜3＜5+1，故两个圆相交．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；‎ 对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；‎ 对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；‎ 对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且，则x0的值为（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】求出焦点坐标坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x0的值即可．‎ ‎【解答】解：该抛物线C：y2=4x的焦点（1，0）．P（x0，y0）是C上一点，且，‎ 根据抛物线定义可知x0+1=，解得x0=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．‎ 可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，‎ 故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）‎ ‎9．若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=　1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到a的值即可．‎ ‎【解答】解：双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，‎ 可得：，解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎10．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为　3　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ 由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，‎ 直线y=的截距最小，此时z最小，‎ 由，得，即C（3，0）‎ 此时z=3+2×0=3．‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎11．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，‎ 底面面积为：×（1+2）×2=3，‎ 底面周长为：2+2+1+=5+，‎ 高为2，‎ 故棱柱的表面积S=3×2+（5+）×2=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当 BE⊥PC时，的值为　　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当BE⊥PC时，的值为．‎ ‎【解答】解：取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，‎ 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则B（0，0，0），P（，2，0），C（0，，0），‎ 设E（a，b，c），=λ（0≤λ≤1），‎ 则，即（a，b﹣，c）=λ（，0），‎ ‎∴，‎ ‎∴E（），‎ ‎∴=（），=（﹣，，0），‎ ‎∵BE⊥PC，∴ =﹣2λ+﹣（2﹣）2λ=0，‎ 解得．‎ ‎∴当BE⊥PC时，的值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：， ==，可得b=c，a=c，‎ 所以椭圆的离心率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：‎ ‎2000‎ ‎2100‎ ‎2200‎ ‎2300‎ ‎2400‎ 新京报 ‎10‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎10‎ 北京晨报 ‎18‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎2‎ 北京青年报 ‎35‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是　新京报　；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是　北京晨报　．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】求出三种报刊中，日平均销售量，日平均销售利润，可得结论；‎ ‎【解答】解：三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；‎ ‎=1720，‎ ‎=2100‎ ‎∴日平均销售量最大的报刊是新京报； ‎ 设每份北京晨报的销售利润为x元，则新京报为x，北京青年报x，‎ ‎∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300， x×1720，2100x，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．‎ 故答案为新京报，北京晨报．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1，即可求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，与直线m：2x﹣y+2=0联立，求出C的坐标，即可求线段BC的长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1．‎ 所以A（2，1），B（1，﹣1）．‎ 所求直线l的方程为2x﹣y﹣3=0．…‎ ‎（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，‎ 整理，得x+2y﹣4=0．‎ 由解得C（0，2）．‎ ‎．…‎ ‎　‎ ‎16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．‎ ‎（ I）求证：AC⊥BD1；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线与直线 AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结BD，推导出D1D⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥BD1．‎ ‎（Ⅱ）作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．‎ ‎【解答】（本题满分9分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，连结BD．‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，‎ ‎∴D1D⊥平面ABCD．‎ ‎∵AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．‎ ‎∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．‎ ‎∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．…‎ ‎（Ⅱ）存在．答案不唯一，‎ 作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，‎ 且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．‎ 下面给出答案中的两种情况，‎ 其他答案只要合理就可以给满分．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．‎ ‎【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形，因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离，即可求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，‎ 所以圆C的半径r=2．‎ 则所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4． …‎ ‎（Ⅱ）因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．‎ 因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离．‎ 则，解得k=1或k=7． …‎ ‎　‎ ‎18．已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．‎ ‎（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．MNAB．证明EM∥NF．然后过证明EM∥平面ADF．‎ 方法二：证明BC∥AD．说明BC∥平面ADF．通过证明平面BCE∥平面ADF．推出EM∥平面ADF．‎ ‎（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．证明EP⊥平面ABCD，然后利用等体积法求解即可．‎ 方法二：取BE中点Q，连结AQ．说明AQ为四面体A﹣EMC的高．求出．利用等体积法求解体积即可．‎ ‎【解答】（本题满分9分）‎ ‎（Ⅰ）方法一：‎ 取AD中点N，连结MN．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，M为BC中点，‎ ‎∴MNAB．‎ ‎∵四边形ABEF是菱形，∴ABEF．‎ ‎∴MNEF．∴四边形MNFE是平行四边形．∴EM∥NF．‎ ‎∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，‎ ‎∴EM∥平面ADF． …‎ 方法二：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BC∥AD．‎ ‎∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，‎ ‎∴BC∥平面ADF．‎ ‎∵四边形ABEF是菱形，‎ ‎∴BE∥AF．‎ ‎∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，‎ ‎∴BE∥平面ADF．‎ ‎∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，‎ ‎∴平面BCE∥平面ADF．‎ ‎∵EM⊂平面BCE，‎ ‎∴EM∥平面ADF．‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 取AB中点P，连结PE．‎ ‎∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，‎ ‎∴△AEB为正三角形，‎ ‎∴EP⊥AB．‎ ‎∵AB=2，∴．‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABEF，‎ 平面ABCD∩平面ABEF=AB，‎ ‎∴EP⊥平面ABCD，‎ ‎∴EP为四面体E﹣ACM的高．‎ ‎∴． …‎ 方法二：‎ 取BE中点Q，连结AQ．‎ ‎∵在菱形ABEF，∠ABE=60°，‎ ‎∴△AEB为正三角形，‎ ‎∴AQ⊥BE．‎ ‎∵AB=2，∴．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BC⊥AB．‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF．‎ ‎∵AQ⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，‎ ‎∴AQ⊥BC，BC⊥BE．‎ ‎∴AQ⊥平面BEC．∴AQ为四面体A﹣EMC的高．‎ ‎∵CB⊥EB，∴．‎ ‎∴． …‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC．证明GF∥PA．推出GF∥平面PAD．然后证明EF∥AD．得到EF∥平面PAD．即可证明平面EFG∥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．‎ 方法一：证明PE⊥BC，PE⊥AB．得到BC⊥平面PAB．说明PA=PB．当PA⊥PB，时，PA⊥平面PBC．然后求解即可．‎ 方法二：过点P作PQ∥BC．说明PQ，AD共面，推出PE⊥BC．说明∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．然后通过．即时，说明平面PBC⊥平面PAD．．‎ ‎【解答】（本题满分9分）‎ ‎（Ⅰ）证明：连结AC．‎ ‎∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，‎ ‎∴F也是AC的中点．‎ ‎∵G是PC的中点，∴GF是△PAC的中位线，‎ ‎∴GF∥PA．‎ ‎∵GF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴GF∥平面PAD．‎ ‎∵E是AB中点，F是BD中点，‎ ‎∴EF是△ABD的中位线，‎ ‎∴EF∥AD．‎ ‎∵EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD．‎ ‎∵GF∥平面PAD，EF∥平面PAD，EF∩FG=F，‎ ‎∴平面EFG∥平面PAD． …‎ ‎（Ⅱ）解：存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．‎ 方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，AB⊂底面ABCD，‎ ‎∴PE⊥BC，PE⊥AB．‎ ‎∵底面ABCD是矩形，‎ ‎∴AB⊥BC．‎ ‎∵PE∩AB=E，‎ ‎∴BC⊥平面PAB．‎ ‎∵PA⊂平面PAB，‎ ‎∴PA⊥BC．‎ ‎∵PE⊥AB，E为AB的中点，‎ ‎∴PA=PB．‎ 当PA⊥PB，即时，‎ ‎∴PA⊥平面PBC．‎ ‎∵PA⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PBC．此时．…‎ 方法二：过点P作PQ∥BC．‎ ‎∴PQ，BC共面，即PQ⊂平面PBC．‎ ‎∵底面ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∵PQ∥BC，‎ ‎∴PQ∥AD．‎ ‎∴PQ，AD共面，即PQ⊂平面PAD．‎ ‎∴平面PBC∩平面PAD=PQ．‎ ‎∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，‎ ‎∴PE⊥BC．‎ ‎∵底面ABCD是矩形，‎ ‎∴AB⊥BC．‎ ‎∵PQ∥BC，‎ ‎∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．‎ ‎∵PE∩AB=E，‎ ‎∴PQ⊥平面PAB．‎ ‎∵PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ ‎∴PA⊥PQ，PB⊥PQ，‎ ‎∴∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．‎ ‎∵平面PAD⊥平面PBC，‎ ‎∴∠APB=90°．‎ ‎∵PE⊥AB，E为AB的中点，‎ ‎∴PA=PB．‎ ‎∴△PAB是等腰直角三角形．‎ ‎∴．即时，平面PBC⊥平面PAD． …‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），列出方程组求解a，b即可．‎ ‎（Ⅱ）设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x0，y0）．利用直线与椭圆联立方程组，利用判别式以及韦达定理，通过两点间距离公式，求出四边形面积表达式，利用0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．求解四边形MNPQ面积的最大值．‎ ‎【解答】（本题满分8分）‎ 解：（Ⅰ）根据题意得，解得．‎ 所求椭圆方程为．…‎ ‎（Ⅱ）因为MN=MQ，PN=PQ，所以对角线MP垂直平分线段NQ．‎ 设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x0，y0）．‎ 由得4x2+6nx+3n2﹣3=0．‎ 令△=48﹣12n2＞0，得n2＜4.，．‎ 则．‎ 同理．‎ 所以．‎ 又因为，所以NQ中点．‎ 由点A在直线MP上，得n=﹣2m，‎ 所以．‎ 因为0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．‎ 所以当m=0时，四边形MNPQ面积的最大值为3．…‎