四川省南充市高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

四川省南充市高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

南充高中2019－2020学年度上学期期中考试 高2018级数学试题（理科）‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用较恰当的方法是（ ）‎ A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样 D. 分层抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．‎ ‎【详解】因为该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本．‎ ‎2.下列函数为偶函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对于中，故排除 对于中，故排除 对于中 故排除 故选 ‎3.已知等差数列，若，则前7项的和是（ ）‎ A. 112 B. 51 C. 28 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由等差数列的通项公式结合题意有：，‎ 求解关于首项、公差的方程组可得：，‎ 则数列的前7项和为：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4.已知向量，，若，则实数（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再根据即可解出m．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴1-2(m+1)＝0，解得m．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎5.下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得，解得，即可估计黑色部分的面积为9，选B．‎ ‎6.袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（ ）‎ A. 恰有1个白球和全是白球 B. 至少有1个白球和全是黑球 C. 至少有1个白球和至少有2个白球 D. 至少有1个白球和至少有1个黑球 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，进而可分析四个事件的关系；‎ ‎【详解】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故 ‎①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，‎ ‎②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；‎ ‎③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，‎ ‎④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．‎ ‎7.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．‎ ‎【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．‎ 由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，‎ 又乙班学生的平均分是86，‎ 总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，‎ 可得x+y＝8．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．‎ ‎8.某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（ ）‎ A. 7.2 B. 7.16 C. 8.2 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中位数两侧的面积相等，可解出中位数．‎ ‎【详解】因为在频率分布直方图中，中位数两侧的面积相等，所以0.04×2+0.12×2+（x﹣6）×0.15＝0.5，‎ 可解出x＝7.2，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数，熟记中位数的计算方法是关键，属于基础题．‎ ‎9.若正整数N除以正整数m后余数为r，则记为，例如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的（ ）‎ A. 8 B. 18 C. 23 D. 38‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】由已知中的程序框图可知：‎ 该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：‎ ‎①被3除余2，‎ ‎②被5除余3，‎ ‎③被7除余2，‎ 故输出的i为23，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．‎ ‎10.已知一个样本为x，1，y，5，其中x,y是方程组 的解，则这个样本的标准差是（ ）‎ A. 2 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得数据的平均数2，由方差公式计算可得s2[12+x2+y2+52﹣42]＝5，进而计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，x，y是方程组的解，‎ 则样本x，1，y，5中，有x+1+y+5＝（x+y）+1+5＝8，其平均数 其方差s2[12+x2+y2+52﹣42]＝5，‎ 则标准差s，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据平均数、方差的计算公式，属于基础题．‎ ‎11.过点斜率为k的直线l与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线方程得出该曲线为半圆，作出图象，然后根据图象可得，相切时有最小值，经过点（﹣1，1）时有最大值．‎ ‎【详解】由题意有，曲线方程可化为（x+2）2+（y﹣1）2＝1（y≥1），其轨迹为直线y＝1上方的半圆（含与y＝1的交点），圆心为（﹣2，1）半径r＝1，‎ 直线l的方程为：y﹣4＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4＝0，‎ 作出图象：‎ 当直线l与半圆相切时，‎ ‎ ‎ 解得k或k（交点在y＝1下方，舍去）‎ 当直线经过点B（﹣1，1）时，‎ k ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、直线的斜率，考查数形结合思想，抓住临界位置是关键，属于基础题．‎ ‎12.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r的值，由圆A上有且仅有三个不同点到直线l的距离为，则圆心A到直线l的距离等于r，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的取值范围，然后根据直线斜率与倾斜角的关系，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求出直线l的倾斜角．‎ ‎【详解】由圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，则圆心为（2，2），半径为，设直线为y＝kx 圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于r=，‎ ‎∴整理得：k2﹣4k+1≤0，解得：2k≤2，‎ 由tan15°＝tan（45°﹣30°）2，‎ tan75°＝tan（45°+30°）2，‎ k＝tanα，则直线l的倾斜角的取值范围，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两角和与差的正切函数公式，直线斜率与倾斜角的关系，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知两点，关于坐标平面xoy对称，则________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与点（a，b，c）关于平面xoy对称点的坐标为（a，b，﹣c）．‎ ‎【详解】∵两点P（3，1，a），Q（3，b，2）关于坐标平面xOy对称，‎ ‎∴a＝﹣2，b＝1，‎ 则a+b＝﹣2+1＝﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】本题考查代数式值的求法，考查空间直角坐标系中对称点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14.圆关于直线对称的圆的标准方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求已知圆的圆心坐标关于直线3x﹣4y+5＝0的对称点的坐标，求出半径 即可得到对称圆的方程．‎ ‎【详解】圆x2+y2+4x﹣12y+39＝0化为：（x+2）2+（y﹣6）2＝1，‎ 圆心O坐标是（﹣2，6），‎ 半径R＝1，‎ 直线3x﹣4y+5＝0，与这条直线垂线的直线方程应该是 yx+c，‎ 将圆心O（﹣2，6）代入方程，‎ 得到经过O点和直线3x﹣4y+5＝0垂直的直线方程是：yx垂足是 a（1，2），‎ 那么对称点O′的坐标是O′（4，﹣2），‎ 所以求出对称圆的圆心坐标 O′（4，﹣2），半径r＝R＝1，‎ 得到对称圆方程：‎ ‎（x﹣4）2+（y+2）2＝1．‎ 故答案为：（x﹣4）2+（y+2）2＝1．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，本题考查函数和方程的思想，注意垂直条件的应用．‎ ‎15.已知直线平行，则__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用两直线平行对应的系数关系列式求得m的值．‎ ‎【详解】：∵l1：x+my+6=0，l2‎ ‎：（m-2）x+3y+2m=0， 若l1∥l2，则 ，解得：m=-1． 故答案为-1．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对两直线系数所满足关系的记忆，是基础题．‎ ‎16.已知A,B两点分别在两直线，上运动，是线段AB的中点，且，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A（m，）、B（ n，），表示出点P的坐标，根据，可得m+n＜2，由于则，设m+n＝t，则t＜2，构造函数f（t），求出函数的值域即可．‎ ‎【详解】设A（m，）、B（ n，），则中点P（，）．‎ ‎∵P（x0，y0）是线段AB的中点，∴x0，y0．‎ ‎∵，∴•，‎ ‎∴m+n＜2，‎ 则，‎ 设m+n＝t，则t＜2，‎ ‎∴f（t），‎ 易知函数f（t）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递减，‎ 当t→﹣∞时，f（t）→，f（2），‎ 故f（t）的范围为（﹣∞，）∪（，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，）∪（，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查了中点坐标公式，函数的值域的求法，函数的单调性，属于中档题．‎ 三、解答题（17题10分，18～22题每题12分）‎ ‎17.已知圆M的方程是 ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若圆M与圆外切，求实数m的值.‎ ‎【答案】(1) (2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）配方得，由5-m>0求解即可 ‎（2）根据两圆相外切的充要条件，圆心距等于半径之和，求出参数m的值．‎ ‎【详解】（1）圆M的标准方程是，则 故m的取值范围是 ‎（2）由已知得圆标准方程是 圆与圆相外切，则圆心距等于半径之和，即 ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，两点间的距离公式的应用，两圆相切的充要条件，属于基础题型．‎ ‎18.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：‎ 分组 男生人数 ‎2‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎3‎ 女生人数 ‎3‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?‎ ‎（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.‎ ‎①求男生和女生各抽取了多少人；‎ ‎②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.‎ ‎【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．② ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数．‎ ‎（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ ‎【详解】（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）‎ ‎（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．‎ 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故．‎ ‎【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎19.已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为.求：‎ ‎（1）直线BC的斜截式方程；‎ ‎（2）的面积.‎ ‎【答案】(1) (2)8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点B（m，n），由题意利用三角形中线的性质求出B的坐标，同理可得C的坐标，可得BC斜率，再利用点斜式求出直线BC的的方程．‎ ‎（2）先求出线段BC的长度，再利用点到直线的距离公式求出点A到直线BC的距离h，从而求得△ABC的面积．‎ ‎【详解】（1）设点，则点，由已知有 故点，同理设则 则点，故直线的方程为，化为斜截式方程为 ‎（2）由（1）知，直线的一般式方程为 边上的高即点到直线的距离为 ‎【点睛】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，属于基础题 ‎20.随着人们经济收入的不断增加，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：‎ 使用年限x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 总费用y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎（1）求线性回归方程；‎ ‎（2）估计使用年限为12年时，使用该款车的总费用是多少万元?‎ 线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，‎ ‎【答案】(1) (2) 14.84万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知表格中的数据求得进而求得与的值，则线性回归方程可求；‎ ‎（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝12求得y值即可．‎ ‎【详解】（1）由表可得，‎ ‎，，‎ ‎，所求线性回归方程为 ‎（2）当时，，即使用12年的车的总费用大概为14.84万元．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．‎ ‎21.如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，，平面ABC，D为PA中点，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出PA⊥BC，BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．‎ ‎（2）推导出BC⊥平面PAC，从而平面PBC⊥平面PAC，作DE⊥PC于点E，连接BE，则DE⊥平面PBC，∠DBE是直线BD与平面PBC所成的角．由此能求出直线BD与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）平面 为圆的直径 又故平面 ‎（2）由（1）知平面，又平面，‎ 故平面平面 而平面平面，‎ 作于点，连接，则平面 故是直线与平面所成的角． ‎ 由题意有，， ‎ 由与相似有，即 又 在中， ‎ 故直线BD与平面PBC所成角的正弦值是．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎22.已知的三顶点坐标分别为，，．‎ ‎（1）求的外接圆圆M的方程；‎ ‎（2）已知动点P在直线上，过点P作圆M的两条切线PE,PF，切点分别为E,F.‎ ‎①记四边形PEMF的面积分别为S，求S的最小值；‎ ‎②证明直线EF恒过定点.‎ ‎【答案】(1) (2) ①4；②定点，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），分别代入A，B，C三点，解方程可得a，b，r，可得所求圆M的方程；‎ ‎（2）①由三角形的面积公式可得S＝|PE|•|EM|＝2|PE|，结合勾股定理和点到直线的距离公式，可得所求最小值；‎ ‎②判断四点P，E，M，F共圆，求得以PM为直径的圆的方程和圆M方程，相减可得直线EF的方程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点．‎ ‎【详解】（1）设的外接圆圆M的标准方程为，根据题意有 故所求的圆M的方程为 ‎（2）①，故当最小时，S最小．‎ 的最小值即为点到直线的距离 故 ‎②由圆的切线性质有，则，，，，四点共圆，该圆是以PM为直径的圆，设圆心为点N．点P是直线上一动点，设，则圆N的方程为 圆M与圆N相交于点E,F 由消去，得直线EF的方程为 即，令得 故直线EF恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的性质，以及直线恒过定点的求法，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎