高考文科数学复习：夯基提能作业本 (22)

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第四节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 A组　基础题组 ‎1.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin‎4x-‎π‎3‎的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(　　)‎ A.向左平移π‎12‎个单位 B.向右平移π‎12‎个单位 C.向左平移π‎3‎个单位 D.向右平移π‎3‎个单位 ‎2.(2016陕西渭南模拟)将y=f(x)的图象向左平移π‎3‎个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin‎3x-‎π‎6‎的图象,则f(x)=(　　)‎ A.2sin‎3‎‎2‎x+‎π‎6‎ B.2sin‎6x-‎π‎6‎ C.2sin‎3‎‎2‎x+‎π‎3‎ D.2sin‎6x+‎π‎3‎ ‎3.(2016河南洛阳统考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(　　)‎ A.f(x)=sin‎3x+‎π‎3‎ B.f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎ C.f(x)=sinx+‎π‎3‎ D.f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎ ‎4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ A.5 B.6 C.8 D.10‎ ‎5.已知直线y=m(00)的图象依次交于A(1,m),B(5,m),C(7,m)三点,则ω=(　　)‎ A.π‎3‎ B.π‎4‎ C.π‎2‎ D.‎π‎6‎ ‎6.(2017福建南平模拟)将函数y=sin‎4x-‎π‎6‎图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移π‎4‎个单位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是(　　)‎ A.x=π‎12‎ B.x=π‎6‎ C.x=π‎3‎ D.x=-‎π‎12‎ ‎7.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位长度后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π‎3‎,则φ=(　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ ‎8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎,y=f(x)的部分图象如图,则fπ‎24‎=　　　　. ‎ ‎9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=　　　　. ‎ ‎10.已知f(x)=sinωx+‎π‎3‎(ω>0), fπ‎6‎=fπ‎3‎,且f(x)在区间π‎6‎‎,‎π‎3‎上有最小值,无最大值,则ω=　　　　. ‎ ‎11.已知函数f(x)=4cos ωx·sinωx+‎π‎6‎+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值;‎ ‎(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.‎ B组　提升题组 ‎12.(2016湖南长沙四校模拟)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎≤φ<‎π‎2‎图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π‎3‎个单位长度得到y=sin x的图象,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.‎2kπ-π‎12‎,2kπ+‎‎5π‎12‎,k∈Z B.‎2kπ-π‎6‎,2kπ+‎‎5π‎6‎,k∈Z C.kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎,k∈Z D.kπ-π‎6‎,kπ+‎‎5π‎6‎,k∈Z ‎13.要得到函数f(x)=cos‎2x+‎π‎3‎的图象,只需将函数g(x)=sin‎2x+‎π‎3‎的图象(　　)‎ A.向左平移π‎2‎个单位长度 B.向右平移π‎2‎个单位长度 C.向左平移π‎4‎个单位长度 D.向右平移π‎4‎个单位长度 ‎14.(2016宁夏银川模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点‎-π‎12‎,0‎到其相邻的一条对称轴的距离为π‎4‎,若fπ‎12‎=‎3‎‎2‎,则函数f(x)在‎0,‎π‎2‎上的最小值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.-‎3‎ C.-‎3‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎15.函数f(x)=cos(πx+φ)‎0<φ<‎π‎2‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求φ及图中x0的值;‎ ‎(2)设g(x)=f(x)+fx+‎‎1‎‎3‎,求函数g(x)在区间‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎3‎上的最大值和最小值.‎ ‎16.已知函数f(x)=‎3‎sin ωx·cos ωx+cos2ωx-‎1‎‎2‎(ω>0),其最小正周期为π‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移π‎8‎个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间‎0,‎π‎2‎上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.B　将函数y=sin 4x的图象向右平移π‎12‎个单位可得到函数y=sin‎4‎x-‎π‎12‎=sin4x-π‎3‎的图象.‎ ‎2.B　y=2sin‎3x-‎π‎6‎y=2sin‎6x-‎π‎6‎f(x)=2sin6x-‎π‎3‎-π‎6‎=2sin‎6x-‎π‎6‎.‎ ‎3.D　由图象可知A=1,T‎4‎=‎5π‎12‎-π‎6‎,∴T=π,‎ ‎∴ω=‎2πT=2,故排除A,C,把x=π‎6‎,y=1代入检验知,选项D符合题意.‎ ‎4.C　由题图可知-3+k=2,k=5,∴ymax=3+5=8.‎ ‎5.A　f(x)=sin ωx+‎3‎cos ωx=2sinωx+‎π‎3‎.由f(1)=f(5)=f(7)知x=3和x=6是函数f(x)图象的相邻的两条对称轴,‎ ‎∴T‎2‎=3,即T=6,∴‎2πω=6(ω>0),得ω=π‎3‎,故选A.‎ ‎6.A　将函数y=sin‎4x-‎π‎6‎图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到的图象对应的函数解析式为g(x)=sin‎2x-‎π‎6‎,再将g(x)=sin‎2x-‎π‎6‎的图象向左平移π‎4‎个单位(纵坐标不变)得到y=gx+‎π‎4‎=sin‎2x+‎π‎4‎-‎π‎6‎=sin‎2x+π‎2‎-‎π‎6‎=sin‎2x+‎π‎3‎的图象,‎ 由2x+π‎3‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),得x=kπ‎2‎+π‎12‎,k∈Z.当k=0时,x=π‎12‎,即x=π‎12‎是变化后的函数图象的一条对称轴的方程,故选A.‎ ‎7.D　由已知得g(x)=sin(2x-2φ),若满足|f(x1)-g(x2)|=2,则不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=π‎3‎,令2x1=π‎2‎,2x2-2φ=-π‎2‎,此时|x1-x2|=π‎2‎‎-φ=π‎3‎,又0<φ<π‎2‎,故φ=π‎6‎,故选D.‎ ‎8.答案　‎‎3‎ 解析　由T‎2‎=‎3π‎8‎-π‎8‎=πω×‎1‎‎2‎,得ω=2,‎ ‎∴f(x)=Atan(2x+φ).‎ 又图象过点‎3π‎8‎‎,0‎,∴Atan‎3π‎4‎‎+φ=0,‎ 又|φ|<π‎2‎,∴φ=π‎4‎,∴f(x)=Atan‎2x+‎π‎4‎.‎ 又图象过点(0,1),即Atanπ‎4‎=1,故A=1,‎ ‎∴f(x)=tan‎2x+‎π‎4‎,‎ ‎∴fπ‎24‎=tan‎2×π‎24‎+‎π‎4‎=tanπ‎3‎=‎3‎.‎ ‎9.答案　2‎2‎+2‎ 解析　由题图知A=2,ω=‎2π‎2×(6-2)‎=π‎4‎,且可取φ=0,则f(x)=2sin πx‎4‎,则T=8, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0.‎ 又2 012=251×8+4,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sinπ‎4‎+sin‎2π‎4‎+sin‎3π‎4‎+sin‎4π‎4‎=2‎2‎+2.‎ ‎10.答案　‎‎14‎‎3‎ 解析　依题意知,当x=π‎6‎‎+‎π‎3‎‎2‎=π‎4‎时,y有最小值,‎ ‎∴sinπ‎4‎‎·ω+‎π‎3‎=-1,∴π‎4‎ω+π‎3‎=2kπ+‎3π‎2‎(k∈Z).‎ ‎∴ω=8k+‎14‎‎3‎(k∈Z),∵f(x)在区间π‎6‎‎,‎π‎3‎上有最小值,无最大值,∴π‎3‎-π‎4‎≤πω,即ω≤12,令k=0,得ω=‎14‎‎3‎.‎ ‎11.解析　(1)f(x)=4cos ωx·sinωx+‎π‎6‎+a=4cos ωx·‎3‎‎2‎sinωx+‎1‎‎2‎cosωx+a ‎=2‎3‎sin ωxcosωx+2cos2ωx-1+1+a=‎3‎sin 2ωx+cos 2ωx+1+a=2sin‎2ωx+‎π‎6‎+1+a.‎ 当sin‎2ωx+‎π‎6‎=1时, f(x)取得最大值2+1+a=3+a,‎ 又f(x)图象上最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,∴a=-1.‎ 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,∴f(x)的最小正周期T=π,∴2ω=‎2πT=2,∴ω=1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎,‎ 由π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 得π‎6‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ 令k=0,得π‎6‎≤x≤‎2π‎3‎,‎ ‎∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎.‎ B组　提升题组 ‎12.C　解法一:将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后图象对应的函数为y=sin‎1‎‎2‎ωx+φ,再向左平移π‎3‎个单位长度得到的图象对应的函数为y=sin‎1‎‎2‎ωx+‎π‎3‎+φ=‎ sin‎1‎‎2‎ωx+ωπ‎6‎+φ=sin x,又ω>0,所以‎1‎‎2‎ω=1,‎ωπ‎6‎‎+φ=2kπ,k∈Z,‎所以ω=2,又-π‎2‎≤φ<π‎2‎,所以φ=-π‎3‎,则f(x)=sin‎2x-‎π‎3‎,由2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,可得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎5π‎12‎,k∈Z.则函数f(x)的单调递增区间为kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎,k∈Z.选C.‎ 解法二:将y=sin x的图象向右平移π‎3‎个单位长度得到的图象对应的函数为y=sinx-‎π‎3‎,将函数y=sinx-‎π‎3‎的图象上每一点的横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎(纵坐标不变)后图象对应的函数为y=sin‎2x-‎π‎3‎=f(x),由2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,可得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎5π‎12‎,k∈Z,则函数f(x)的单调递增区间为kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎,k∈Z.选C.‎ ‎13.C　因为f(x)=cos‎2x+π‎2‎-‎π‎6‎=sinπ‎6‎‎-2x=sin‎2x+‎‎5π‎6‎ ‎=sin2x+‎π‎4‎+π‎3‎,‎ 所以要得到函数f(x)=cos‎2x+‎π‎3‎的图象,只需将函数g(x)=sin‎2x+‎π‎3‎的图象向左平移π‎4‎个单位长度.故选C.‎ ‎14.C　由题意得,函数f(x)的最小正周期T=4×π‎4‎=π=‎2πω,解得ω=2.因为点‎-π‎12‎,0‎在函数f(x)的图象上,所以Asin2×‎-‎π‎12‎+φ=0,解得φ=kπ+π‎6‎,k∈Z,由0<φ<π,可得φ=π‎6‎.因为fπ‎12‎=‎3‎‎2‎,所以Asin‎2×π‎12‎+‎π‎6‎=‎3‎‎2‎,解得A=‎3‎,所以f(x)=‎3‎sin‎2x+‎π‎6‎.当x∈‎0,‎π‎2‎时,2x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,则sin‎2x+‎π‎6‎∈‎-‎1‎‎2‎,1‎,则当2x+π‎6‎=‎7π‎6‎,即x=π‎2‎时,函数f(x)取得最小值,且最小值为-‎3‎‎2‎,故选C.‎ ‎15.解析　(1)由题图得f(0)=‎3‎‎2‎,所以cos φ=‎3‎‎2‎,因为0<φ<π‎2‎,所以φ=π‎6‎.‎ 由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1

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