2020届二轮复习第6讲　基本不等式课件（24张）（江苏专用）

2020届二轮复习第6讲　基本不等式课件（24张）（江苏专用）

第 6 讲　基本不等式 第6讲　基本不等式 1.已知正实数 x , y 满足( x -1)( y +1)=16,则 x + y 的最小值为 　　　     . 答案 　8 解析 　由题意可得 y =   -1>0,所以1< x <17,所以 x + y =( x -1)+   ≥ 8,当且仅当 x = 5时取等号,所以 x + y 的最小值为8. 2.若实数 x , y 满足 x 2 + y 2 =2( x + y ),则 x + y 的最大值是 　　　     . 答案 　4 解析 　因为 x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy =2( x + y ),所以( x + y ) 2 -2( x + y )=2 xy ≤   ,即   ( x + y ) 2 -2( x + y ) ≤ 0,所以0 ≤ x + y ≤ 4,故 x + y 的最大值是4. 3.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,10)已知 a >0, b >0,且 a +3 b =   -   ,则 b 的最大值为 　　　     . 答案        解析 　由 a +3 b =   -   可得   -3 b = a +   ≥ 2(当且仅当 a =1时取等号),即3 b 2 +2 b -1 ≤ 0,解得-1 ≤ b ≤   ,又 b >0,所以0< b ≤   ,所以 b 的最大值为   . 4.(2019徐州检测,12)已知正实数 x , y 满足   +   =1,则 x + y 的最小值为      　　     . 答案        解析        +   =1可化为   +   =1, 令 m =2( x + y ), 得   +   =1, 去分母,得 m + y +4( m - y )= m 2 - y 2 , 即 m 2 -5 m = y 2 -3 y , 所以 m 2 -5 m +   =   ≥ 0, 由题意得 m >1,所以 m ≥   , 即2( x + y ) ≥   ,所以 x + y ≥   , 即 x + y 的最小值为   . 一题多解     设 m =2 x + y , n =2 x +3 y ,则 m >0, n >0, x + y =   , 原等式可化为   +   =1, 则 x + y =   =   ·   =     ≥   × (5+4)=   , 当且仅当   =   , 即 n =2 m 时,取“=”. 5.若正数 x , y 满足   +   =1,则 x + y 的最小值为 　　　     . 答案　 2+2   解析 　由题意得 x + y = x +( y +2)-2=[ x +( y +2)]·   -2=2+   +   ≥ 2+2   ,当且仅当   =   ,且   +   =1,即 x = y =   +1时等号成立,故 x + y 的最小 值为2+2   . 题型一　直接利用基本不等式求最值 例1 　(1)(2018江苏,13,5分)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,∠ ABC = 120 ° ,∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D ,且 BD =1,则4 a + c 的最小值为 　　　     . (2)(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系 xOy 中, P 是曲线 y = x +   ( x >0)上的一个 动点,则点 P 到直线 x + y =0的距离的最小值是 　　　     . 答案 　(1)9　(2)4 解析 　(1)以点 B 为原点, BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则 D (1,0), C   , A   , 由点 A , D , C 三点共线可得   =   ,化简得 ac = a + c ,则   +   =1,则4 a + c =(4 a + c )   =5+   +   ≥ 5+2   =9,当且仅当 c =2 a 时取等号,故4 a + c 的最小值为9. (2)本题通过曲线 y = x +   ( x >0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距 离公式、基本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的 运算求解能力,体现了从几何关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心 素养. 设 P   , x 0 >0,则点 P 到直线 x + y =0的距离 d =   =     ≥ 4, 当且仅当 x 0 =   ,即 x 0 =   时取“=”. 故点 P 到直线 x + y =0的距离的最小值是4. 一题多解     当点 P 到直线 x + y =0的距离最小时,在点 P 处的切线与直线 x + y =0平 行. 设 P   , x 0 >0,易知 y '=1-   , 令1-   =-1,得   =2. ∵ x 0 >0,∴ x 0 =   ,∴ P (   ,3   ). 此时点 P 到直线 x + y =0的距离为   =4. 故点 P 到直线 x + y =0的距离的最小值是4. 【方法归纳】　(1)基本不等式是解决最值问题的重要工具,条件是“一正二 定三相等”,应用时要注意对条件逐一验证,尤其是等号成立的条件.(2)“1” 的代换是基本不等式应用的常用题型,灵活应用“1”的代换凑出应用基本 不等式的条件是解题的关键.(3)分母是多项式,不便于利用基本不等式时,可 通过换分母,变为单项式,再利用基本不等式求解最值,同时要注意对条件 “一正二定三相等”逐一检验. 1-1     (2019常州期末,9)已知正数 x , y 满足 x +   =1,则   +   的最小值为 　　　     . 答案 　4 解析        +   =   × 1=     =2+   +   ≥ 2+2   =4,当且仅当   =   ,即 y = x 2 时,取“=”,故   +   的最小值为4. 1-2     (2019南京、盐城期末,12)若正实数 a , b , c 满足 ab = a +2 b , abc = a +2 b + c ,则 c 的最大值为 　　　     . 答案        解析 　由 abc = a +2 b + c , ab = a +2 b , 得 c =   =   =1+   , ∵ ab = a +2 b ,∴   +   =1, ∴ a +2 b =( a +2 b )   =4+   +   ≥ 4+2   =4+4=8,当且仅当 a =2 b ,即 a =4, b = 2时取等号. ∴ c ≤   . 题型二　基本不等式与构造法、放缩法的综合 例2 　已知正数 x , y , z 满足 x 2 + y 2 + z 2 =1,则 S =   +   的最小值是 　　　     . 答案 　3+2   解析 　由题意可得 x , y , z ∈(0,1), x 2 + y 2 =1- z 2 =(1+ z )(1- z ) ≥ 2 xy ,则   ≥   ,当且仅 当 x = y 时取等号,则 S =   +   ≥   +   =   [(1- z )+ z ]=3+   +   ≥ 3+2   =3+2   ,当且仅当   =   ,1- z =   z , z =   -1时取等号,故当 x = y =   , z =   -1时, S 取得最小值3+2   . 【方法归纳】　(1)当目标函数与基本不等式的应用在形式上相差较大时,可 根据目标函数的特征构造出相应的图形,再结合图形对目标函数化简、求解; (2)当目标函数较复杂时,可根据已知条件对目标函数化简,必要时可利用放 缩法. 2-1     (2018江苏扬州中学高三模拟)已知 x , y 均为非负实数,且 x + y ≤ 1,则4 x 2 +4 y 2 +(1- x - y ) 2 的取值范围为       . 答案        解析 　因为 x , y ≥ 0,所以   ≤ x 2 + y 2 ≤ ( x + y ) 2 .令 t = x + y ,则0 ≤ t ≤ 1.故4 x 2 +4 y 2 + (1- x - y ) 2 ≤ 4 t 2 +(1- t ) 2 =5 t 2 -2 t +1 ≤ 4,当 xy =0且 t =1,即 x =0, y =1或 x =1, y =0时取等号;另 一方面,4 x 2 +4 y 2 +(1- x - y ) 2 ≥ 2 t 2 +(1- t ) 2 =3 t 2 -2 t +1 ≥   , 当 x = y =   时取等号.所以4 x 2 +4 y 2 +(1- x - y ) 2 ∈   . 题型三　利用基本不等式解决实际问题 例3     (2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,17)为了保护环 境,2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度,并给予已经对废气污水 处理的企业适当补偿.某医药企业引进污水处理设备,经测算2019年月处理污 水成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为 y =   且每处理一吨污水,可得到价值为100元的可利 用资源,若污水处理不获利,国家将给予补偿. (1)当 x ∈(200,500]时,企业是否需要国家补贴,什么情况下企业需要申请国家 补贴? (2)每月的处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 解析 　(1)需要.当 x ∈(200,500]时,设该污水处理项目 获利为 s 元,则 s =100 x -   =-   ( x 2 -600 x +90 000)+5 000=-   ( x -30 0) 2 +5 000, 当 s ≤ 0时,5 000 ≤   ( x -300) 2 ⇒ 10 000 ≤ ( x -300) 2 ⇒ x ≤ 200或 x ≥ 400, ∴当400 ≤ x ≤ 500时,企业需要申请国家补贴. (2)由题意,可知污水的每吨处理成本为   =   当 x ∈[120,200]时,   在 x =120处取得最小值240. 当 x ∈(200,500]时,   =   x +   -200 ≥ 2   -200=200(   -1),当且仅 当   x =   ,即 x =200   时取“=”,故   的最小值为200(   -1). 因为200(   -1)<240,所以当每月的处理量为200   吨时,才能使每吨的平均处 理成本最低. 【方法归纳】　基本不等式是解决实际问题中最值问题的常用方法,解题步 骤如下:一是由实际问题建立目标函数,即将实际问题转化为数学问题;二是 利用基本不等式求解最值,注意对条件逐一检验,尤其是等号成立的条件,若 等号取不到,则应用函数在定义域上的单调性求解.