【数学】2020届一轮复习（理，鲁津京琼）人教B版1-3-1等式与不等式的性质学案
第3节 相等关系与不等关系
第1课时 等式与不等式的性质
考试要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
[微点提醒]
1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.
2.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔<.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(2)a＝b⇔ac＝bc.( )
(3)若>1，则a>b.( )
(4)0
1，但a(＋)2，∴＋>＋.
答案 >
4.(2018·衡阳联考)若a，b，c为实数，且a D.a2>ab>b2
解析 c＝0时，A项不成立；
－＝>0，选项B错；
－＝＝<0，选项C错.
由aab>b2.D正确.
答案 D
5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.所以a＋b>c不一定正确.因为2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2ca B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A.MN
C.M＝N D.不确定
(3)(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则( )
A.a0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0.所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.
(3)法一 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝
log6251 024>1，所以b>c.即c0，得0e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
答案 (1)A (2)B (3)B
规律方法 1.作差法一般步骤：
(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【训练1】 (1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).
(2)若00，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，
∴(a3＋b3)－(a2b－ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)∵01且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2＋<.即a<2ab<.
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，
即a2＋b2>.
∵ (2)a<2ab<ac B.c(b－a)<0
C.cb20
(2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析 (1)由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立.
(2)法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
答案 (1)A (2)C
规律方法 解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证；
(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【训练2】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c).
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①② C.②③ D.①②③
解析 (1)a>|b|能推出a>b，进而得a3>b3；当a3>b3时，有a>b，但若b|b|不成立，所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件.
(2)由不等式性质及a>b>1，知<，又c<0，
∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，
又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.
答案 (1)A (2)D
考点三 不等式及其性质的应用 多维探究
角度1 不等式在实际问题中的应用
【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.
②该小组人数的最小值为________.
解析 令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则440 km/h
C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h
解析 由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v≤40 km/h，故选D.
答案 D
2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)
C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化
解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x).
答案 B
3.若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 －>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ －>0.故选A.
答案 A
4.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0 B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0 D.a＋b<0
解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，
当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，所以a＋b<0，故选D.
答案 D
5.(2019·北京东城区综合练习)已知x，y∈R，那么“x>y”的充要条件是( )
A.2x>2y B.lg x>lg y
C.> D.x2>y2
解析 因为2x>2y⇔x>y，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A确；lg x>lg y⇔x>y>0，则“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件，B错误；“>”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件.
答案 A
6.(2018·湖州质检)若实数m，n满足m>n>0，则( )
A.－<－ B.－<
C.> D.m2N B.M0，1＋b>0，1－ab>0，
所以M－N＝＋＝>0.故选A.
答案 A
8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且09
解析 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)
得解得
则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，
由0”“<”或“＝”).
解析 分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.
答案 <
10.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
解析 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
答案 [5，10]
11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确的命题是________(填序号).
解析 ∵ab>0，bc－ad>0，
∴－＝>0，∴①正确；
∵ab>0，又－>0，即>0，
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又－>0，即>0，
∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.
答案 ①②③
12.已知a>0，b>0，a≠b，则aabb与(ab)的大小关系是________.
解析 ＝.
当a>b>0时，>1，>0，
则>1，∴aabb>(ab).
当b>a>0时，0<<1，<0，
则>1，∴aabb>(ab).
答案 aabb>(ab)
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
13.已知00 B.2a－b<
C.log2a＋log2b<－2 D.2＋<
解析 由题意知02＝2，所以2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，得ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)n≥2，所以mn≥4；
结合定义及p⊕q≤2，可得或
即qa>ab，则实数b的取值范围是________.
解析 因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；当a<0时，b2<1b>c，求的取值范围.
解 因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c).又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>.
所以解得－2<<－.
即的取值范围为
新高考创新预测
17.(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有( )
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，B、D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选A，B，D.
答案 ABD
