2018届二轮复习直线与圆教学案文学案（全国通用）

2018届二轮复习直线与圆教学案文学案（全国通用）

专题13 直线与圆 ‎(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．‎ ‎(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．‎ ‎(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．‎ ‎1．直线方程 ‎(1)直线的倾斜角与斜率的关系 倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.‎ 倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．‎ 当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．‎ 当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．‎ ‎(2)直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1)‎ 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 ＋＝1‎ 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 适合所有的直线 ‎(3)两直线的位置关系 位置关系 l1：y＝k1x＋b1‎ l2：y＝k2x＋b2‎ l1：A1x＋B1y＋C1＝0‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0‎ 平行 k1＝k2，且b1≠b2‎ A1B2－A2B1＝0，且B‎1C2－B‎2C1≠0‎ 相交 k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k2＝－1‎ A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝0‎ 重合 k1＝k2且b1＝b2‎ A1B2－A2B1＝0且B‎1C2－B‎2C1＝0‎ ‎(4)距离公式 ‎①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离 ‎|P1P2|＝.‎ ‎②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ ‎2．圆的方程 ‎(1)圆的方程 ‎①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.‎ ‎②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F>0)，圆心坐标为，半径r＝.‎ ‎(2)点与圆的位置关系 ‎①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d0)的位置关系如下表.‎ 方法位置关系 几何法：根据d＝与r的大小关系　‎ 代数法： 消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 相交 d0‎ 相切 d＝r Δ＝0‎ 相离 d>r Δ<0‎ ‎(4)圆与圆的位置关系 表现形式 位置关系 几何表现：圆心距d与r1、r2的关系 代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况 相离 d>r1＋r2‎ 无解 外切 d＝r1＋r2‎ 一组实数解 相交 ‎|r1－r2|0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】(1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.‎ ‎　　‎ 图①　　　　　　　　图②‎ ‎(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈ ‎(∵00恒成立 ，‎ ‎∴b∈∩，即b∈.故选B.‎ 考点二　两直线的位置关系 例2、【2016高考上海文数】已知平行直线，则的距离___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两平行线间距离公式得.‎ 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)‎ A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0‎ ‎【答案】C ‎【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.‎ 考点三　圆的方程 例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】（1）不会；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设, ,则满足，所以.‎ 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标2文数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎ 【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，14)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．‎ ‎【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，‎ 令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.故圆的标准方程为＋y2＝.‎ ‎【答案】＋y2＝ 考点四　直线与圆、圆与圆的位置关系 例4．【2016高考江苏卷】‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15.‎ ‎【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．‎8 ‎ C．4 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋‎ ‎(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.‎ ‎1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中, 点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎2.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】（1）不会；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设, ,则满足，所以.‎ 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.‎ 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.‎ 联立又，可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径 故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎1.【2016高考新课标2文数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎2.【2016高考上海文数】已知平行直线，则的距离___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两平行线间距离公式得.‎ ‎3.【2016高考新课标3文数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）（II）‎ ‎.‎ 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ ‎5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎1．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．‎ ‎【答案】(x－1)2＋y2＝2‎ ‎【解析】直线mx－y－‎2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.‎ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎2．(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．‎4‎ C．6 D．2 ‎【答案】C ‎【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a ‎×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝‎ ＝6，选C.‎ ‎3．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎【答案】D ‎【解析】圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如 ‎1. 【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．‎ ‎【考点定位】直线与圆相交的弦长问题．‎ ‎2. 【2014全国2高考文第16题】设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，‎ 过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=，‎ 解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是 ‎.‎ ‎【考点定位】直线与圆的位置关系 ‎3.【2014四川高考文第14题】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【考点定位】直线与圆 ‎4. 【2014重庆高考文第13题】已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设圆心到直线的距离为 解得：‎ 所以答案应填：‎ ‎【考点定位】直线与圆的位置关系 ‎5.【2014陕西高考第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】圆的标准方程.‎ ‎6. 【2014高考湖北卷文第12题】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.‎ ‎【考点定位】直线与圆 ‎7. 【2014大纲高考文第15题】直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】显然两切线，斜率都存在．设圆过的切线方程为 ‎，则圆心到直线的距离等于半径，，解得由夹角公式得与的夹角的正切值：．‎