排列组合与二项式定理高考试题

排列组合与二项式定理高考试题

排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016 年四川高考）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数 为( ) （A）24 （B）48 （C）60 （D）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5，其他 位置共有 ，所以其中奇数的个数为 ，故选 D. 2.（2015 年四川高考）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（ ） （A）144 个 （B）120 个 （C）96 个 （D）72 个 【答案】B【解析】据题意，万位上只能排 4、5.若万位 上排 4，则有 个；若万位上 排 5，则有 个.所以共有 个.选 B. 3. （2015 年广东高考）某高三毕业班有 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言， 那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】 ．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 人中任选两人的 排列数，所以全班共写了 条毕业留言，故应填入 ． 4．(2014 大纲全国，理 5)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组 成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)． A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 答案：C 解析：从 6 名男医生中选出 2 名有 种选法，从 5 名女医生中选出 1 名有 种 选法，故共有 种选法，选 C. 5．(2014 福建，理 10)用 a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式 1＋a＋b＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球 都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别 的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 是(　　)． A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5 C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取 0,1,2,3,4,5 个红球，有 1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5 种取法；第二步，取 0 或 5 个蓝球，有 1＋b5 种取法；第三步，取 5 个有区别的黑球，有(1 ＋c)5 种取法．所以共有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 种取法．故选 A. 6．(2014 辽宁，理 6)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 3 42 A× 3 43 A× 3 42 A× 3 43 5 24 120A+ × = × = 40 1560 40 2 40 40 39 1560A = × = 1560 4 4A 4 43 72A = 2 6C 1 5C 2 1 6 5 6 5C C 5 752 1 ×⋅ = × =× (　　)． A．144 B．120 C．72 D．24 答案：D 解析：插空法．在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可．故 排法种数为 ＝24.故选 D. 7．(2014 四川，理 6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有(　　)． A．192 种 B．216 种 C．240 种 D．288 种 答案：B 解析：(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为 ；(2)当最左端排乙的时候，排法 种数为 . 因此不同的排法的种数为 ＝120＋96＝216. 8．(2014 重庆，理 9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目 的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)． A．72 B．120 C．144 D．168 答案：B 解析：解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类 ，然后利用插空法将 剩余 3 个节目排入左边或右边 3 个空，故不同排法有 .第二类也分两步，先排 歌 舞 类 ， 然 后 将 剩 余 3 个 节 目 放 入 中 间 两 空 排 法 有 ， 故 不 同 的 排 法 有 ，故共有 120 种不同排法，故选 B. 9．(2014 浙江，理 14)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张奖 券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案：60 解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有 种；二是有三人各获得一张奖券，共有 种．因此不同的获奖情况有 36＋24 ＝60 种． 10．(2014 北京，理 13)把 5 件不同产品摆成一排．若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产 品 C 不相邻，则不同的摆法有__________种． 答案：36 解析：产品 A，B 相邻时，不同的摆法有 种．而 A，B 相邻，A，C 也 相邻时的摆法为 A 在中间，C，B 在 A 的两侧，不同的摆法共有 (种)．故产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻的不同摆法有 48－12＝36(种)． 11．(2013 山东，理 10)用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有 9 种方法(0 不能作首位)，第二步，排十位数字，有 9 种方法，第三步，排个位数字，有 8 种 方法，根据乘法原理，共有 9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位 数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252. 12．(2013 福建，理 5) 满足 a，b∈{－1，0，1，2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数 解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 B　[解析] 当 a＝0 时，2x＋b＝0，∴ x＝－b 2，有序数对(0，b)有 4 个；当 a≠0 时，Δ＝4－ 4ab≥0，∴ ab≤1，有序数对(－1，b)有 4 个，(1，b)有 3 个，(2，b)有 2 个，综上共有 4＋ 4＋3＋2＝13 个，故选 B. 13．(2013 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________ 种．(用数字作答) 480 [解析] 先排另外四人，方法数是 A44，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是 A25，根 据乘法原理得不同排法共有 A44A25＝24×20＝480 种． 14．(2013 北京，理 13) 将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至 少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 3 4A 5 5A 1 4 4 4C A 5 1 4 5 4 4A +C A 3 3A 3 3 3 3A 2A 72⋅ = 3 3A 1 2 2 2 2 2C A A 3 2 2 1 3 2 2 2A A A C 48= 2 2 3 4C A =36 3 4A =24 2 4 2 4A A =48 2 3 2 3A A =12 96　[解析] 5 张参观券分为 4 堆，有 2 个连号有 4 种分法，然后每一种全排列有 A 44种方法， 所以不同的分法种数是 4A44＝96. 解析：按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组，然后再分配给 4 人，连号 的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5，故其方法数是 4A44＝96. 15．(2013 浙江，理 14) 将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧， 则不同的排法共有________种(用数字作答)． 480　[解析一] 先在 6 个位置找 3 个位置，有 C 36种情况，A，B 均在 C 的同侧，有 CAB， CBA，ABC，BAC，而剩下 D，E，F 有 A 33种情况，故共有 4C36A33＝480 种． 解析二：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能 力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，C36C12A22A33＝480. 16．（2012·安徽卷）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多 交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换， 则收到 4 份纪念品的同学人数为(　　) A．1 或 3 B．1 或 4 C．2 或 3 D．2 或 4 D [解析] 任意两个同学之间交换纪念品共要交换 C26＝15 次，如果都完全交换，每个人都要 交换 5 次，也就是得到 5 份纪念品，现在 6 个同学总共交换了 13 次，少交换了 2 次，这 2 次如果不涉及同一个人，则收到 4 份纪念品的同学人数有 4 人；如果涉及同一个人，则收到 4 份纪念品的同学人数有 2 人，答案为 D. 17．（2012·辽宁卷）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种 数为(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! C　[解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还 是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进 行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为 A33·A33·A33·A33＝(3！)4. 18．(2011 北京，理 12)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样 的四位数共有__________个.（用数字作答） 【答案】 【解析】个数为 . 19．(2010 山东，理 8)某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排 在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编 排方案共有（ ） （A）36 种 （B）42 种 (C)48 种 （D）54 种 【答案】B【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有 种，另一类甲排在第二位共 有 种，故编排方案共有 种，故选 B. 14 42 2 14− = 4 4 24A = 1 3 3 3 18C A = 24 18 42+ = 20.（2009 四川卷理）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女 生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 解析：6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 种， 其中男生甲站两端的有 ，符合条件的排法故共有 288 解析 2：由题意有 ,选 B. 21.（2009 天津卷理）用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 解析：个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有： 种；个位、十 位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有： 种，所以共有 个. 22.（2009 浙江卷理）甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同 一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 答案：336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 种；若有一个台阶有 2 人， 另一个是 1 人，则共有 种，因此共有不同的站法种数是 336 种．. 23．(2009·宁夏、海南，12)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若 每天安排 3 人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)． 解析：法一：先从 7 人中任取 6 人，共有 C67种不同的取法．再把 6 人分成两部分，每部分 3 人，共有C36C33 A22 种分法．最后排在周六和周日两天，有 A 22种排法，∴C67×C36C33 A22 ×A22＝140 种． 法二：先从 7 人中选取 3 人排在周六，共有 C37种排法．再从剩余 4 人中选取 3 人排在周日， 共有 C 34种排法，∴共有 C37×C34＝140 种．答案：140 24．（2010 浙江，10）有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、 “肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不 重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一 人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)． 解析：上午测试安排有 A 44种方法，下午测试分为： (1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有 2 种方法测试； (2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有 C13种方法选择，其余三位同学选 1 1442 2 2 3 2 3 2 2 1 2 =AACAA 901 3 3 3 1 4 3 3 2 3 =+ CACAC 2341 3 3 3 2 3 1 3 1 4 3 3 2 3 =+ CACCCAC 32423490 =+ 3 7 2 3 7A 3 2 2 2 3 3 4 2A C A A 432= 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 42A (C A ) C C +A (C A ) A 288⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 3 7C A 人测试“握力”有 C 13种方法，其余两位只有一种方法，则共有 C13·C13＝9 种， 因此测试方法共有 A44·(2＋9)＝264 种．答案：264 25．(2009·辽宁，5)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其 中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　) A．70 种 B．80 种 C．100 种 D．140 种 解析：分恰有 2 名男医生和恰有 1 名男医生两类，从而组队方案共有：C25×C14＋C15×C24＝70 种．答案：A 26．（2013 重庆，5）从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾 医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________(用数字作 答)． 解析：本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3 名骨科，内科、 脑外科各 1 名；3 名脑外科，骨科、内科各 1 名；3 名内科，骨科、脑外科各 1 名；内科、 脑外科各 2 名，骨科 1 名；骨科、内科各 2 名，脑外科 1 名；骨科、脑外科各 2 名，内科 1 名．所以选派种数为 C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C13·C14＋C24·C25·C13＋C23·C25·C14＋C23·C24·C15＝590. 答案：590 27．（2012 新课标全国，5）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有(　　) A．12 种 B．10 种 C．9 种 D．8 种 解析：先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共 有 C12C24＝12 种安排方案．答案：A 二、二项式定理 1、（2016 年北京高考）在 的展开式中， 的系数为__________________.（用数 字作答） 【答案】60. 2、（2016 年山东高考）若（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是—80，则实数 a=_______. 【答案】-2 6(1 2 )x− 2x 1 x 3、（2016 年上海高考）在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常 数项等于_________21 教育网 【答案】112 4、（2016 年四川高考）设 i 为虚数单位，则 的展开式中含 x4 的项为（ ） （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 5、（2016 年天津高考） 的展开式中 x2 的系数为__________.(用数字作答) 【答案】 6、（2016 年全国 I 高考） 的展开式中，x3 的系数是 .（用数字填写答 案） 【答案】 n xx      − 23 6( i)x + 2 81( )x x − 56− 5(2 )x x+ 10