【数学】2020届一轮复习人教A版 不等式选讲学案
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.含绝对值不等
式的解法
理解绝对值的几何意义,会证明和求解绝对值不等式
掌握
2018课标全国Ⅰ,23;
2018课标全国Ⅰ,24
解答题
★★★
2.不等式的证明
了解证明不等式的基本方法
掌握
2018课标全国Ⅱ,23;
2018课标全国Ⅱ,24
解答题
★★☆
分析解读 1.本章主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.
五年高考
考点一 含绝对值不等式的解法
1.(2018课标全国Ⅰ,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
解析 本题考查绝对值不等式的求解.
(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①
当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;
当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1
1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)
3.(2018课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.(5分)
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).(10分)
教师用书专用(4—12)
4.(2018山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )
A.(-∞,4) B.(-∞,1)
C.(1,4) D.(1,5)
答案 A
5.(2018湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
解析 (1)证明:由a>0,得f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.
所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得30,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明 本题考查不等式的证明.
(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)
=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
2.(2018江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.
证明 本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.
由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
因为a2+b2=4,c2+d2=16,
所以(ac+bd)2≤64,
因此ac+bd≤8.
3.(2018课标全国Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
解析 (1)f(x)=(2分)
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)
当-cd,则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,
由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.
因此+>+.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得+>+.
(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是
(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
教师用书专用(5—9)
5.(2018陕西,15A,5分)(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .
答案 2
6.(2018湖南,16(3),6分)选修4—5:不等式选讲
设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
证明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得00,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解析 (1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.
故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
8.(2018福建,21(3),7分)选修4—5:不等式选讲
已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
解析 (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2
=(p+q+r)2=9,
即p2+q2+r2≥3.
9.(2018课标全国Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)易证+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
三年模拟
A组 2018—2018年模拟·基础题组
考点一 含绝对值不等式的解法
1.(2018湖南长沙第二次模拟,23)已知函数f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.
(1)证明:f(x)≥;
(2)若f(4)<13,求a的取值范围.
解析 (1)证明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|≥|(x+a2)-(x-a-1)|=|a2+a+1|=+≥.
(2)因为f(4)=|a2+4|+|a-3|=
所以f(4)<13⇔或
解得-20恒成立,求实数n的最小值;
(2)若函数f(x)=求函数g(x)=f(x)+h(x)的值域.
解析 (1)h(x)-|x-2|≤n对任意的x>0恒成立,
等价于-|x-3|-|x-2|≤n对任意的x>0恒成立,
等价于-n≤(|x-2|+|x-3|)min.
因为|x-2|+|x-3|≥|x-2-(x-3)|=1,
当且仅当x∈[2,3]时取到等号,所以-n≤1,得n≥-1.
所以实数n的最小值为-1.
(2)因为f(x)=g(x)=f(x)+h(x),
所以g(x)=f(x)-|x-3|=
当02恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)原不等式等价于或或
解得2恒成立⇔log2(a2-3a)+26的解集;
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立,求m的取值范围.
解析 (1)当m=3时,f(x)>6,即|x+3|-|x-5|>6.
∴或或解得x≥5或46的解集为{x|x>4}.
(2)f(x)=|x+m|-|5-x|≤|(x+m)+(5-x)|=|m+5|.
由题意得|m+5|≤10,即-10≤m+5≤10,解得-15≤m≤5.
故m的取值范围为[-15,5].
C组 2018—2018年模拟·方法题组
方法1 含绝对值不等式的解法
1.(2018四川成都第七中学一诊,23)已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.
(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;
(2)若函数y=x2+2x+3与y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.
解析 (1)当m=5时, f(x)=
所以不等式f(x)>2的解集为.
(2)二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1时取到最小值2,
因为f(x)=在x∈[-1,1]时取到最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4.所以实数m的取值范围是[4,+∞).
2.(2018广东韶关1月调研,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R).
(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且⊆A,求实数m的取值范围.
解析 (1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,
则f(x)≤2⇒|x-1|+|2x-1|≤2,
上述不等式可化为
或或
解得或或
∴0≤x≤或2时,a-1>, f(x)≤0的解集为,
∴∩[0,2]≠⌀,∴a-1≥0且≤2,∴23的解集为P.
(1)求P;
(2)若a,b∈P,且a3不成立;当-43,解得x>0,∴03成立,故P={x|x>0}.
(2)证明:∵a>0,b>a,∴a(b-a)≤=,当且仅当b=2a时取等号,又b<1,故+≥+=[b2+(1-b2)]·=5++≥9,当且仅当即a=,b=时取等号.
