数学理卷·2018届广西陆川县中学高三10月月考（2017

数学理卷·2018届广西陆川县中学高三10月月考（2017

广西陆川县中学2017年秋季期高三10月月考 理科数学试题 ‎ 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A＝{x｜－x≤0}，B＝{x｜a－1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a＝‎ ‎ A．0 B．‎1 C．2 D．1或2‎ ‎2．设复数z满足iz＝｜2＋i｜＋2i，则｜z｜＝‎ ‎ A．3 B． C． 9 D．10‎ ‎3. 已知 为第二象限角， ，则 （  ） A． B． C． D． ‎ ‎4. 若向量 、 满足 ， ，则向量 与 的夹角等于 （  ） A． B． C． D． ‎ ‎ 5. 已知数列{a n }中， ， ，则 等于（  ） A．1 B．-1 C． D．-2 ‎ ‎6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，则  的最小正周期是（  ） A．6π B．5π C．4π D．2π ‎ ‎7. 若“ ”是“不等式 成立”的必要而不充分条件，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． ‎ ‎8. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为 （  ） A．2 B． C．1 D． ‎ 9. 已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大小关系是 （  ） A． ＞ ＞ B． ＞ ＞ C． ＞ ＞ D． ＞ ＞ ‎ ‎10. 由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（  ） A． B．4 C． D．6 ‎ ‎11. 在锐角三角形 中， ，则 的取值范围是（  ） A．（1， ） B．（ ， ） C．（ ，5） D．（ ，5） ‎ ‎12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎13. 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝ . ‎ ‎14．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.‎ ‎15．在△ABC中，sinA ：sinB ：sinC＝2 ：3 ：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为___________．‎ ‎16.已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、 “小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元 ‎ (不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．‎ ‎(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；‎ ‎(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ P A B D C ‎18.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎19. (本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x+a,且当x∈时,f(x)的最小值为2.‎ ‎(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.‎ ‎20. (本小题满分12分)设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对任意，都有，求的取值范围.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数．　‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，，且对于任意的，，都有成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．‎ ‎（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值； （2）若，，求的最大值.‎ 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：1-6 ：C A A D C A；7-12 ：A D D A B A ‎ ‎13.【答案】 2. 14．【答案】　 ‎【解析】　由(1＋2ai)i＝1－bi得－‎2a＋i＝1－bi∴∴∴|a＋bi|＝＝ ‎15. －1/4 16.[答案]　－2 [解析]　∵f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数， ∴‎ m2－4＝0，∴m＝±2.‎ ‎∵g(x)在(－∞，＋∞)内单调递减，∴g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，‎ 则16＋‎12m≤0，解得m≤－，∴m＝－2.‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 则 答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.................................4分 ‎(Ⅱ)可能取值有2, 2.5， 3, 3.5， 4‎ ‎ ； ；‎ ‎； ‎ ‎................................................................................................................9分 甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为 ‎ ....................................................................................11分 所以 ‎ .....................................12分 ‎18.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.‎ 又因为平面,所以.‎ 又,所以⊥平面. ‎ 又平面，所以 ………………6分 P A B D C M N ‎（Ⅱ）解：依题意,知 平面平面，交线为，‎ 过点作，垂足为，则平面.‎ 在平面内过作，垂足为，连,‎ 则⊥平面，所以为二面角 的一个平面角 . ………………9分 ‎∵，,‎ ‎∴, . ………………10分 又，故. 所以. ………………11分 ‎∴.‎ 即二面角的余弦值为. ………………12分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎19.解 (1)f(x)=2cos2x+2·sin xcos x+a=cos 2x+1+sin 2x+a=2sin+a+1,‎ ‎∵x∈,∴2x+,‎ ‎∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,‎ ‎∴f(x)=2sin+3. ………………4分 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). ………6分 ‎(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin+3, ………8分 由g(x)=4可得sin,‎ ‎∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+(k∈Z), 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解得x=或x=(k∈Z), ………10分 ‎∵x∈,∴x=或x=,‎ ‎∴所有根之和为. ………12分 ‎20. 试题解析：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，‎ 又，即，所以 . ………4分 ‎（2）的定义域为，‎ ，………6分 ‎①若，则，故当时，，在上单调递增.‎ 所以，对任意，都有的充要条件为，即，‎ 解得或 .………8分 ‎②若，则，故当时，；当时，‎ ，在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，对任意，都有的充要条件为，‎ 而在上恒成立，‎ 所以 .………10分 ‎③若，在上递减，不合题意. ………11分 综上，的取值范围是. ………12分 ‎21.解：（1）依题意，，‎ 令，解得，故函数的单调递增区间为．………4分 ‎（2）当，对任意的，都有；‎ 当时，对任意的，都有；‎ 故对恒成立，或对恒成立，‎ 而，设函数，．　‎ 则对恒成立，或对恒成立，‎ ‎， ………7分 ‎①当时，∵,∴，∴恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，，‎ 故在上恒成立，符合题意．　………9分 ‎②当时，令，得，令，得，‎ 故在上单调递减，所以，‎ 而，设函数，，‎ 则，令，则0（）恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，∴恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，∴恒成立，‎ 即，而，不合题意．　‎ 综上，故实数的取值范围为. ………12分 ‎ ‎22．解（Ⅰ） 由题意知，直线的直角坐标方程为：，………………2分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ∵曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎ ∴曲线的参数方程为：．………………5分 ‎ （Ⅱ） 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：‎ ‎ ，………………7分 ‎∴当sin（600－θ）=-1时，点P（），此时．………10分 ‎23. (本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】 (1) 由于，………………3分 所以. ………………5分 ‎(2)由已知，有，‎ 因为（当取等号），（当取等号），‎ 所以，即，‎ 故 ………………10分 ‎