2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中数学理试题（解析版）

2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中数学理试题（解析版）

2017-2018 学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中数学理试题（解析 版） 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1. 复数 的虚部为__________． 【答案】 【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数 为 的形式，即可得到复数虚部. 详解： ，则复数的虚部 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意 和 以及 运算的准确性，否则很容易出现错误. 2. 用反证法证明命题“若 能被 2 整除，则 中至少有一个能被 2 整除”，那么反设的内容是 __________． 【答案】 都不能被 2 整除 【解析】试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求． 解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b 都不能被 2 整除”， 故答案为：a、b 都不能被 2 整除． 点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题． 3. 设复数 虚数单位),的共轭复数为，则 ________. 【答案】 【解析】分析：由 ，可得 ，代入 ，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求 解即可. 详解：因为 ，所以 ， ，故答案为 . 点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意 和 4. 用数学归纳法证明不等式“ 对于 的自然数 都成立”时，第一步证明中的起始值自然数 应取 为__________． 【答案】 5. 三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__________．(填 写序号) 【答案】② 【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提． 考点：演绎推理． 6. 观察下列等式： ………… 据此规律，第 个等式可为___________. 【答案】 【解析】试题分析：观察等式知：第 n 个等式的左边有 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1， 分母是 1 到 的连续正整数，等式的右边是 . 故答案为 . 考点：归纳推理. 7. 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数有__________ 个 【答案】 【解析】分析：用 组成无重复数字的五位奇数，可以看作是 个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制, 因此先从 个奇数中任选 个填入个位,其它 个数在 个位置上全排列即可. 详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 中的一个数，共有3 种排法，然后还剩 个数，剩余的 个数可以在十位到万位 个位置上全排列，共有 种排法，由分步乘法计数原理得，由 组成的无重复 数字的五位数中奇数有 个，故答案为 . 点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方 法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置. 8. 设 ，那么 ______． 【答案】 【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出 与 项数变化规律以及之间的关系即可得到结论. 详解： ， ， ， 故答案为 . 点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意 两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 9. 已知 ，则 _________. 【答案】 【解析】分析：由组合数性质得 ，解方程求出 ，进而能求出 的值. 详解： ， ， 化简得 ， ， ，解得 或 （舍去）， ，故答案为 . 点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1） ；（2） ；（3） . 10. 的展开式中 的系数为 70，则 ________． 【答案】 【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式,再令 的幂指数等于 ,求得的值,即可求得展开式中的 的系数, 再根据 的系数为 70 ,求得的值. 详解： 的展开式中通项公式的为 ， 令 ，求得 ，故 的系数为 ， 则 ，故答案为 . 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一， 关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ； （可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定 理的应用. 11. 在数列 中， ，可以猜测数列通项 的表达式为_________. 【答案】 【解析】分析：根据， ，，依次由 ，分别求出 ，仔细观察 ， 总结规律，可猜想 . 详解： ， ， ， 由此猜测 ，故答案为 . 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明 确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子 的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等 差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 12. 记等差数列 得前 项和为 ，利用倒序相加法的求和办法，可将 表示成首项 ，末项 与项数的一个关 系式，即 ；类似地，记等比数列 的前 项积为 ，类比等差数列的求和方法，可将 表示为首项 ，末项 与项数的一个关系式，即公式 ______． 【答案】 【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从 而可得结果，. 详解：在等差数列 得前 项和为 ， 因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积， 所以各项均为正的等比数列 的前 项积 ， 故答案为 . 点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比； （2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比. 13. 已知 ，则 __________． 【答案】 【解析】 ， ， ，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热 点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项展开式定理的应用. 14. 学校将从 4 名男生和 4 名女生中选出 4 人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任 一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 _________种． 【答案】 【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同 的组队形式的种数，然后求和即可得出结论. 详解：若甲乙都入选，则从其余 人中选出 人，有 种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩 手，则有 种，故共有 种； 若甲不入选，乙入选，则从其余 人中选出 人，有 种，女生乙不适合担任四辩手，则有 种，故共 有 种； 若甲乙都不入选，则从其余 6 人中选出 人，有 种，再全排，有 种，故共有 种，综上所 述，共有 ，故答案为 . 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。） 15. (1)设 . ①求 ； ②求 ； ③求 ； （2）求 除以 9 的余数． 【答案】（1）① ，② ，③ ；（2） . 【解析】分析：(1)①利用赋值，令 即可计算 的值；②令 ，结合①即可求出 的值；③令 ，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把 分解为 的倍数形式，从而可 得结果. 详解：(1)①令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. ②令 x＝－1 得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得 a0＋a2＋a4＝136. ③令 x＝0 得 a0＝(0－1)4＝1， 得 a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15. （2）解　 ＝89－1＝(9－1)9－1 ， 显然上式括号内的数是正整数． 故 S 被 9 除的余数为 7. 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及各项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高 考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往利用利用赋值法：（1）令 可求得 ；（2） 令 结合（1）可求得 与 的值. 16. 已知复数 满足 为虚数单位）． （1）求 ； （2）设 ，在复平面内求满足不等式 的点 构成的图形面积． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】分析：（1）利用复数除法的运算法则即可得出；（2）结合（1），利用复数模的几何意义可得在复平 面内求满足不等式 的点 构成的图形是一个圆环，面积圆的方程及其面积计算公式即可得出点 构成 的图形面积. 详解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴ ； （2）在复平面内求满足不等式 1≤|z﹣w|≤2 的点 Z 构成的图形为一个圆环， 其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2 为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1 为半径的圆,在复平面内求 满足不等式 1≤|z﹣w|≤2 的点 Z 构成的图形面积=22π﹣12×π=3π． 点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若 ，则 表示点 与点 的距离， 表示以 为圆心，以为半径的圆. 17. （1）证明：当 时， ； （2）已知 ，且 ，求证： 与 中至少有一个小于 2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】分析：（1）利用分析法证明，将不等式两边平方整理后，可得 ，再平方比较 与 的大小可 得答案；（2）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明，假设 与 均不小于 ，可得 ，与已知 相矛盾，其否定不成立，以此来证明结论成立. 详解：证明： （1）要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 由于 ，只要证 ， 最后一个不等式成立，所以 （2）（反证法）假设 均不小于 2，即 ≥2， ≥2， ∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知 x+y＞2 矛盾， 故 中至少有一个小于 2． 点睛：本题主要考查利用反证法以及分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证 明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也 就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 18. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名.选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方 法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员. 【答案】（1） 种；（2） 种；（3） 种. 【解析】试题分析：（1）第一步：选 3 名男运动员，有 种选法.第二步：选 2 名女运动员，有 种选法. （2）将“至少 1 名女运动员”转化为其反面“全是男运动员”. (种).（3）当有女队长时，其他人 选法任意，不选女队长时，必选男队长.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时共有 种选法 试题解析： ⑴第一步：选 3 名男运动员，有 种选法. 第二步：选 2 名女运动员，有 种选法. 共有 (种)选法. ⑵“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”. 从 10 人中任选 5 人，有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种. 所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 (种). (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运 动员的选法有 种，所以不选女队长时共有 种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有 (种). 点睛：做排列组合问题时首先将题意分析清楚，当遇到正面情况比较多时，可以先求其反面然后再求解，对于情 况比较多的可以根据元素分析法逐一讨论分析，务必要注意讨论的完整性 19. 已知在 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求 的值． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3） . 【解析】试题分析：（1）求二项展开式中特定项，关键在从通项出发，找寻对应等量关系. 由 解得 n=10,因为通项： ,当 5﹣ 为整数，r 可取 0，6,于是有理项为 T1=x5 和 T7=13400,（2）求展开式中系数绝对值最大的项，通过列不等式解决. 设第 r+1 项系数绝对值最大，则 ,解得 ，于是 r 只能为 7,所以系数绝对值最大的项为 ,（3）本题是二 项式定理的逆向应用,关键将式子转化符合二项展开式的特征. （1）由 解得 n=10 （2 分） 因为通项： （3 分） 当 5﹣ 为整数，r 可取 0，6 （4 分） 展开式是常数项，于是有理项为 T1=x5 和 T7=13400 （6 分） （2）设第 r+1 项系数绝对值最大，则 （8 分） 注：等号不写扣（1 分） 解得 ，于是 r 只能为 7 （10 分） 所以系数绝对值最大的项为 （11 分） （3） 13 分 .16 分 考点：二项展开式定理 20. 已知数列 是等差数列， . (1)求数列 的通项公式 ； (2)设数列 的通项 (其中 且 )记 是数列 的前 项和，试比较 与 的大小， 并证明你的结论. 【答案】（1） ；（2）当 时， ,当 时， ，证明见解析. 【解析】分析：（1）根据数列 是等差数列，由 ，利用 建立 的方程，解之即可； （2）要比较 与 的大小，可先比较 与 的大小，利用用数学归纳法证明，可 得当 时， ；当 时， . 详解：(1) 设数列{bn}的公差为 d, 由题意得 ,∴bn=3n－2 . (2)证明：由 bn=3n－2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ ) =loga［(1+1)(1+ )…(1+ )］ 而 logabn+1=loga ,于是，比较 Sn 与 logabn+1 的大小 比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小 取 n=1，有(1+1)= 取 n=2，有(1+1)(1+ 推测 (1+1)(1+ )…(1+ )＞ (*) ①当 n=1 时，已验证(*)式成立 ②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ )…(1+ )＞ 则当 n=k+1 时， , 即当 n=k+1 时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数 n 都成立 于是，当 a＞1 时，Sn＞ logabn+1 ,当 0＜a＜1 时，Sn＜ logabn+1 . 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式、归纳推理的应用以及数学归纳法证明不等式，属于难题. 利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证 时结论成立；（2）假设 时结论正确，证明 时结论正 确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.