2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章 5 第5讲 椭 圆
第5讲 椭 圆
1．椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
4．椭圆中四个常用结论
(1)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
(3)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[教材衍化]
1．(选修21P40例1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
解析：选A.设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.故选A.
2．(选修21P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C．2－ D.－1
解析：选D.设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0
m－2>0，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.
答案：4或8
3．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
答案：或
椭圆的定义及应用
(1)(2019·高考浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
(2)(2020·杭州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C
上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 (1)如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 (1) (2)3
(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
(1)椭圆定义的应用范围
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2)焦点三角形的结论
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
①|PF1|＋|PF2|＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
③焦点三角形的周长为2(a＋c)．
④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
1．(2020·温州模拟)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为( )
A．4 B．6
C．2 D．4
解析：选A.因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝2，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积为×2×4＝4.故选A.
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：设动圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8<16，所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，则a＝8，c＝4，所以b2＝48，又焦点C1、C2在x轴上，故所求的轨迹方程为＋＝1.
答案：＋＝1
椭圆的标准方程
(1)(2020·金丽衢十二校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)不妨设点A在第一象限，如图所示．因为AF2⊥x轴，所以|AF2|＝b2.
因为|AF1|＝3|BF1|，
所以B.
将B点代入椭圆方程，
得＋＝1，所以c2＋＝1.
又因为b2＋c2＝1，所以
故所求的方程为x2＋＝1.
【答案】 (1)A (2)x2＋＝1
1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则
①②两式联立，解得
所以所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，则椭圆C2的方程为________．
解析：法一：(待定系数法)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，
解得a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.
法二：(椭圆系法)因椭圆C2与C1有相同的离心率，且焦点在y轴上，故设C2：＋x2＝k(k>0)，即＋＝1.
又2＝2×2，故k＝4，故C2的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆的方程为________________．
解析：法一：(待定系数法)
因为e＝＝＝＝＝，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，
则1－＝.从而＝，＝.
又＋＝1，所以m2＝8，n2＝6.
所以方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(h>k>0)，则＋＝1，且＝，解得h2＝，k2＝.
故所求方程为＋＝1.
法二：(椭圆系法)
若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，将点 (2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)，
代入点(2，－)，得λ＝，故所求方程为＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
椭圆的几何性质(高频考点)
椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．主要命题角度有：
(1)由椭圆的方程研究其性质；
(2)求椭圆离心率的值(范围)；
(3)由椭圆的性质求参数的值(范围)；
(4)椭圆性质的应用．
角度一 由椭圆的方程研究其性质
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
【解析】 因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的左顶点为(－5，0)．
【答案】 D
角度二 求椭圆离心率的值(范围)
(1)(2020·丽水模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A．e≤ B．e≥
C.≤e≤ D．0b>0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
【解析】 (1)因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.
由a－c≤|PF1|≤a＋c，
解得≤≤.
所以椭圆C的离心率e的取值范围是.
(2)设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，
又O为线段F1F的中点，
所以F1Q∥OM，
所以F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，所以a＝＝c，
故e＝＝.
【答案】 (1)C (2)
角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)
已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于( )
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
【解析】 显然m>0且m≠4，当04时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8.
【答案】 D
角度四 椭圆性质的应用
(2020·嘉兴质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
【解析】 设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，
因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1.
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1，0)，A(2，0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.即当x0＝－2时，·取得最大值4.
【答案】 4
(1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解．
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为( )
A．(±，0)
B．(0，±)
C．(±，0)或(±，0)
D．(0，±)或(±，0)
解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝，选A.
3．椭圆＋y2＝1上到点C(1，0)的距离最小的点P的坐标为________．
解析：设点P(x，y)，则
|PC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋
＝x2－2x＋2＝＋.
因为－2≤x≤2，所以当x＝时，|PC|min＝，
此时点P的坐标为或.
答案：或
[基础题组练]
1．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选A.因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上．
所以解得6b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2020·义乌模拟)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．
解析：圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.
答案：
9．(2020·瑞安四校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时周长最大，即4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，
所以c＝2，所以e＝＝.
答案：
10．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF2的距离为，其中点P(－1，－4)，则椭圆的标准方程为________．
解析：设F2的坐标为(c，0)(c>0)，则kPF2＝，故直线PF2的方程为y＝(x－c)，即x－y－＝0，点(－1，0)到直线PF2的距离d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①
又点在椭圆E上， 所以＋＝1，②
由①②可得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
11．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．
解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c
.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，设B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.
[综合题组练]
1．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|＝，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P
满足＝＋2，求点P的轨迹方程．
解：(1)因为e＝，所以＝，
又椭圆C经过点(，1)，所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故点P的轨迹方程是＋＝1.
6．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
得
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根与系数的关系知，
又由＝2，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝>0，
解得0，解不等式
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