2017-2018学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

黄山市2017～2018学年度第一学期期末质量检测 高二（文科）数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎1. 将锐角三角形绕其一边旋转一周所形成的空间几何体是 A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 一个圆台 D. 两个圆锥的组合体 ‎【答案】D ‎【解析】可以画出一个锐角三角形，以其中的一个边为轴，竖直旋转，可以想象到是两个同底的圆锥扣在一起。故是两个圆锥的组合体。‎ 故答案为：D。‎ ‎2. 以线段：为直径的圆的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎∴以线段AB：x+y﹣2=0（0≤x≤2）为直径的圆的圆心为（1，1），‎ 半径为圆的方程为：。‎ 故答案为： B。‎ ‎3. 过点,且与双曲线 有相同渐近线的双曲线的方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，‎ ‎∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，‎ 所以 ∴k=﹣2，‎ 故所求的双曲线方程是。‎ 故答案为D。‎ ‎4. 命题 ；命题：.则是成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】命题 ，命题：；则是成立的充分不必要条件。‎ 故答案为：A。‎ ‎5. 已知点与直线:，则点关于直线的对称点坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】可以设对称点的坐标为，得到 ‎ 故答案为：A。‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图得到原图是半个圆锥，底面半径为1，高为2，故表面积为 ‎ ‎ 故答案为：B。‎ ‎7. 已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是 A. 若∥,,则∥‎ B. 若∥ ,，则∥‎ C. 若,则∥‎ D. 若,则∥‎ ‎【答案】C ‎【解析】A，若∥,,则∥，是不对的，因为有可能内；B，B. 若∥ ,，则∥，是不对的，两个直线有可能都在平面内，两条直线的位置关系有可能是相交的关系；C垂直于同一平面的两条直线是平行的关系；D，有可能线m在面内。‎ 故答案为：C.‎ ‎8. 已知长方体中，，,为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AA1=2AB=2，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），‎ ‎=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），设异面直线BE与CD1所形成角为θ，‎ 则cosθ=．异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．‎ 故选：B．‎ ‎9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则 A. 至少有两个零点 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处切线斜率为 ‎【答案】C ‎【解析】根据导函数的图像只能得到原函数的单调性，和单调区间，得不到函数值，故得到A是错的，在x=3处，左右两端都是减的，股不是极值；故B是错的；C，在上是单调递减的，故答案为C；D在1出的导数值大于0，故得到切线的斜率大于0，D不对。‎ 故答案为C。‎ ‎10. 双曲线的左、右焦点分别是，过作斜率是的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将x=c代入双曲线的方程得y= 即M（c，）在△MF1F2中，‎ 故答案为：B。‎ ‎11. 已知抛物线焦点是,椭圆的右焦点是，若线段交抛物线于点，且抛物线在点处的切线与直线平行，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点M，抛物线， ， 由点三点共线得到 解得p=.‎ 故答案为D。‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。‎ ‎12. 若函数的图象总在直线的上方,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数 ‎ 当 ‎ 函数 在 ‎ 故答案为：A。‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请在答题卷的相应区域答题.)‎ ‎13. 命题：“中，若，则都是锐角”的否命题是___________________________________________.‎ ‎【答案】 中，若 ，则 不都是锐角.‎ ‎【解析】根据否命题的写法，既否条件又否结论，故得到否命题是 中，若 ，则 不都是锐角。‎ 故答案为： 中，若 ，则 不都是锐角。‎ ‎14. 圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的相交弦所在直线方程为_________________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据两圆的公共弦的求法，即两圆相减得到 ‎ 故答案为：。‎ ‎15. 过点作动直线交抛物线于、两点，则线段的中点轨迹方程为___________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设中点坐标为， 两式做差得到 ‎ 故答案为：.‎ ‎16. 正方形的边长为，点、分别是边、的中点，沿折成一个三棱锥（使重合于），则三棱锥的外接球表面积为______________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】正方形ABCD的边长为2，‎ ‎∵点E、F分别为边BC，CD的中点，沿AE、EF、AF折叠成一个三棱锥A﹣GEF（使B，C，D重合于点G），∴AP=2，PE=，PF=，‎ ‎∴三棱锥P﹣AEF的外接球的直径为： ‎ 即半径为，∴表面积，4π×（）2=12π，‎ 故答案为： .‎ ‎..................‎ 三、解答题（本大题共小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17. 设命题，使；命题，函数 图象与轴没有交点．如果命题“ ”是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】试题分析： ”是真命题， 至少有一个是真命题，分别求两个命题为真时的参数范围，求并集即可。‎ 解析：‎ 解：“ ”是真命题， 至少有一个是真命题. ‎ 命题,使为真，则，解得或； ‎ 命题，函数图象与轴没有交点，则，解得. ‎ 所以由“ ”是真命题,得或.‎ ‎18. 已知圆:和点.‎ ‎（Ⅰ）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，试判断过点，且倾斜角为的直线与圆的位置关系.若相交，求出相交弦长；若不相交，求出圆上的点到直线的最远距离.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据点和圆的位置关系求得，再根据直线和圆相切得到，进而得到参数值；（2）通过判断，所以直线与圆相交，由垂径定理得到。‎ 解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意，点M在圆上，即 所以. ‎ 此时，设点M处切线为，其斜率为，因为 所以，‎ 解得. ‎ 所以切线方程为，化简得. ‎ ‎（Ⅱ）当时，直线：，即. ‎ 因为，所以直线与圆相交. ‎ 又, 所以.‎ ‎ ‎ ‎19. 设.‎ ‎（Ⅰ）若是奇函数，且在时，取到极小值，求的解析式;‎ ‎（Ⅱ）若，且在上既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义得到，所以，再由，得到参数值；（2）根据在上既有极大值，又有极小值，转化为有两个不等正根。‎ 解析：‎ 解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以， ‎ 即，‎ 所以，所以 ‎ 由，依题意，，‎ 解得.经检验符合题意,故所求函数的解析式为． ‎ ‎（Ⅱ）当时，. ‎ ‎ 在上既有极大值，又有极小值，‎ ‎ 有两个不等正根. ‎ 即 ,解得.‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，ABCD为菱形，⊥平面ABCD，连接交于点O，，，是棱上的动点，连接.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当面积的最小值是时，求此时动点到底面ABCD的距离．　‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直先得线线垂直，平面PAC，进而得到面面垂直；（2），此时，，进而得到结果。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：是菱形，, ‎ PA⊥平面,平面,. ‎ 又, 平面PAC , ‎ 又平面,平面平面.‎ ‎（Ⅱ）连OE,由（Ⅰ）知平面，平面 ‎ ‎ ‎, 由 得: ‎ 当 时，OE取到最小值. 此时 作交于, PA⊥平面， 平面，‎ 由. 得点到底面的距离..‎ ‎21. 已知椭圆的离心率为, 椭圆短轴的一个端点与两焦点、构成的的面积为 . ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当点T到直线l距离为时，求直线方程和线段AB长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到，解方程可得参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式和韦达定理得到最终结果。‎ 解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意得，解得，‎ 即椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设，联立方程组，化简得. ‎ 由，又，得.‎ 又， ‎ 设中点为C，C点横坐标，‎ 即， ∴线段垂直平分线方程为.‎ ‎∴T点坐标为，到的距离，又 . ‎ 即直线方程为. ‎ ‎.‎ 点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若直线 与曲线的相切于，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ∴，，可得到参数值；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，进而得到函数的最值。‎ 解析：‎ 解：（Ⅰ）∵ ‎ 由题意， ∴. 又， . 综上可知：，. ‎ ‎（Ⅱ）又， .‎ 当时，在 恒成立，所以在上单调递增，在处取最小值． ‎ 当 时，则时，，单调递减，时，，单调递增.∴ ‎ 当时，在上恒成立，所以在单调递减 ,‎ ‎． ‎ 综上所述：当时，．‎ 当时，． ‎ 当时，.‎ 点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎ ‎ ‎ ‎