中考数学第一轮复习导学案一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
◆【课前热身】
1.方程（2x－1）（ 3x+1）=x2+2 化为一般形式为______，其中 a=____，b=____，c=____．
2.关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+m2+3m=0 有一个根为零，则 m 的值等于_____．
3.关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个根为 x1=1，x2=－2，则 x2+mx+n 分解因式的结果
是______．
4. 关于 x 的一元二次方程 2x2－3x－a2+1=0 的一个根为 2，则 a 的值是（ ）
A．1 B． 3 C．－ D．±
5. 若关于 x 的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0 的常数项为 0，则 m 的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．0
【参考答案】
1. 5x2－x－3=0 5 －1 －3
2. －3
3.（x－1）（ x+2）
5.D
6.B
◆【考点聚焦】
知识点：
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理
大纲要求:
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数
的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的
取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.
◆【备考兵法】
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关
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于 x 的方程 ax2－2x＋1＝0 中，如果 a<0，那么根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数 的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中
出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：
设 x1，x2 是方程 2x2－6x＋3＝0 的两根，则 x1
2＋x2
2 的值是（ ）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出
现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应
用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相
同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的
解（虽然是原方程的解）一定要舍去．
易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不
为零这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式 042 acb ；
② 二次项系数 0a ，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的
关系.
◆【考点链接】
1.一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 002 acbxax 的根的判别式为 .
（1） acb 42 >0 一元二次方程 有两个 实数根，即
2,1x .
（2） acb 42 =0 一元二次方程有 相等的实数根，即 21 xx .
（3） <0 一元二次方程 实数根.
2．一元二次方程根与系数的关系
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若 关 于 x 的一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a 有两根分别为 1x ， 2x ， 那 么
21 xx ， 21 xx .
◆【典例精析】
例 1（四川绵阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0 有两个不相等
的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【分析】这是一道确定待定系数 m 的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需
要考生具备分类讨论的思维能力．
【答案】（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）
= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8．
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数 k 的取值范围是 k＜1．
（2）假设 0 是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，
解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．
即当 k =－1 时，0 就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是 4．
例 2（北京）已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：
x2－1=0 （1）
x2+x－2=0 （2）
x2+2x－3=0 （3）
……
x2+（n－1）x－n=0 （n）
（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（ 3），（n）；
（2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
【分析】由具体到一般进行探究．
【答案】（1）<1>（x+1）（ x－1）=0，所以 x1=－1，x2=1．
<2>（x+2）（ x－1）=0，所以 x1=－2，x2=1．
<3>（x+3）（ x－1）=0，所以 x1=－3，x2=1．
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……
（x+n）（ x－1）=0，所以 x1=－n，x2=1．
（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根
等．
【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程
根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．
例 3（江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室
内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各
为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？
【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm，则长为 2xm，根据题意，得
（x－2）·（2x－4）=288．
解这个方程，得 x1=－10（不合题意，舍去）， x2=14．
所以 x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2．
解法二：设矩形温室的长为 xm，则宽为 1
2
xm．
根据题意，得（ x－2）·（x－4）=288．
解这个方程，得 x1=－20（不合题意，舍去）， x2=28．
所以 x=28× x= ×28=14．
答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2．
【解析】在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的
列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题
有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．
◆【迎考精练】
一、选择题
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1.（台湾）若 a 、b 为方程式 x24(x1)=1 的两根，且 a＞b，则
b
a =______？
A．－5 B．－4 C．1 D. 3
2.（2009 年湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a 满足 0abc ，
那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有
两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． ac B． ab C．bc D． abc
3.(四川成都)若关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0kx x 有两个不相等的实数根，则 k 的取
值范围是
A. 1k B. 且 0k C. 1k D. 且
4.（内蒙古包头）关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0x mx m 的两个实数根分别是 12xx、 ，
且 22
127xx，则 2
12()xx 的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
5.（湖北荆州）关于 x 的方程 2 ( 2) 2 0ax a x 只有一解（相同解算一解），则 a 的值
为（ ）
A． 0a B． 2a C． 1a D． 或
6.（山东烟台）设 ab， 是方程 2 2009 0xx 的两个实数根，则 2 2a a b的值为（ ）
A．2006 B．2007 C． D．
7．（湖北宜昌）设方程 x2－4x－1=0 的两个根为 x1 与 x2，则 x1x2 的值是( )．
A．－4 B．－1 C．1 D． 0
8．（湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．
A． 0122 xx B． 0322 xx
C． 3322 xx D． 0442 xx
9．（四川眉山）若方程 2 3 1 0xx 的两根为 1x 、 2x ，则
12
11
xx 的值为( )
A．3 B．－3 C． 1
3
D． 1
3
10．（山东东营）若 n（ 0n ）是关于 x 的方程 2 20x mx n 的根，则 m+n 的值为（ ）
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A.1 B.2 C.-1 D.-2
二、填空题
1.(上海市)如果关于 x 的方程 2 0x x k （ k 为常数）有两个相等的实数根，那么
k ．
2.（山东泰安）关于 x 的一元二次方程 02)12( 22 kxkx 有实数根，则 k 的取
值范围是 。
3.（广西崇左）一元二次方程 2 30x mx 的一个根为 1 ，则另一个根为 ．
4.（广西贺州）已知关于 x 的一元二次方程 02 mxx 有两个不相等的实数根，则实数
m 的取值范围是 ．
三、解答题
1.（山东淄博） 已知 12xx， 是方程 2 20x x a 的两个实数根，且 122 3 2xx ．
（1）求 及 a 的值；
（2）求 32
1 1 1 232x x x x 的值．
2．(广东中山)已知：关于 x 的方程 22 1 0x kx
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 1 ，求另一个根及 k 值．
3.（重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于 x 的方
程 042 bxx 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.
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4．（湖南怀化）如图，已知二次函数 22)( mkmxy 的图象与 x 轴相交于两个不同的
点 1( 0)Ax， 、 2( 0)Bx， ，与 y 轴的交点为C ．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P ．
（1）求 P⊙ 与 轴的另一个交点 D 的坐标；
（2）如果 AB 恰好为 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5 ，求 m 和 k 的值．
5．（湖北黄石）已知关于 x 的函数 2 1y ax x （ a 为常数）
（1）若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 的取值范围．
【参考答案】
选择题
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1. A
2. A
3. B
4. C
【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知： 12
12. 2 1
x x m
x x m
又∵ 222
1 2 1 2 1 227x x x x x x ∴ 2 2 2 1 7mm 得 1 1m ， 2 5m ，而
当 5m 时，原方程的判别式 25 4 9 11 0 ，此时方程无解， ∴ 5m 不合 题
意舍去.
∴ 12
12
1
.3
xx
xx
2 2 2
1 2 1 2 1 24 1 4 3 13x x x x x x ，故选 C
本题易出错，学生易在求得 或 的两个值后，代入 ，求出
22
1 2 1 2 1 24 13x x x x x x 或－11，易漏掉检验方程是否存在实根.
5. D【解析】本题考查方程的有关知识，关于 x 的方程 2 ( 2) 2 0ax a x 只有一解，
有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时 0a ，②该方程是一元二次方程，方程
有两个相等等的实数根， 22 4 2 0aa ，解得 2a ，故选 D.
6. C
7. B
8. A
9. B
10. D
填空题
1.
4
1
2.
4
9＞k
3.﹣3
4.
1
4m
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解答题
1. 解：（1）由题意，得 12
12
2
2 3 2.
xx
xx
，
解得 121 2 1 2xx ， ．
所以 12(1 2)(1 2) 1a x x ．
（2）法一： 由题意，得 2
112 1 0xx ．
所以 32
1 1 1 232x x x x = 3 2 2
1 1 1 1 1 223x x x x x x
= 2
1 1 1 22 1 1 2 1 1x x x x ．
法二： 由题意，得 2
1121xx，
所以 = 1 1 1 1 2(2 1) 3(2 1) 2x x x x x
= 2
1 1 1 1 22 6 3 2x x x x x = 1 1 22(2 1) 3 3x x x
= 1 1 2 1 24 2 3 3 1 2 1 1x x x x x ．
2. 解：（1） 22 1 0x kx ，
224 2 ( 1) 8kk ，
无论 k 取何值， 2k ≥0，所以 2 80k ，即 0 ，
方程 有两个不相等的实数根．
（2）设 的另一个根为 x ，则 1 2
kx ， 1( 1) 2x ，
解得： 1
2x ， 1k ，
的另一个根为 1
2
， 的值为 1．
3. 解:∵方程 2 40x x b 有两个相等的实数根
∴△= 2( 4) 4 0b
∴b=4.
∵c=4.
∴b=c=4.
∴△ABC 为等腰三角形.
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4. 解 （1）易求得点C 的坐标为(0 )k， 由题设可知 12xx， 是方程 0)( 22 mkmx 即
022 kmxx 的两根，故
2
12
2 ( 2 ) 4
2
m m kx ， ，所以 1 2 1 22x x m x x k ，
如图 3，∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙P 的
两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB，
∴△AOC∽△DOC，则 .121 k
k
k
xx
OC
OBOAOD
由题意知点 在 轴的负半轴上，从而点 D 在 轴的正半轴上，
所以点 D 的坐标为（0，1）
（2）因为 AB⊥CD， AB 又恰好为⊙P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称，
所以点 的坐标为(0 1)， ，即 1k ）
又 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m ，
所以 2112 1 1 522ABCS AB OC m △ 解得 .2m
5. 解：（1）当 0a 时，函数为 1yx，它的图象显然与 x 轴
只有一个交点( 1 0) ， ．
当 0a 时，依题意得方程 2 10ax x 有两等实数根．
1 4 0a ， 1
4a ．
当 或 1
4a 时函数图象与 轴恰有一个交点．
（2）依题意有 4104
a
a
分类讨论解得 1
4a 或 0a ．
当 或 时，抛物线顶点始终在 x 轴上方．
