江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

南昌二中2019—2020学年度下学期第二次月考 高一考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．一元二次不等式的解集为（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．设等差数列的前项为，若，则( )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎3．已知非零向量，的夹角为，且，，则（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎4．在△ABC中，若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知等比数列，满足,且，则数列的公比为（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎6．若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，角，，所对的边分别为，，，若是和的等比中项，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8．若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（ ）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎9．数列满足，则数列的前20项的和为( )‎ A．100 B．-100 C．-110 D．110‎ ‎10．在锐角中，若，则的范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最大值是（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若正实数、满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量且则实数_______.‎ ‎14．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．‎ ‎15．已知，，为直线上的不同三点，为外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为__________．‎ ‎16．我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若，对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知，为单位向量，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求与的夹角的余弦值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列,等比数列满足．‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中,角所对的边分别为,的面积为，若．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝3， BC＝2，P是△ABC内的一点．‎ ‎（1）若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；‎ ‎（2）若∠BPC＝，求△PBC面积的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前n项和满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若（n∈N*），求数列的前n项和;‎ ‎（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 在中，满足：，M是的中点.‎ ‎（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：‎ ‎（2）若点P是内一点，且，，，‎ 求的最小值.‎ 高一第二次月考数学参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ADAC BCAD BABB 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．1 14． 15．16 16． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）由题意得.‎ ‎（2）由题意得与的夹角的余弦值为.‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 所以；‎ ‎（2）记前项和为 ‎.‎ 所以 ‎19．【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为，所以 化简得：，又，．‎ ‎（Ⅱ），，，①‎ 又，，即②‎ 联立①②可得，又，．‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）由题设，∠PCA＝，PC＝，在△PAC中，由余弦定理得 PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，于是PA＝．‎ ‎（2）解法一：‎ ‎∠BPC＝，设∠PCB＝θ，则θ∈(0，)．‎ 在△PBC中，∠PBC＝－θ．由正弦定理得＝＝，‎ 得PB＝sinθ，PC＝sin(－θ)．‎ 所以△PBC面积S＝PB·PCsin＝sin (－θ)sinθ＝sin(2θ＋)－．‎ 当θ＝∈(0，)时，△PBC面积的最大值为．‎ 解法二：‎ 在中，设，，‎ 由余弦定理有：，‎ 即（当且仅当时等号成立），‎ 所以，‎ 从而（当且仅当时等号成立）‎ ‎21．【解析】‎ ‎（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．‎ 当n≥2时，，‎ 整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，‎ ‎∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴．‎ ‎（2）由（1）得an=n+1，∴．‎ ‎∴．‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，‎ 即对一切正整数恒成立，只需满足即可，‎ 令，则 当 故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…‎ 当n=3时有最小值，所以．‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1），，‎ 设，则，而，‎ ‎，‎ 当且仅当时，的最小值是.‎ ‎（2）设，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 同理：，‎ ‎ ‎ 当且仅当时， 所以.‎