【物理】2020届二轮复习思想方法2　估算与近似计算学案

【物理】2020届二轮复习思想方法2　估算与近似计算学案

思想方法2　估算与近似计算 ‎[方法概述]‎ 物理估算题，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算。物理估算是一种重要的方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法便捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确计算。在这些情况下，估算就很实用。其特点是在“理”不在“数”，它要求考生在分析和解决问题时，要善于抓住问题的本质特征和影响结果的主要因素，忽略次要因素，从而使问题简捷地解决，迅速获得合理的结果。‎ ‎(1)估算时经常用到的近似数学关系：‎ ‎①角度θ很小时，弦长近似等于弧长。‎ ‎②θ很小时，sinθ≈θ，tanθ≈θ，cosθ≈1。‎ ‎③a≫b时，a＋b≈a，＋≈。‎ ‎(2)估算时经常用到的一些物理常识数据：‎ 解题所需数据，通常可从日常生活、生产实际、熟知的基本常数、常用关系等方面获取，如成人体重约600 N，汽车速度约10～20 m/s，重力加速度约为10 m/s2……‎ ‎[典型例题]‎ 典例1　(2019·江苏七市二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于(　　)‎ A．5 W B．20 W C．100 W D．400 W 解析　学生体重约为50 kg，每次引体向上上升的高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝＝100 W，故C正确，A、B、D错误。‎ 答案　C 名师点评　本题考查重力做功与功率，但难点是考查学生的估算能力和生活常识，中学生的体重大约为50 kg，引体向上每次上升的高度大约为0.5 m。‎ 典例2　(2019·北京高三期末)杭州市正将主干道上的部分高压钠灯换成LED灯，已知高压钠灯功率为400 W，LED灯功率为180 W，若更换4000盏，则一个月可节约的电能约为(　　)‎ A．9×103 kW·h B．3×105 kW·h C．6×105 kW·h D．1×1012 kW·h 解析　根据生活常识可知路灯每天工作约10 h，则一个月可节省的电能最接近W＝Pt＝(0.4 kW－0.18 kW)×4000×10 h×30≈3×105 kW·h，故B正确，A、C、D错误。‎ 答案　B 名师点评　本题主要考查功与功率的关系以及同学们的估算能力和生活常识，一天24小时开灯时间约为10小时，一个月大约30天，选项中数值相差很大，只需估算即可。‎ 典例3　已知地球中心到月球的距离约为地球半径的60倍，试估算地球的平均密度(取一位有效数字，G＝6.7×10－11 N·m2/kg2)。‎ 解析　设r为月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径，R为地球半径，则r＝60R，T为月球绕地球做匀速圆周运动的周期，约为28天，即 T＝28×24×3600 s＝2.4×106 s。‎ 又因万有引力提供向心力：＝mr 把r＝60R代入上式并整理得＝，‎ 故地球平均密度ρ＝＝ ‎＝ kg/m3≈5×103 kg/m3。‎ 答案　5×103 kg/m3‎ 名师点评　(1)利用月、地距离，联想到月球绕地球运行可近似地看做匀速圆周运动这一物理情景，提出问题的物理过程和实质。(2)选定适用的物理规律：向心力＝万有引力，即＝m ‎。(3)明确向心力、万有引力概念，引入常识性的物理量及挖掘出隐含的数据。‎ 典例4　某种油的密度ρ＝0.8×103 kg/m3，把一滴体积为1.2×10－3 mL的这种油滴在水面上，可以形成最大面积为2 m2的油膜，阿伏加德罗常数NA＝6.0×1023 mol－1。‎ ‎(1)把分子看成球形估算它的直径；‎ ‎(2)估算这种油的摩尔质量(保留一位有效数字)。‎ 解析　(1)由于形成的油膜最大面积为S＝2 m2，油膜厚度可以认为就等于一个分子的直径d，由d＝，‎ 得油分子的直径d＝ m＝6×10－10 m。‎ ‎(2)上问中虽然把油分子看成球形，但每个油分子的占有空间是以d为棱的立方体，每个油分子占有体积为d3，‎ 油的摩尔体积V摩＝NAd3，根据ρ＝，‎ 得油的摩尔质量M＝ρV摩＝ρNAd3＝0.8×103×6.0×1023×(6×10－10)3 kg/mol≈0.1 kg/mol。‎ 答案　(1)6×10－10 m　(2)0.1 kg/mol 名师点评　对于微观量的估算应注意的几点：(1)理解微观量和宏观量之间的关系。在微观量的估算中，物质的量往往是所求问题的关键。阿伏加德罗常数和物质的量是联系微观量和宏观量的关键量。(2)记住重要的物理常数，例如NA＝6.02×1023 mol－1,1 mol任何理想气体在标准状态下的体积都约为22.4 L等。(3)掌握下列公式：①分子质量m分子＝；②分子的摩尔体积V摩＝；③一个(固体或液体)分子的体积V分子＝＝。‎ 典例5　如图所示，U＝1.5 V，R1＝1 kΩ，R2＝10 Ω，R3＝5 kΩ，RA＝20 Ω，试估算电流表的读数。‎ 解析　由于(R3＋RA)≫R2，所以并联部分电阻的阻值约为R2‎ ‎，则并联部分电压为U并＝U≈U＝1.5×10－2 V，又由于R3≫RA，所以IA≈＝ A＝3×10－6 A。‎ 答案　3×10－6 A 名师点评　利用一些数学近似公式进行估算，可大大地简化其计算过程，提高解题速度。在平时学习过程中要熟悉一些常用的近似计算公式，并且在解题中能做些应用和训练，可提高应用数学公式解决物理问题的能力。在物理估算中，常用的一些数学近似公式如下：当θ很小时，sinθ≈tanθ≈θ，cosθ≈1；T＝2π 中π≈；当a≫b时，a＋b≈a，＋≈；当a≈b时，≈。借用上述公式进行物理估算，常常会收到意想不到的效果。‎ 配套作业 ‎1．在雷雨云下沿竖直方向的电场强度约为104 V/m。已知一半径为1 mm的雨滴在此电场中不会下落，取重力加速度大小为10 m/s2，水的密度为103 kg/m3。则雨滴携带的电荷量的最小值约为(　　)‎ A．2×10－9 C B．4×10－9 C C．6×10－9 C D．8×10－9 C 答案　B 解析　雨滴受力平衡时，电场力和重力大小相等，此时电场力最小，则雨滴带电荷量最小，有mg＝Eq，而m＝ρV＝·ρ，联立两式得q＝＝ C≈4×10－9 C，故选B。‎ ‎2．(2019·山东高三高考模拟)2019年4月10日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片，这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200多位科学家，历时十年、从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为2×1030 kg，光在真空中的传播速度c＝3×108 m/s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。已知天体的近地卫星的环绕速度为v，则在该天体表面发射卫星脱离该天体束缚的最小发射速度为v。请估算该黑洞最大半径的数量级为(　　)‎ A．109 m B．1010 m C．1011 m D．1013 m 答案　D 解析　设该黑洞的可能半径为R，质量为M，近地卫星的质量为m，近地卫星的环绕速度为v，则＝m，v＝ ，由题给条件可知，则v>c，即 ＞c，即有R＜，所以该黑洞的最大半径：Rmax≈＝ m≈1.5×1013 m，故D正确，A、B、C错误。‎ ‎3．在地球上空，一个质量为m的火箭，靠竖直向下喷出气体的反冲使火箭停在空中不动，从火箭中喷出气体的速度等于v，则火箭发动机的功率约为(　　)‎ A．0 B．mgv C．mg D．2mgv 答案　C 解析　设M为每秒喷出的气体质量，则每秒气体的动量变化为Mv，这就是火箭受到的反作用力，它必须与重力平衡，故Mv＝mg，M＝。气体每秒得到的动能为E＝Mv2＝mgv，所以火箭的功率为mgv。此计算为近似值，因为它忽略了喷气后火箭质量的变化。‎ ‎4. (多选)如图所示，两等量异号的点电荷相距为2a。M与两点电荷共线，N位于两点电荷连线的中垂线上，两点电荷连线中点到M和N的距离都为L，且L≫a。略去()n(n≥2)项的贡献，则两点电荷的合电场在M和N点的强度(　　)‎ A．大小之比为2，方向相反 B．大小之比为1，方向相反 C．大小均与a成正比，方向相反 D．大小均与L的平方成反比，方向相互垂直 答案　AC 解析　两点电荷在M、N两点的合场强分别为EM＝－＝kq≈，EN＝·≈，所以＝2，在M点的合场强方向由＋q决定，沿两点电荷连线从－q指向＋q；在N点的合场强方向由平行四边形定则知，平行于两点电荷连线从＋q指向－q。故A、C正确。‎ ‎5．如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。‎ ‎(1)求小环C的平衡位置；‎ ‎(2)若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|≪d)后静止释放，试证明小环C将做简谐运动。(提示：当α≪1时，≈1－nα)‎ 答案　见解析 解析　(1)设C的电荷量为Q，位于AB连线的延长线上距离B为l处时达到平衡，‎ 由＋＝0‎ 得l1＝d，l2＝－d(舍去)‎ 即小环C的平衡位置在B的右方离开B为l＝d的地方。‎ ‎(2)当小环带电量为－q时，向右拉离平衡位置一小位移x后它所受到的合力为 FC＝＋ ‎＝＋ 利用近似关系≈1－nα(α≪1)，上式可化简为 FC＝(1－)＋(1－)＝－x 说明小环受到的合力大小与位移x成正比，方向与其相反(即指向左方)，所以小环C将做简谐运动。‎ ‎6. 如图所示，透明的柱形元件的横截面是半径为R的圆弧，圆心为O，以O为原点建立直角坐标系xOy。一束单色光平行于x轴射入该元件，入射点的坐标为(0，d)，单色光对此元件的折射率为n＝。‎ ‎(1)当d多大时，该单色光在圆弧面上恰好发生全反射？‎ ‎(2)当d→0时，求该单色光照射到x轴上的位置到圆心O的距离。(不考虑单色光经圆弧面反射后的情况；θ很小时，sinθ≈θ)‎ 答案　(1)　(2)(4＋2)R 解析　(1)如图a所示，当光射到圆弧面上的入射角等于临界角时，刚好发生全反射，由 sinθ＝，‎ 解得：θ＝60°，‎ 根据几何关系d＝Rsinθ＝。‎ ‎(2)如图b所示，当光射到圆弧面上的入射角很小时，设入射角为β，折射角为α，‎ 由折射定律 n＝≈＝，‎ 在△OEF中，由正弦定理＝，‎ 当d→0时，α、β很小，sinα≈α，sin(α－β)≈α－β，‎ 解得：OF＝，‎ 所以OF＝(4＋2)R。‎