河北省石家庄市辛集中学2020届高三9月月考数学（文）试题

河北省石家庄市辛集中学2020届高三9月月考数学（文）试题

河北辛集中学2017级高三上学期第二次阶段考试高三文科数学试卷 第I卷选择题部分 一、单选题（每题5分）‎ ‎1.设集合，集合，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合，根据并集的定义求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．‎ ‎3.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为，数字是奇数，满足2n-1,‎ 所以可求得通项公式.‎ ‎【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，‎ 由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.‎ ‎【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.‎ ‎4.已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“是充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.‎ ‎【详解】由题意知：可化简为，，‎ 所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.‎ ‎【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.‎ ‎5.已知,第二象限角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式得到，再利用同角的三角函数的基本关系式求出其值即可.‎ ‎【详解】因为,是第二象限角，所以.‎ 而，故.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查同角的三角函数基本关系式和诱导公式，属于基础题.‎ ‎6.函数的零点的个数是　　‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，将函数化为，画出两个函数图像，其交点的个数即为函数的零点个数。‎ ‎【详解】由题意可令，将函数化为画出函数图像如下图 由图像可知，函数图像有三个交点，所以有三个零点 所以选A ‎【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题。‎ ‎7.在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则( )‎ A. , B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用表示出．‎ ‎【详解】解：如图，‎ ‎∵，M是AB的中点，N是CM的中点；‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查推理能力与计算能力．‎ ‎8.数列满足且，则的值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到为等差数列，利用等差数列角标之和的性质得到，结合，即可求出的值.‎ ‎【详解】由题意知，数列满足，可得，∴为等差数列，且.又由等差数列的性质，可得，即，‎ 所以，∴‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的证明以及等差数列的基本性质的运用，属于基础题.‎ ‎9.已知为等比数列,,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得的值，进而由和可得解.‎ ‎【详解】或.‎ 由等比数列性质可知 或 故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.‎ ‎10.等比数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 45 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件，得到，进而得到，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，等比数列的前n项和为，满足，‎ 则，所以，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及其前n项和的计算，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用余弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】∵，，‎ 又∵由余弦定理可得：，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．‎ ‎12.已知定义在上的函数满足，且当时，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得的周期为，，带入解析式即可求解 ‎【详解】由可得，，所以 ，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的基本性质，周期性，注意区分函数的轴对称、点对称、周期性三者的区分。‎ ‎13.已知数列的前n项和为，，当时，，则的值为（　　）‎ A. 1008 B. ‎1009 ‎C. 1010 D. 1011‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，结合数列递推公式可解决此问题．‎ ‎【详解】解：当时，①，故②‎ 由②－①得，，即 所以 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有时常用进行转化．‎ ‎14.在数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得an+1﹣an＝由此利用累加法能求出an,则可求 ‎【详解】在数列{an}中，a1＝2，‎ ‎∴an+1﹣an＝‎ ‎∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）‎ ‎＝2+ln2+ ‎ ‎＝2+lnn，故2+ln10‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．‎ ‎15.设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的平方等于模长的平方得到，再将两边用点乘，由向量点积公式得到夹角的余弦值.‎ ‎【详解】，，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎16.若存在唯一的正整数，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式存在唯一正整数解的问题转化为对应函数问题，进而通过分离参数，将其转化为两个函数的函数值大小问题，通过图像法寻找到该正整数解，从而确定满足要求的等价条件，求出的范围.‎ ‎【详解】设，则存在唯一的正整数，使得，‎ 设，，‎ 因为，‎ 所以当以及时，为增函数，当时，为减函数，‎ 在处，取得极大值，在处，取得极大值.‎ 而恒过定点，‎ 两个函数图像如图，‎ 要使得存在唯一的正整数，使得，‎ 只要满足，即，解得，‎ 故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式唯一整数解问题，考查了函数与不等式的关系以及图像法的运用，导数的应用等，属于难题.不等式有唯一整数解的问题，关键是寻找出对应的整数解，得到函数在其相邻整数的不等关系，从而求解出参数范围.‎ 第II卷 非选择题部分 二、填空题 ‎17.在数列中，已知其前项和为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，；‎ 当时，，不满足上式 故。‎ 答案：.‎ ‎18.已知向量，，若与垂直，则实数__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.‎ ‎【详解】由平面向量的坐标运算可得：，‎ 与垂直，则，‎ 即：，解得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.若将函数f（x）=cos（2x+）（0＜＜π）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数的图象的平移变换和函数的性质求出结果．‎ ‎【详解】函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位，‎ 得到：，‎ 所得到的图象关于原点对称，‎ 且0＜φ＜π，‎ 故φ=，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换的应用．‎ ‎20.已知函数在点处的切线方程为，则_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）＝aex+b，得f'（x），因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，故（0，f（0））适合方程y＝2x+1，且f′（0）＝2；联立可得结果．‎ ‎【详解】由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex，‎ 因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，‎ 所以解得a＝2，b＝﹣1．‎ a﹣b＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．‎ ‎21.数列的通项公式为，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定周期，再研究一个周期内和值变化规律，最后结合周期求结果.‎ ‎【详解】因为的周期为4，‎ 所以,‎ 因此.‎ 故答案为1009.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数周期以及数列求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22.在锐角中，角所对的边为，若．且，则的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为,‎ 所以可化为：‎ 又，所以，所以，解得：‎ 由正弦定理得：，又 所以，‎ 所以 在锐角中，,所以 所以.‎ 所以的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变形及正弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查计算能力及三角函数的性质，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎23.己知向量 ， ，其中，记函数，且最小正周期为； ‎ ‎(1)求函数的表达式；‎ ‎(2)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求在上的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用两个向量的数量积公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，再根据正弦函数的周期性，求得的值，‎ 可得的表达式；(2)利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域.‎ ‎【详解】由向量，其中，‎ 记 得 ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎（Ⅱ）由已知， ‎ 当 时，，‎ 所以，‎ 故，即的值域为 .‎ ‎【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎24.在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.‎ ‎（I）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，，，求的长，‎ ‎【答案】（I）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用正弦定理将边化角为，再结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式即可得到B。‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理先求出进而得到，由正弦定理即可得到的长。‎ ‎【详解】（I）由，得，‎ ‎，‎ ‎，∵，∴，∴.‎ ‎（Ⅱ）在中，，，，‎ 由余弦定理得，所以，‎ 在中，， ，由正弦定理，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题关键是要掌握正弦定理的变形公式，，，，将边化为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量。‎ ‎25.已知等比数列的前项和为成等差数列，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得。‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，‎ 由成等差数列知，，‎ 所以，即.‎ 又，所以，所以，‎ 所以等差数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知 ，‎ 所以 所以数列的前 项和：‎ 所以数列的前项和 ‎【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题。‎ ‎26.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式和，可得出函数的单调递减区间和单调递增区间；‎ ‎（2）由，利用参变量分离法得出在恒成立，令，将问题转化为，然后利用导数求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为，.‎ 令，得；令，得.‎ 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，‎ 令，，则，‎ 令，，.‎ 所以在单调递增，而，‎ 所以时，，即，单调递减；‎ 时，，即，单调递增.‎ 所以在处取得最小值，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.‎