数学（理科创新班）卷·2019届湖南省衡阳市第八中学高二上学期10月月考（2017-10）
2017年衡阳市八中高二10月份月考
数学试题（理科476、478）
命题人：刘 喜 审题人：彭 韬
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知命题，是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分有不必要条件
2．点是点在轴上的射影，则点到原点的距离为（ ）.
3．若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A． B． C．或 D．或[]
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )
5．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A． B． C．4 D．8
6．对于曲线C：，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②“1
4”的必要不充分条件；
④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“14”的必要不充分条件；
④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“10)，
则D(0，m,0)，E(，，0)．
可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．
因为·＝－＋0＝0，
所以PE⊥BC．
(2)解 由已知条件可得m＝－，n＝1，
故C(－，0,0)，D(0，－，0)，
E(，－，0)，P(0,0,1)，
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
则，
因此可以取n＝(1，，0)，
由＝(1,0，－1)．
可得|cos〈，n〉|＝，
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．
19. 已知函数.
（Ⅰ）若，求函数图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，判定函数在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数最大值或最小值.
【答案】（1）（2）最大值，无最小值.
【解析】试题分析：（1）求导数，确定切线的斜率、切点坐标，即可求得函数 图象在点 处的切线方程；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求出函数最大值或最小值．
试题解析：（1）当时， .
， ，
∴函数图象在点处的切线方程为，即
（2），
令，由，解得， （舍去）.
当在上变化时， ， 的变化情况如下表
0
所以函数在区间上有最大值，无最小值.
20.已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率， 为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，
，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在这样的直线满足题意，理由见解析.
试题解析：（1）设，即，化简得，此即为的方程；
（2）如（1）易得，假设存在这样的直线，则由题可知
，由得，故
，易得，故，令[]
，则可得，令，则
，故，因此无解，所以不存在这样的直线满足题意.
21.在等腰中，，腰长为2，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连结、，
因为在等腰中，，，、分别是边、的中点，
所以，
又因为翻折后，所以翻折后，且
为等腰直角三角形，所以，
因为翻折后，，且，平面，因为，
平面，，又，平面，
又，，且，是平行四边形，，
平面； …（3分）
要使平面，则须，
所以，即线段上存在一点，使得平面，
…（9分）
设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取，则，，
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为，
即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），
使得平面，此时二面角的余弦值为…（12分）
22. 已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ），
，将点代入，得，
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即
由，得．
设点、的坐标分别为、，
则，，
所以==，
所以===0，故，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
由向量加法平行四边形法则得，，
（ⅰ）当时，点、关于原点对称，则
此时不构成平行四边形，不合题意．
（ⅱ）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得 即
点在椭圆上，有，
化简，得．
，有． ①
又，
由，得． ②
将①、②两式，得 ，，则且．
综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数的取值范围是且．
