2017-2018学年湖南省长沙市宁乡县九年级上期末模拟数学试卷含答案解析

2017-2018学年湖南省长沙市宁乡县九年级上期末模拟数学试卷含答案解析

湖南省长沙市宁乡县 2018 届九年级上期末模拟数学试卷 一.单选题（共 10 题；共 30 分） 1.在直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为 3，⊙A 的圆心 A 的坐标为（ ），半 径为 1，那么⊙O 与⊙A 的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 2.如图，平面直角坐标系中，⊙O1 过原点 O，且⊙O1 与⊙O2 相外切，圆心 O1 与 O2 在 x 轴 正半轴上，⊙O1 的半径 O1P1、⊙O2 的半径 O2P2 都与 x 轴垂直，且点 P1（x1 ， y1）、P2 （x2 ， y2）在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，则 y1+y2=（ ） A. 1 B. -1 C. D. +1 3.Rt△ABC 的三个顶点 A，B，C 均在抛物线 y=x2 上，并且斜边 AB 平行于 x 轴．若斜边上 的高为 h，则（ ） A. h＜1 B. h=1 C. 1＜h＜2 D. h＞2 4.边长为 的菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将该菱形绕其对角线的交 点顺时针旋转 90°后，再向右平移 3 个单位，则两次变换后点 C 对应点 C′的坐标为（ ） A. （2，4） B. （2，5） C. （5，2） D. （6， 2） 5.计算： 得（ ） A. 3 B. 9 C. 1 D. 6.一个正方形的边长增加 2cm，它的面积就增加了 24cm2 ， 这个正方形原来的边长是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 7.圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则此圆锥的侧面积是（ ） A. 6π B. 8π C. 12π D. 16π 8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季度的产 值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ） A. 2x% B. 1+2x% C. （1+x%）x% D. （2+x%）x% 9.如图，在半径为 2，圆心角为 90°的扇形内，以 BC 为直径作半圆交 AB 于点 D，连接 CD， 则阴影部分的面积是（ ） A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣2 D. π﹣1 10.小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： （i）作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如图 1； （i i）以 M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交 CA 于点 D，连结 BD，如图 2．若⊙O 的半 径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是（ ） A. BD2= OD B. BD2= OD C. BD2= OD D. BD2= OD 二.填空题（共 8 题；共 24 分） 11.计算：（ + ）× =________． 12.小立存入银行人民币 500 元，年利率为 x%，两年到期，本息和为 y 元（不含利息税）， y 与 x 之间的函数关系是________，若年利率为 6%，两年到期的本利共________元． 13.（2016• 达州 ）设 m ，n 分别 为一元 二次方程 x2+2x ﹣2018=0 的两 个实数 根，则 m2+3m+n=________． 14.将抛物线 y=（x+1）2 向下平移 2 个单位，得到新抛物线的函数解析式是________ [来源:Zxxk.Com] 15.已知关于 x 的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围为 ________． 16.已知 x=﹣1 是一元二次方程 ax2+bx﹣2=0 的一个根，那么 b﹣a 的值等于________． 17.有 30 张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，经历多次试验后， 记录抽到红桃的频率为 20%，则红桃大约有________ 张． 18.设 x1、x2 是方程 2x2﹣x﹣1=0 的两个根，则 x1+x2=________，x1•x2=________． 三.解答题（共 6 题；共 36 分） 19.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克．经市 场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克．现该 商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 20.如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 于 y 轴上的一点 B，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2． （1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的另一交点为 D，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且△PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标． 21.甲、乙两个仓库向 A、B 两地运送水泥，已知甲库可调出 100 吨水泥，乙库可调出 80 吨 水泥，A 地需 70 吨，B 地需 110 吨水泥，两库到 A，B 两地的路程和费用如下表：（表中 运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送 1 千米所需要人民币）. 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库[来源:学科网 ZXXK] 甲库 乙库 A 地20 15 12 12 B 地 25 20 10[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 8 设甲库运往 A 地水泥 x 吨，总运费 W 元. (1)写出 w 关于 x 的函数关系式，并求 x 为何值时总运费最小？ (2)如果要求运送的水泥数是 10 吨的整数倍，且运费不能超过 38000 元，则总共有几种运送 方案？ 22.中考报名前各校初三学生都要进行体检，某次中考体验设有 A、B 两处检测点，甲、乙、 丙三名学生各自随机选择其中的一处进行中考体检，请用表格或树状图分析： （1）求甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率； （2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B 处检测视力的概率． 23.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏， 主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C 分别表示三位家长，他们的孩子分 别对应的是 a、b、c． （1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是 A、a 的概率是多 少（直接写出答案） （2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参 加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表） 24.（1）解方程： x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0． （2）已知抛物线 y=﹣2x2+8x﹣6，请用配方法把它化成 y=a（x﹣h）2+k 的形式，并指出此 抛物线的顶点坐标和对称轴． 四.综合题（共 10 分） 25.如图，D 是⊙O 直径 CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上，且 AB=AD=AO． （1）求证：BD 是⊙O 的切线． （2）若 E 是劣弧 上一点，AE 与 BC 相交于点 F，△BEF 的面积为 9，且 cos∠BFA= ， 求△ACF 的面积． 湖南省长沙市宁乡县 2018 届九年级上期末模拟数学试卷 答案与解析 一.单选题 1.【答案】C 【考点】圆与圆的位置关系 【解析】析：首先求得点 A 到点 O 的距离是 ，再根据圆心距与半径之间的数量关 系判断⊙O1 与⊙O2 的位置关系． 【解答】根据题意得点 A 到点 O 的距离是 ​ ，即两圆的圆心距是 2， 所以半径与圆心距的关系是 3-1=2， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1 与⊙O2 的位置关系是内切． 故选 C． 【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为 R 和 r， 且 R≥r，圆心距为 P，则：外离 P＞R+r；外切 P=R+r；相交 R-r＜P＜R+r；内切 P=R-r； 内含 P＜R-r． 2.【答案】C 【考点】反比例函数的应用，相切两圆的性质 【解析】 【解答】∵⊙O1 过原点 O，⊙O1 的半径 O1P1 ， ∴O1O=O1P1 ， ∵⊙O1 的半径 O1P1 与 x 轴垂直，点 P1（x1 ， y1)在反比例函数 y= （x＞0)的图象上， ∴x1=y1 ， x1y1=1， ∴x1=y1=1． ∵⊙O1 与⊙O2 相外切，⊙O2 的半径 O2P2 与 x 轴垂直， ∴EO2=O2P2=y2 ， OO2=2+y2 ， ∴P2 点的坐标为：（2+y2 ， y2)， ∵点 P2 在反比例函数 y= （x＞0)的图象上， ∴（2+y2)•y2=1， 解得：y2=-1+ 或-1- （不合题意舍去)， ∴y1+y2=1+（-1+ )= ， 故选 C． 【分析】根据⊙O1 与⊙O2 相外切，⊙O1 的半径 O1P1、⊙O2 的半径 O2P2 都与 x 轴垂直，分 别得出 x1=y1 ， EO2=O2P2=y2 ， 再利用反比例函数 y= 1 x 得出 P1 点坐标，即可表示出 P2 点的坐标，再利用反比例函数的性质得出 y2 的值，即可得出 y1+y2 的值．此题主要考查了 反比例函数的综合应用和相切两圆的性质，根据已知得出 O1O=O1P1 以及 OO2=2+y2 是解题 关键． 3.【答案】B 【考点】二次函数的应用 【解析】【解答】解：由题 A，B，C 均在抛物线 y=x2 上，并且斜边 AB 平行于 x 轴， 知 A、B 两点关于 y 轴对称，记斜边 AB 交 y 轴于点 D， 可设 A（﹣ ， b），B（ ， b），C（a，a2），D（0，b） 则因斜边上的高为 h， 故：h=b﹣a2 ， ∵△ABC 是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴得 CD= ∴ = 方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2 即 h=（﹣h）2 因 h＞0，得 h=1，是个定值． 故选 B． 【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出 A、B、C 各点坐标，就可以求出 h 或 h 的范围． 4.【答案】C 【考点】坐标与图形变化-旋转 【解析】【解答】解：∵菱形的边长为 ， ∴点 B 的纵坐标为 =2， ∴菱形的中心的坐标为（0，2）， ∴该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转 90°后，再向右平移 3 个单位的点 C 的对应点 C′的坐 标为（5，2）． 故选 C． 【分析】根据勾股定理列式求出点 B 的纵坐标，从而得到菱形的中心，再根据旋转的性质 以及平移变换求出点 C′的坐标即可． 5.【答案】B 【考点】二次根式的乘除法 【解析】解答： =9． 故选：B． 分析：根据二次根式的乘除运算法则直接求出即可． 6.【答案】A 【考点】一元二次方程的应用 【解析】 【分析】设原来正方形的边长为 xcm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．[来源: 学科网] 【解答】设原来正方形的边长为 xcm，增加后边长为（x+2)cm， 根据题意得：（x+2)2-x2=24， 解得：x=5， 则这个正方形原来的边长为 5cm． 故选 A 【点评】此题考查了平方差公式，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键 7.【答案】B 【考点】圆锥的计算 【 解析】【解答】解：此圆锥的侧面积= •4•2π•2=8π． 故选：B． 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半 径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 8.【答案】D 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%)×（1+x%)-1=（2+x%)x%． 故选 D． 【分析】设第一季度产值为 1，第二季度比第一季度增长了 x%，则第二季度的产值为 1× （1+x%)，那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了 x%来确定，则其产值为 1×（1+x%)× （1+x%)，化简即可．本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的 产值增长关系． 9.【答案】D 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】在 Rt△ACB 中，AB= ，∵BC 是半圆的直径，∴∠CDB=90°， 在等腰 Rt△ACB 中，CD 垂直平分 AB，CD=BD= ， ∴D 为半圆的中点，∴S 阴影部分=S 扇形 ACB﹣S△ADC= π×22﹣ ×（ ​ ）2=π﹣1．故选 D． 【分析】已知 BC 为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形 ABC 中，CD 垂直平分 AB， CD=DB，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形 ACB 的面积与△ADC 的面积 之差． 10.【答案】C 【考点】正多边形和圆 【解析】【解答】解：如图 2，连接 BM， 根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM， ∵OA 的垂直平分线交 OA 于点 M， ∴OM=AM= OA= ， ∴BM= = ， ∴DM= ， ∴OD=DM﹣OM= ﹣ = ， ∴BD2=OD2+OB2= = = OD． 故选 C． 【分析】首先连接 BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可 求得 BM 与 OD 的长，继而求得 BD2 的值． 二.填空题 11.【答案】13 【考点】二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：原式=（2 + ）× = × =13． 故答案为 13． 【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运 算即可． 12.【答案】y=500+1000x%；560 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【解答】解：∵本息和=本金×（1+利率）， ∴一年后的本息和为：500+500x%， 两年后本息和 y=500+500x%×2=500+1000x%， 当 x=6%时，y=560 元． 故填空答案：y=500+1000x%，560． 【分析】确定一年后的本息和和第 2 年后本息和，然后代入 x=6%即可取出对应的函数值． 13.【答案】2016 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵m 为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的实数根， ∴m2+2m﹣2018=0，即 m2=﹣2m+2018， ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n， ∵m，n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根， ∴m+n=﹣2， ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=﹣2m+2018，则 m2+3m+n 可化简为 2018+m+n，再根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．本题考 查了根与系数的关系：若 x1 ， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ﹣ ba ，x1x2= ca ．也考查了一元二次方程根的定义． 14.【答案】y=（x+1）2﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：抛物线 y=（x+1）2 的顶点坐标为（﹣1，0），把（﹣1，0）向下平 移 2 个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式是 y=（x+1） 2﹣2． 故答案为 y=（x+1）2﹣2． 【分析】先由二次函数的性质得到抛物线 y=（x+1）2 的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点 平移的规律，点（﹣1，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），然后根据顶点式写出 平移后的抛物线的解析式． 15.【答案】0≤k＜1 且 k≠ 【考点】一元二次方程的定义，根的判别式 【解析】【解答】解：∵关于 x 的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0 有两个不相等实数根， ∴ △=（2 ）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1） =4k﹣8k+4＞0， 解 得：0＜k＜1 且 1﹣2k≠0，k≥0， ∴k 的取值范围为 0＜k＜1 且 k≠ ． 故答案为：0≤k＜1 且 k≠ ． 【分析】由 x 的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0 有两个不相等实数根，可得△＞0，且 1﹣ 2k≠0，k≥0，三者联立求得答案即可． 16.【答案】b-a=-2 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：把 x=﹣1代入 ax2+bx﹣2=0，得 a﹣b﹣2=0， 则 a﹣b=2． 所以 b﹣a=﹣2． 故答案是：﹣2． 【分析】把 x=﹣1 代入已知方程来求 b﹣a 的值． 17.【答案】6 【考点】利用频率估计概率 【解析】【解答】解：由题意可得，红桃大约有：30×20%=6 张． 【分析】根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的频率为 20%，即红桃的概率为 20%， 根据概率公式即可求出红桃的张数． 18.【答案】12；﹣ 12 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵x1、x2 是方程 2x2﹣x﹣1=0 的两个根， ∴x1+x2= 12 ，x1•x2=﹣ 12 ， 故答案为： 12 ，﹣ 12 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 三.解答题 19.【答案】解：设每千克水果应涨价 x 元， 依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000， 整理，得 x2﹣15x+50=0， 解这个方程，得 x1=5，x2=10． 要使顾客得到实惠，应取 x=5． 答：每千克水果应涨价 5 元 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设每千克水果应涨价 x 元，得出日销售量将减少 20x 千克，再由盈利额= 每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可． 20.【答案】解：（1）∵y=0.5x+2 交 x 轴于点 A， ∴0=0.5x+2， ∴x=﹣4， 与 y 轴交于点 B， ∵x=0， ∴y=2 ∴B 点坐标为：（0，2）， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2 ∴可设二次函数 y=a（x﹣2）2 或 y=a（x+2）2 把 B（0，2）代入得：a=0.5 ∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2 或 y=0.5x2+2x+2（对称轴在 y 轴左侧，舍去）； （2）（Ⅰ）当 B 为直角顶点时，过 B 作 BP1⊥AD 交 x 轴于 P1 点 由 Rt△AOB∽Rt△BOP1 ∴ = ， ∴ = ， 得：OP1=1， ∴P1（1，0）， （Ⅱ）作 P2D⊥BD，连接 BP2 ， 将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2﹣2x+2 联立求出两函数交点坐标： D 点坐标为：（5，4.5）， 则 AD= ， 当 D 为直角顶点时 ∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2 ， ∴△ABO∽△AP2D， ∴ = ， = ， 解得：AP2=11.25， 则 OP2=11.25﹣4=7.25， 故 P2 点坐标为（7.25，0）； （Ⅲ）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，设 P3（a，0） 则由 Rt△OBP3∽Rt△EP3D 得： ， ∴ ， ∵方程无解， ∴点 P3 不存在， ∴点 P 的坐标为：P1（1，0）和 P2（7.25，0） 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）根据 y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，与 y 轴交于点 B，即可得出 A，B 两 点坐标，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2．得出可设二次函 数 y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2 ， 进而求出即可； （2）根据当 B 为直角顶点，当 D 为直角顶点，以及当 P 为直角顶点时，分别利用三角形相 似对应边成比例求出即可． 21.【答案】（1）解：设甲库运往 A 地粮食 x 吨，则甲库运到 B 地（100-x）吨，乙库运往 A 地（70-x）吨，乙库运到 B 地 [80-（70-x）]=（10+x）吨． 根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x） =-30x+39200(0≤x≤70)． ∴总运费 w（元）关于 x（吨）的函数关系式为 w=-30x+39200(0≤x≤70)． ∵一次函数中 w=-30x+39200 中，k=-30＜0 ∴w 的值随 x 的增大而减小 ∴当 x=70 吨时，总运费 w 最省， 最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元） 答：从甲库运往 A 地 70 吨粮食，往 B 地运送 30 吨粮食，从乙库运往 B 地 80 吨粮食时， 总运费最省为 37100 元． （2）解： 因为运费不能超过 38000 元， 所以 w=-30x+39200≤38000， 所以 x≥40. 又因为 40≤x≤70， 所以满足题意的 x 值为 40,50,60,70， 所以总共有 4 种方案. 【考点】二次函数的性质，二次函数的应用 【解析】【分析】（1）设甲库运往 A 地粮食 x 吨，则甲库剩下（100-x）要送到 B 地，所 以 A 地还需要（70-x）吨要从乙库运过来，所以从乙库运送[80-（70-x）]=（10+x）吨到 B 地，根据数量关系：总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费；（2）由题 可得 w=-30x+39200≤38000，解出 x 的取值范围，再取其中 x 为 10 的整数倍的数. 22.【答案】解：（1）画树状图为： 共有 8 种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数为 2， 所以甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率=28=14； （2）甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B 处检测视力的结果数为 4， 所以甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B 处检测视力的概率=48=12． 【考点】列表法与树状图法，概率公式 【解析】【分析】（1）画树状图展示所有 8 种等可能的结果数，再找出甲、乙、丙三名学 生在同一处中考体验的结果数，然后根据概率公式求解； （2）找出甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B 处检测视力的结果数，然后根据概率公式 求解． 23.【答案】解：（1）答：P（恰好是 A，a）的概率是=19； （2）依题意画树状图如下： 孩子 家长 ab ac bc AB AB，ab[来源:学科网] AB，ac AB，bc AC AC，ab AC，ac AC，bc BC BC，ab BC，ac BC，bc 共有 9 种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（ AC， ac），（ BC，bc）3 种，故恰好是两对家庭成员的概率是 P=39=13． 【考点】列表法与树状图法 【解析】【分析】（1）主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是 A、 a 的概率则为 13×13=19 ． （2）画出树形图，找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率． 24.【答案】解：（1） x（x﹣1）﹣（x﹣1 ）=0， 分解因式得：（x﹣1）（ x﹣1）=0， 可化为：x﹣1=0 或 x﹣1=0， 解得：x1=1，x2=2； （2）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x2﹣4x+4）+8﹣6=﹣2（x﹣2）2+2， ∴此抛物线的顶点坐标是（2，2），对称轴为直线 x=2． 【考点】二次函数的性质 【解析】【分析】（1）先将把方程左边化为两个一次因式积的形式，然后根据两数相乘积 为 0，两因式至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到原方程的解； （2）先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一 般式转化为顶点式 ，再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 四.综合题 25.【答案】（1）证明：连接 BO， ∵AB=AD ∴∠D=∠ABD ∵AB=AO ∴∠ABO=∠AOB， 又∵在△OBD 中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180° ∴∠OBD=90°，即 BD⊥BO ∴BD 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF ∴△ACF∽△BEF ∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ABC=90° 在 Rt△BFA 中，cos∠BFA= = ， ∴ =（ ）2= ， 又∵S△BEF=9 ∴S△ACF=16． 【考点】切线的判定 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠D=∠ABD，∠ABO=∠AOB，再根据三角形 内角和定理得到∠OBD=90°，即 BD 是⊙O 的切线；（2）由两角相等∠C=∠E，∠CAF=∠ EBF，得到△ACF∽△BEF，再由 AC 是⊙O 的直径，得到∠ABC=90°，在 Rt△BFA 中，由 三角函数值 cos∠BFA 得到 S△ACF 的面积.