【数学】云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ ‎ [考生注意]：考试用时120分钟，满分150分。必须在答题卡上的指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效。‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求，请在答题卡相应的位置上填涂）‎ ‎1．已知集合，则集合U的真子集共有 （ ）‎ A .15个 B . 16个 C. 31 个 D. 32个 ‎2．复数等于( 　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎3．已知为等差数列，若，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4． （ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎5．在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第7‎ 题图 ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为（ ） ‎ ‎ A.105 B. 16 C. 15 D. 1‎ ‎7．四棱锥的顶点在底面中的投影恰好是，‎ 其三视图如图所示，则四棱锥的表面积为 ( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8．设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎① 若、，则 ② 若，，则 ‎③ 若、，则 ④ 若，，则 其中真命题的序号是( ) ‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①③‎ ‎9.如右图阴影部分面积是(　 　)‎ A．e＋ B．e＋－1‎ C．e＋－2 D．e－ ‎10．已知直线y＝x＋b是曲线y＝f(x)＝ln x的切线，则b的值等于 ( )‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎11．为了得到函数的图象,可以将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 ‎ ‎ C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎12．在7名运动员中，选4名运动员组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有 种。 （ ）‎ ‎ A．120 B．240 C．400 D．420‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案写在答题卡的相应位置上）‎ ‎13.若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝ 。‎ ‎14．如果实数满足条件 ，那么的最大值为 。‎ ‎15．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一个点，∠F1PF2=60。°，|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项，则该椭圆的离心率为 。‎ ‎16．已知半径为的球中有一个内接正四面体，则这一正四面体的体积是 。‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（满分12分）已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：‎ ‎ （1）的值； ‎ ‎ （2）数列前项和 ‎ 18.（满分12分）的内角，，的对边分别为，，， 已知 ‎ (1)求 ‎ (2)若，面积为2，求．‎ ‎19．(本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，‎ ‎，分别为的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面．‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20. （满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ ‎21. （满分12分）若函数，当时，函数有极值，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．‎ ‎22.（满分10分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎5‎ 女性 ‎10‎ 总计 ‎50‎ 已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是 ‎(1)请将上面的列联表补充完整；‎ ‎(2)求该公司男、女员工各多少人；‎ ‎(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考答案 一、选择题： 1-5：CAACC 6-10：CBDCA 11-12:CC 二、 填空题： 13. 1 14.1 15. 16. 　 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（满分12分）已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：‎ ‎ （1）的值； ‎ ‎ （2）数列前项和 ‎ 解:（1）由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎18.（满分12分）的内角，，的对边分别为，，， 已知 ‎ (1)求 ‎ (2)若，面积为2，求．‎ 解：由题设及 得 ，‎ 故．‎ 上式两边平方，得 整理得， 解得（舍去），.‎ ‎（2）由得，故．‎ 又，则．‎ 由余弦定理及得 ‎． 所以． ‎ ‎19．(本小题满分12分）四棱锥的底面为菱形，平面，‎ ‎，分别为的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面．‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ 证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，‎ ‎∴．在中，，， ‎ ‎∴．‎ ‎∴，即．‎ 又， ‎ ‎∴．...............................................2分 ‎∵平面，平面，‎ ‎∴．又∵，‎ ‎∴平面，.............................................................4分 又∵平面， ‎ ‎ ∴平面平面． ........................................6分 ‎（Ⅱ）以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，、、、， ‎ 则，，．...............7分 由（Ⅰ）知平面，‎ 故平面的一个法向量为..................8分 设平面的一个法向量为，‎ 则 ，即，令，‎ 则． .....................................10分 ‎∴．‎ 所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．...............................12分 ‎20. （满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ 解　(1)由得x2－4x－4b＝0，(*)‎ 因为直线l与抛物线C相切，‎ 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，‎ 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.‎ 故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，‎ 即r＝|1－(－1)|＝2，‎ 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎21. （满分12分）若函数，当时，函数有极值，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．‎ 解：求导得， ‎ ‎（1）由题意，得 所求解析式为 ‎（2）由（1）可得： 令，得或 又因为 的定义域为R，当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎—‎ 单调递增↗‎ 单调递减↘‎ 单调递增↗‎ 因此，当时，有极大值 ‎ ‎ 当时，有极小值 ‎ 函数的图象大致如图： ‎ 由图可知： ‎ ‎22.（满分10分）‎ 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎5‎ 女性 ‎10‎ 总计 ‎50‎ 已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是 ‎(1)请将上面的列联表补充完整；‎ ‎(2)求该公司男、女员工各多少人；‎ ‎(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)‎ 解:(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，‎ 所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女性 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(2)该公司男员工人数为25÷50×650＝325(人)，则女员工有325人．‎ ‎(3)K2的观测值k＝≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．‎