数学理卷·2017届北京市朝阳区高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届北京市朝阳区高三上学期期末考试（2017

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试 ‎ 高三年级数学试卷（理工类） 2017．1‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ‎3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．若，且，则“函数在上是减函数”是“函数 在上是增函数 ”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎5．从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A． B． ‎1‎ ‎2‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎1‎ C． D．‎ ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．在中，，点D是边上的动点，且，,()，则当取得最大值时,的值为 A． B． C． D．‎ ‎8．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是 A． B． C． D．‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． ‎ 开始 是 否 输出 结束 ‎9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则等于 ． ‎ ‎10．已知等差数列的前n项和为．若，，‎ 则= ， ．‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 ．‎ ‎12．在△中，已知，则 ． ‎ ‎13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_______；的取值范围是 ．‎ ‎14．若集合满足：，都有，则称集合是封闭的．显然，整数集，有理数集都是封闭的．对于封闭的集合（），：是从集合到集合的一个函数，‎ ‎①如果都有，就称是保加法的；‎ ‎②如果都有，就称是保乘法的；‎ ‎③如果既是保加法的，又是保乘法的，就称在上是保运算的．‎ 在上述定义下，集合 封闭的（填“是”或“否”）；若函数 在上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎ （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ ‎ 甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲：82 81 79 78 95 88 93 84‎ 乙：92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；‎ ‎（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同 学参加较为合适？并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数 为（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求的分布列及数学期望．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ F A D C B E ‎ 在如图所示的几何体中， 四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面 ‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为直二面角，‎ ‎（i）求直线与平面所成角的大小； ‎ ‎（ii）棱上是否存在点，使得平面? ‎ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18． （本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆上的动点与其顶点,不重合．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线与的斜率乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）设点，在椭圆上，为坐标原点，当,时，求的面积．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设函数，，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 设是正整数，数列，其中是集合中互不相同的元素．若数列满足：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎（ⅰ）若数列是一个“好数列”，试写出的值，并判断数列：是否是一个“好数列”？‎ ‎（ⅱ）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？‎ ‎（Ⅱ）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：．‎ 北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试 ‎ 数学答案（理工类） 2017．1‎ 一、选择题：（满分40分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B ‎ D ‎ D ‎ A C B C ‎ B 二、填空题：（满分30分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎，‎ 是，‎ ‎（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）‎ 三、解答题：（满分80分）‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ ． ‎ ‎ 所以的最小正周期为． ………………………………………………………7分 ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 当时，取得最大值；‎ ‎ 当取得最小值．…………………………13分 ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：‎ ‎ ‎ ‎…………………………………4分 ‎（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ 因为 ，，‎ 所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：‎ 从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为，‎ 乙获得85分以上（含85分）的频率为．‎ 因为，所以派乙参赛比较合适．‎ ‎（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，‎ ‎ ． ……………………………………………………… 9分 ‎ 随机变量的可能取值为0，1，2，3，且．‎ ‎ ∴，．‎ ‎ 所以变量的分布列为： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎………………………………………………………11分 ‎．‎ ‎（或） ………………………………………………13分 ‎17．（本小题满分14分）‎ F A D C B E O G 证明：（Ⅰ）连结，设，‎ 因为四边形为正方形，‎ 所以为中点．‎ 设为的中点，连结，‎ 则，且．‎ 由已知，且，‎ 所以．‎ 所以四边形为平行四边形．‎ 所以，即．‎ 因为平面，平面，‎ 所以//平面． ……………………………………………………5分 xzX yzX zzX P．‎ F A D C B E ‎（Ⅱ）由已知，，‎ 所以．‎ 因为二面角为直二面角，‎ 所以平面平面．‎ 所以平面，‎ 所以．‎ 四边形为正方形，所以．‎ 所以两两垂直．‎ 以为原点，分别为轴建立空间直 ‎ 角坐标系（如图）．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎（i）设平面的一个法向量为， ‎ 由 得即 ‎ 取，得．‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 因为，所以．‎ 即直线与平面所成角的大小为． ………………………………9分 ‎（ii）假设棱上存在点，使得平面． ‎ 设，则．‎ 设，则，‎ 因为，所以．‎ 所以，所以点坐标为．‎ 因为，所以． ‎ 又，所以 解得 ．‎ 因为，所以上存在点，使得平面，且．‎ ‎（另解）假设棱上存在点，使得平面． ‎ 设，则．‎ 设，则，‎ 因为，所以．‎ 所以，所以点坐标为．‎ 因为，所以．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 由，‎ 得 ‎ 取，得．‎ 由，即，‎ 可得 解得．‎ 因为，所以上存在点，使得平面，且．‎ ‎ ………………………………………………………………14分 ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设，则．‎ 所以直线与的斜率乘积为．……4分 ‎（Ⅱ）依题直线的斜率乘积为．‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程 是，由得，．‎ 取，则．所以的面积为．‎ ‎②当直线的斜率存在时,设直线的方程是,‎ 由得．‎ 因为，在椭圆上，‎ 所以，解得．‎ 设,,则，．‎ ‎．‎ 设点到直线的距离为，则．‎ 所以的面积为①．‎ 因为,，直线,的斜率乘积为，所以．‎ 所以．‎ 由，得．②‎ 由①②，得．‎ ‎ 综上所述，． …………………………………13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是，．‎ ‎ 当时， ，．‎ ‎ 所以函数在点处的切线方程为．‎ ‎ 即． …………………………………4分 ‎（Ⅱ）函数的定义域为，由已知得．‎ ①当时，函数只有一个零点；‎ ②当，因为，‎ 当时，；当时，．‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，‎ 因为，所以，所以，所以 取，显然且 所以，．‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．‎ ③当时，由，得，或．‎ ⅰ) 当，则．‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎ 注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意．‎ ⅱ) 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意．‎ 若，则．‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎ 注意到当时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意．‎ 综上，的取值范围是 …………………………………………9分 ‎（Ⅲ）证明：．‎ 设，其定义域为，则证明即可．‎ 因为，取，则，且．‎ 又因为，所以函数在上单增．‎ 所以有唯一的实根，且．‎ 当时，；当时，．‎ 所以函数的最小值为．‎ 所以 ‎．‎ 所以 ……………………………………………………14分 ‎20．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）（ⅰ） ，或；‎ 数列：也是一个“好数列”． …………………………………3分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含两项，‎ 若剩下两项从中任取，则都符合条件，有种；‎ 若剩下两项从中任取一个，则另一项必对应中的一个，‎ 有种；‎ 若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；‎ 若取，则，另一项可从中任取一个，有种；‎ 若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；‎ 若取，则，符合条件，‎ 若取，则易知“好数列”必超过项，不符合；‎ 综上，共有66种不同的取值． ………………………………………7分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．‎ 又“好数列”各项互不相同，所以，不妨设．‎ 把数列配对：，‎ 只要证明每一对和数都不小于即可．‎ 用反证法，假设存在，使，‎ 因为数列单调递增，所以，‎ 又因为“好数列”，故存在，使得，‎ 显然，故，所以只有个不同取值，而有 个不同取值，矛盾．‎ 所以，每一对和数都不小于，‎ 故，即．…………………13分