2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高一下学期第三次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高一下学期第三次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高一下学期第三次月考数学试题 一、单选题 ‎1．若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（ ）‎ A．重合 B．关于原点对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】根据终边相同的角的特点，判断出终边位置，从而得到对称关系.‎ ‎【详解】‎ ‎ 与终边相同 ‎ 与终边相同 又，即终边关于轴对称 与终边关于轴对称 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角的终边的位置关系，根据终边相同的角的特点得到结果，属于基础题.‎ ‎2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．‎ ‎【详解】‎ 解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．‎ ‎3．已知,则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．‎ ‎4．记等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．36 B．72 C．55 D．110‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 所以.选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5．函数的定义域为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得：≥0，‎ 故≥1，‎ 故kπxkπ，‎ 解得：x∈k∈z，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．‎ ‎6．设则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，然后根据可得三个函数值的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较三角函数值的大小，解题的关键是统一角，然后再根据三角函数的性质进行比较，属于基础题．‎ ‎7．对函数的表述错误的是     ‎ A．最小正周期为 B．函数向左平移个单位可得到 C．在区间上递增 D．点是的一个对称中心 ‎【答案】D ‎【解析】先根据二倍角公式以及辅助角公式化函数为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质判断选择.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以最小正周期为，‎ 向左平移个单位可得到,‎ 因为,所以，即递增，‎ 因为时，，所以点不是的对称中心，‎ 综上选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．设函数，其中均为非零的常数，若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】化简的表达式，将所得结果代入的表达式中，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，故 ，所以. .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎9．函数的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的最小正周期是，求得，即，再根据三角函数的图象变换求得，利用三角函数的对称性，求得 ‎，得到函数，再利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的最小正周期是，即，解得，‎ 所以，‎ 将函数的向左平移个单位后得到函数 因为为偶函数，所以，即，‎ 解得，因为，所以，‎ 所以，令，解得，‎ 令，则，所以函数关于对称，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．如图，在中，，，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 又，可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.‎ ‎11．若函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得方程有三个不同的实数根，令，‎ ‎，然后画出函数的大致图象，由函数的图象以及余弦图象的对称轴求出的值，判断出的范围，即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意得方程有三个不同的实数根，‎ 令，，‎ 画出函数的大致图象，如图所示．‎ ‎ ‎ 由图象得，当时，方程恰好有三个根．‎ 令，得，‎ 当时，；当时，．‎ 不妨设，由题意得点关于直线对称，‎ 所以．‎ 又结合图象可得，‎ 所以，‎ 即的取值范围为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是借助函数的图象利用数形结合求解，解题时注意余弦型函数图象对称性的应用，转化为只判断零点所在的范围的问题求解，考查画图、用图以及转化思想的应用，属于基础题．‎ ‎12．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质和前n项和公式，可得，要使得为正整数，求得的取值个数，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据等差数列的性质和前n项和公式，‎ 可得 ，‎ 要使得为正整数，则或，‎ 所以要使得为正整数的正整数n的个数为2个，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中根据等差数列的性质和前n项和公式，化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ 二、填空题 ‎13．将函数的图象向右平移（）个单位长度后，其函数图象关于轴对称，则的最小值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用三角恒等变换化简，可得函数，再由三角函数的图象变换，求得，根据函数的对称性，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 则的图象向右平移个单位，可得，‎ 又由的图象关于y轴对称，所以，即，‎ 解得，即，‎ 当时，求得最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图象变换和三角函数的性质的应用，其中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，数列应用三角函数的图象变换和三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知,，与的夹角为，则使向量与的夹角是锐角的实数 的取值范围为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量数量积的公式以及向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵||，||＝1，与的夹角为45°，‎ ‎∴•||||cos45°1，‎ 若（2λ）与（3）同向共线时，‎ 满足（2λ）＝m（3），m＞0，‎ 则，得λ，‎ 若向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角，‎ 则（2λ）•（λ3）＞0，且，‎ 即2λ2+3λ2﹣（6+λ2）•0，‎ 即4λ+3λ﹣（6+λ2）＞0，‎ 即λ2﹣7λ+6＜0，‎ 得且，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量数量积的应用，根据数量积和向量夹角的关系建立不等式关系是解决本题的关键．注意向量同向共线时不满足条件．‎ ‎15．若是等差数列中，首项，，则使前项和成立的最大自然数是______．‎ ‎【答案】46‎ ‎【解析】由题意，得到等差数列中，公差，且，且，再由等差数列的求和公式，得到，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，等差数列中，首项，，‎ 可得公差，且，且，‎ 又由等差数列的求和公式，可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以则使前项和成立的最大自然数是46．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的单调性，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中合理应用等差数列的性质和前项和公式，分别求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：‎ ‎①该函数的值域为； ②该函数的图象关于原点对称；‎ ‎③该函数的图象关于直线对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为；‎ ‎⑤该函数的递增区间为.‎ 其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）‎ ‎【答案】①④⑤.‎ ‎【解析】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．‎ 详解：①中，由三角函数的定义可知，‎ 所以，所以是正确的；‎ ‎②中，，所以，所以函数关于原点对称是错位的；‎ ‎③中，当时，，所以图象关于对称是错误的；‎ ‎④中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为，所以是正确的；‎ ‎⑤中，因为，令，‎ 得，即函数的单调递增区间为，所以是正确的，‎ 综上所述，正确命题的序号为①④⑤．‎ 点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知．‎ ‎（1）化简； ‎ ‎（2） 若是第三象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据诱导公式进行化简即可得到结果．（2）由求得，再结合（1）中的结论可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得 ‎．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ 又为第三象限角，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 应用诱导公式解题时，容易出现的错误是三角函数名是否改变和结果的符号问题，解题时一定要强化对公式的理解，正确掌握“奇变偶不变，符号看象限”的含义，并熟练地应用到解题中，考查变换能力和对公式的掌握情况，属于基础题．‎ ‎18．已知向量，．‎ ‎（1）若与平行，求的值；‎ ‎（2）若与垂直，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】通过坐标表示出和，根据向量平行和垂直的性质可构造关于的方程，求解得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量平行和垂直的性质求解参数的问题，主要利用向量的坐标运算来求解，属于基础题.‎ ‎19．已知向量，，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设函数，，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，可得，求得，即可求解；‎ ‎（2）利用三角恒等变换的公式，化简 ‎，再利用三角函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 解得.‎ ‎（2）由三角恒等变换的公式，化简得 ‎，‎ 当时，，，‎ 所以的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，其中解答熟记向量的数量积的运算公式，以及合理应用三角恒等变换的公式和三角函数的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎20．已知、均为锐角，，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】（1）先求出 ,再求的值；（2）利用求值得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵为锐角，∴ ,‎ 则.‎ ‎（2）∵，则，‎ 则 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．已知数列{}满足，（）．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式．‎ ‎【答案】（1），，（2）见解析 ‎【解析】（1）由已知结合数列递推式直接求得，，的值；‎ ‎（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，，‎ 得，，；‎ 证明：（2）当时，由，得，‎ ‎∴{}是公差为1的等差数列，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题．‎ ‎22．某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（单位：小时，其中对应凌晨0点）的函数近似满足 ,如图是函数的部分图象．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型模拟，当供电量小于企业用电量时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间在中午11点到12点之间，用二分法估算所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由图象，利用最大值与最小值差的一半求得，由最大值与最小值和的一半求得，由周期求得，由特殊点求得的值，从而可得的解析式； （2）构造函数，先判断在上是单调递增函数，再利用二分法判断函数的零点所在的区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图象可知A==，B==2，T=12=，ω=，‎ 代入点（0，2.5）得sinφ=1，‎ ‎∵0＜φ＜π，∴φ=；‎ 综上，A=，B=2，ω=，φ=，‎ 即f（t）=sin（t+）+2. ‎ ‎（2）由（1）知f（t）=sin（t+）+2=cost+2，‎ 令h（t）=f（t）-g（t），‎ 设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；‎ 易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；‎ 由h（11）=f（11）-g（11）=cos+2+2×11-25=-1＜0，‎ h（12）=f（12）-g（12）=cos+2+2×12-25=＞0，‎ 又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）=cos+2+2×11.5-25=cos（-）=cos=＞0，‎ 则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），‎ 又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）=cos+2+2×11.25-25＜×1-0.5=0，‎ 则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．‎ 所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要通过已知 的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题. 利用最大值与最小值差的一半求得，由最大值与最小值和的一半求得， 利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.‎