2018-2019学年甘肃省武威市第六中学高二下学期第一次学段考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年甘肃省武威市第六中学高二下学期第一次学段考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省武威市第六中学2018-2019学年高二下学期第一次学段考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．函数有（ ）．‎ A．极大值，极小值 B．极大值，极小值 C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，令得到，令，结合 ‎，所以函数在上单调递增，在 单调递减，当时取到极大值，无极小值 考点：函数的单调性和极值 ‎2．已知函数 的值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对f（x）求导，代入计算即可 ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝xsinx+cosx，‎ ‎∴f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，‎ ‎∴f′（）cos0；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的简单运算以及应用问题，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题．‎ ‎3．在上可导，则是函数在点处有极值的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）＝0外，还要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．‎ ‎【详解】‎ 若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0‎ 反之 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．‎ 所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分必要条件，极值的定义，注意函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）＝0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0，是基础题 ‎4．如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 （　　）‎ A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．当时，取极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由图象，得当时，有正有负，则在区间不是单调递增函数，故选项A错误，当时，有正有负，则在区间不是单调递减函数，故选项B错误，因为在时，，时，，即函数在上递增，在上递减，在出取得极小值；故选C.‎ ‎5．观察下列各式：a＋b＝1，＋＝3，＋＝4，＋＝7，＋＝11，…，则＋＝( )‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察式子之间的规律，利用不完全归纳法推导即可.‎ ‎【详解】‎ 记＋＝，则；；.通过观察不难发现，则；；.所以＋＝123.‎ ‎【点睛】‎ 观察得到从第三个式子起，每个式子的值是前两个式子之和这个结论是本题解题关键.‎ ‎6．函数,当时,有恒成立,则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使原式恒成立，只需 m2﹣14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 因为f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x，x∈[﹣3，3]‎ 所以f′（x）＝﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）＝0得，‎ 因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，‎ 所以最小值一定在端点处或极值点处取得，‎ 而f（﹣3）＝﹣3，f（﹣2）＝﹣8，f（），f（3）＝﹣33，‎ 所以该函数的最小值为﹣33，‎ 因为f（x）≥m2﹣14m恒成立，‎ 只需m2﹣14m≤f（x）min，‎ 即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0‎ 解得3≤m≤11．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题 ‎7．函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的零点就是方程的根，转化为xex+x2+2x=-a有两个解，设g（x）＝xex+x2+2x，判断其单调性求其值域，则a值可求 ‎【详解】‎ 函数y＝xex+x2+2x+a恰有两个不同的零点，‎ 就是xex+x2+2x=-a恰有两个不同的实数解，‎ 设：g（x）＝xex+x2+2x，‎ 则g′（x）＝ex+xex+2x+2，‎ ‎＝（x+1）（ex+2），‎ x＜﹣1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x＞﹣1，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 故函数的最小值为：g（﹣1）＝﹣1，，又 g（x） g（x）‎ 则-a>﹣1解a＜1．‎ 函数y＝xex+x2+2x+a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为：（﹣∞，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎8．若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∵f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴在区间（1，+∞）上恒成立 ‎∴a≤x2在区间（1，+∞）上恒成立 ‎∵x2＞1‎ ‎∴a≤1，经检验，等号成立 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性，解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值，是基础题 ‎9．由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为 （　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定出曲线y，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系求解即可．‎ ‎【详解】‎ 联立方程得到两曲线的交点（4，2），‎ 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：‎ S．‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．‎ ‎10．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：依题意,,故过的切线方程为,两平行直线间的距离为.‎ 考点：函数导数与最值．‎ ‎11．设，若函数， 有大于零的极值点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点．‎ 即有正根，当有成立时，显然有，‎ 此时．由，得参数a的范围为．故选B．‎ 考点：利用导数研究函数的极值．‎ 视频 ‎12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设直线与曲线相切的切点为,利用导数的几何意义得：,‎ 解得或,当时，直线为轴，与相切，即,解得，当时，直线为,与抛物线联立，整理得：,因为相切，所以,解得,故选A．‎ 考点：1．导数的几何意义；2．求切线方程．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为=,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 由得 由得（舍去），‎ 当时，，函数为增函数 当时，，函数为减函数 所以当时，函数有最大值为（万元）‎ 使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件 ‎14．计算定积分___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：定积分计算 ‎15．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，故可得出结论 ‎【详解】‎ 由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时 一般是由点的性质类比推理到线的性质，‎ 由线的性质类比推理到面的性质，‎ 由圆的性质推理到球的性质．‎ 由已知在平面几何中，△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，‎ 则△ABC的外接圆半径，‎ 我们可以类比这一性质，推理出：‎ 在四面体S﹣ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，‎ 则四面体S﹣ABC的外接球半径R 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），是基础题 ‎16．已知存在单调递减区间,则的范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 对函数f(x)求导，得f′(x)＝－(x>0)．依题意，得f′(x)<0在(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a>0且方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正根，∴a>－1，又∵a≠0，‎ ‎∴－10.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求下列函数的导数 ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据商的导数的求导公式求解即可（2）根据积的导数的求导公式求即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数的求导公式，熟记商的导数，积的导数的求导法则，准确计算是关键，是基础题 ‎18．若函数,当时,函数有极值为,‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若有个解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得f′(x)＝3ax2－b.‎ ‎(1)满足题意时有，据此确定可得a,b的值，从而确定函数的解析式；‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，据此确定函数的极大值和极小值，原问题等价于直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，据此可得k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ f′(x)＝3ax2－b.‎ ‎(1)由题意得 解得 故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎－‎ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值，‎ 所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．‎ 若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－0，‎ ‎∴ f(x)在[1，e]上为增函数，‎ ‎∴ f(x)max＝f(e)＝e＋1．‎ ‎(2)∵ f(x)≤0即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立，‎ ‎∴ a≤－，x∈[1，e]．‎ 令g(x)＝－，x∈[1，e]，‎ 则g′(x)＝，‎ ‎∵ x∈[1，e]，‎ ‎∴ g′(x)≤0，当且仅当x=e时等号成立，‎ ‎∴ g(x)在[1，e]上递减，‎ ‎∴ g(x)min＝g(e)＝， ‎ ‎∴ a≤－．‎ ‎∴实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.‎ ‎22．已知函数，，‎ 若，求函数的极值；‎ 设函数，求函数的单调区间．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的定义域为，当时，，利用导数研究函数的极值可知 在处取得极小值1．函数没有极大值．‎ ‎（2）由函数的解析式可知，，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，‎ 当时，，，‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1．函数没有极大值．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎①当时，即时，‎ 在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当，即时，在上，‎ 所以函数在上单调递增．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎