【数学】新疆阿勒泰地区2019-2020学年高二下学期期末考试试题（B卷）（解析版）
新疆阿勒泰地区2019-2020学年
高二下学期期末考试试题（B卷）
一选择题（每题5分，共60分）
1全称命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是 ( )
A．∃x0∈R，x＋5x0＝4 B．∀x∈R，x2＋5x≠4
C．∃x0∈R，x＋5x0≠4 D．以上都不正确
2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
3已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为
( )
A．3 B．2 C．1 D.
4设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足 ( )
A．a2>b2 B.< C．0
0时，f′(x)>3x2，则不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1的解集为( )
A．(－∞，2) B. C. D．(2，＋∞)
12已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A.＋2 B.＋1 C.－2 D.－1
二填空题（每题5分，共20分）
13已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．
14曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(如图所示阴影部分)，其面积是________．
15设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
16已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为_______
三解答题(17题10分,18,19,20,21,22题每题12分)
17已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A；
(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
19已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90。,PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
20已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a>0.
(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
21二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0＜x≤10)与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如表的对应数据：
使用年数
2
4
6
8
10
售 价
16
13
9.5
7
4.5
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．
22已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点和抛物线y2＝4x的焦点相同，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点(3,0)的直线交椭圆于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足＋＝λ(λ≠0，O为原点)，当|AB|<时，求实数λ的取值范围．
参考答案
一选择题（每题5分，共60分）
1全称命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是(C )
A．∃x0∈R，x＋5x0＝4 B．∀x∈R，x2＋5x≠4
C．∃x0∈R，x＋5x0≠4 D．以上都不正确
C 解析全称命题的否定既要改变量词，又要否定结论，故C项正确．
2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( D )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
选D ＝＝＋i＝3＋i，所以解得a＝4，故选D.
3已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为
( B )
A．3 B．2 C．1 D.
解：y′＝－，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B.
4设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( C )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C ∵f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，∴2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．
5若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( C )
A．a2>b2 B.< C．0>0，所以00时，f′(x)>3x2，则不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1的解集为( B )
A．(－∞，2) B. C. D．(2，＋∞)
解析：选B 令F(x)＝f(x)－x3，则F′(x)＝f′(x)－3x2，
由f(x)－f(－x)＝2x3，可得F(－x)＝F(x)，
故F(x)为偶函数，
又当x>0时，f′(x)>3x2，即F′(x)>0，
∴F(x)在(0，＋∞)上为增函数．
不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1可化为f(x)－x3>f(x－1)－(x－1)3，∴F(x)>F(x－1)，∴F(|x|)>F(|x－1|)，∴由函数的单调性可知|x|>|x－1|，解得x>.
12已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( D )
A.＋2 B.＋1 C.－2 D.－1
解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1.又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1.焦点F到直线l的距离记为d，则d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，即d1＋d2的最小值为－1.答案：D
二填空题（每题5分，共20分）
13已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．
解析：把双曲线的方程化为x2－＝1，可见，双曲线的实轴长为2，虚轴长为2 ，根据题意有2 ＝2×2，∴m＝－. 答案：－
14曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(如图所示阴影部分)，其面积是________．
【答案】
15设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，
解得p＝或p＝.
答案：或
16已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为________．
解析：f′(x)＝－k＝(x>0)．
设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.
答案：(－∞，e]
三解答题(17题10分，18到22每题12分)
17已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A；(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0， ……….1
整理得(x＋1)(x－1)≥0， …………….2
解得x≤－1或x≥1， ……….3
∴A＝{x|x≤－1或x≥1}． ……………………….4
(2)要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)>0，
即(x－a－1)(x－2a)<0，
又∵a<1，∴a＋1>2a，
∴B＝{x|2a0.
(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝－＝， 。。。。。。1
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，
即＝0，解得a＝1. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。3
(2)由(1)知f′(x)＝，
因为x≥0，a>0，所以ax＋1>0.
①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．。4
②当00解得x>， 。。。。。5
由f′(x)<0解得x< ，.。。。。。。。。。。。。。。。。8
所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
综上可知，当a≥2时，f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；当0b>0)的右焦点和抛物线y2＝4x的焦点相同，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点(3,0)的直线交椭圆于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足＋＝λ(λ≠0，O为原点)，当|AB|<时，求实数λ的取值范围．
解析：(1)y2＝4x，焦点F(，0)，所以c＝，
椭圆焦点为(－，0)，(，0)，
所以2a＝＋＝4，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2
所以a＝2，所以b＝1，
椭圆方程为＋y2＝1..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当AB斜率是0时，|AB|＝4不合题意．
当AB斜率不为0时，设直线AB的方程是x＝my＋3，
②代入①得(4＋m2)y2＋6my＋5＝0，
Δ＝36m2－20(4＋m2)>0，
所以m2>5，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6
所以|AB|＝|y1－y2|
＝
＝·.
因为|AB|<，
即<3，
整理得13m4－88m2－128<0，
所以m2<8，
所以5
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