【推荐】专题4-3 三角函数的图像和性质-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题4-3 三角函数的图像和性质-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎【真题再现】‎ ‎1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎【考点】三角函数图像变换.‎ ‎2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【考点】函数的性质 ‎【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.‎ ‎(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可. ‎ ‎3.【2017天津，理7】设函数，，其中，.若 ，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D）， ‎【答案】 ‎【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ ‎【答案】B 考点：三角函数的性质 ‎5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ 考点：三角函数图像的平移.‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得 的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．‎ ‎6.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）‎ ‎（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【考点定位】三角函数的图象变换.‎ ‎7.【2017山东，理16】设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知及可得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而.‎ 根据得到，进一步求最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由题设知，‎ 所以，.‎ 故，，又，‎ 所以.‎ ‎【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.‎ ‎【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. ‎ ‎8.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由与得 所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得 解得 所以的单调递增区间是．‎ ‎【考点】三角函数求值、三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎【考纲解读】‎ ‎1．能画出y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎3.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．‎ ‎4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ ‎【命题规律】 ‎ 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：‎ ‎1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；‎ ‎2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.‎ ‎【知识链接】‎ ‎1．“五点法”作图原理 在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、、(π，0)、、(2π，0).‎ ‎2．三角函数的图像和性质 ‎　函数 性质　‎ y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 ‎{x|x≠kπ＋(k∈Z)}‎ 图像 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ ‎ R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；‎ 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)　‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；‎ 对称中心：‎ 周期 ‎2π ‎2π　‎ π 单调性 增区间 ；‎ 减区间 增区间 减区间 增区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数_‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 A T＝　‎ f＝ ‎＝ ‎4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤如下 ‎【融会贯通】‎ 题型1 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式 典例1.数的图象如下图所示，则的一组可能值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 典例2．【湖北省武汉市2017届高三四月调研测试数学理试题】如图所示，某地一天6~14 度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（   ） ‎ A．,‎ B．,‎ C．,‎ D．,‎ ‎【答案】A 典例3．函数且的部分图象，则______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题设可得，则；再由 ，即，故由题设可知，所以， ‎ ，应填答案。‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜) 的部分图象如图所示，则f(x)的函数解析式为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像如图所示，则f(x)的解析式为_________________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得 ,‎ 又 ‎ ‎3．如图，将绘有函数 (， )部分图象的纸片沿轴折成平面平面，若之间的空间距离为，则（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎【答案】B ‎【方法总结】‎ 根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：‎ ‎(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；‎ ‎(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；‎ ‎(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；‎ ‎(4)φ的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值．‎ 法二：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ．‎ 题型2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的变换 典例1.【2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测数学】函数f(x)=Asin(ωx+φ)‎（ω>0‎，‎|φ|<‎π‎2‎）的部分图象如图所示，将函数f(x)‎的图象向右平移‎7π‎24‎个单位后得到函数g(x)‎的图象，若函数g(x)‎在区间‎[-π‎3‎,θ]‎（θ>-‎π‎3‎）上的值域为‎[-1,2]‎，则θ等于（ ）‎ A. π‎6‎ B. π‎4‎ C. ‎2π‎3‎ D. ‎‎7π‎12‎ ‎【答案】B ‎【点睛】‎ 本题学生容易经验性的认为A=2‎,但此时φ在‎|φ|<‎π‎2‎内无解。所以A=-2‎。‎ 已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)‎的图象求解析式 ‎(1)‎|A|=ymax‎-‎ymin‎2‎,B=‎ymax‎+‎ymin‎2‎.‎ ‎(2)由函数的周期T求ω,T=‎2πω.‎ ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ，一般用最高点或最低点求。‎ 典例2．【西藏日喀则区第一高级中学2017届高三下学期期中考试数学（理）】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )‎ A. x= (kZ) B. x= (kZ)‎ C. x= (kZ) D. x= (kZ)‎ ‎【答案】D ‎【解析】平移后函数为 ，所以由得，选D. ‎ 典例3．【天津市红桥区2017届高三二模数学（理）试题】将函数的图象向右平移（）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【点睛】把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，即“左加右减，上加下减”，把函数的图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，即，由于三角函数的对称轴穿过函数图象的最高点或最低点，所以根据对称轴方程可求.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试数学（理）试题】将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则 A. B. 的图象关于对称 C. D. 的图象关于对称 ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以 ， 的图象关于对称； ， ，因此选B.‎ ‎2.【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）数学（理）试题】已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 2 D. ‎【答案】B ‎ ‎ ‎3．已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（ ）.‎ A. 图象关于点中心对称 B. 图象关于轴对称 C. 在单调递减 D. 在区间单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为．对于A，当时， ．图象不关于点中心对称，∴A不正确；对于B，当时， ，图象不关于轴对称，∴B不正确；对于C， 的周期是．当时，函数取得最大值，∴在单调递减不正确，∴C不正确； 的周期是．当时，函数取得最大值， 时，函数取得最小值，∵，∴在区间单调递增，∴D正确 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ 题型3 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的周期性与对称性 典例1．设函数 的图像关于直线对称,它的最小正周期是 ,则以下结论正确的个数（ ）‎ ‎（1） 的图象过点 ‎ ‎（2）的一个对称中心是 ‎ ‎（3）在 上是减函数 ‎（4）将的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D 点睛：已知函数的图象求解析式 ‎(1) .‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ 典例2．【安徽省巢湖市柘皋中学2017届高三最后一次模拟考试数学（理）试题】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)‎的部分图像如图所示，则函数g(x)=Acos(φx+ω)‎图像的一个对称中心可能为（ ）‎ A. ‎(-‎5‎‎2‎,0)‎ B. ‎(‎1‎‎6‎,0)‎ C. ‎(-‎1‎‎2‎,0)‎ D. ‎‎(-‎11‎‎6‎,0)‎ ‎【答案】C ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出φ，正确求ω，φ使解题的关键.求解析时求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时ωx+φ=0‎；“第二点”(即图象的“峰点”) 时ωx+φ=‎π‎2‎ ‎；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点) 时ωx+φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”) 时ωx+φ=‎‎3π‎2‎；“第五点”时ωx+φ=2π.‎ 典例3．【宁夏石嘴山一中2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题】如果函数y=2sin(2x-φ)‎的图像关于点‎(‎4π‎3‎,0)‎ 中心对称，那么‎|φ|‎ 的最小值为 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【变式训练】‎ ‎1．【福建省厦门外国语学校2017届高三适应性考试数学（理）】已知函数在处取得最大值，则函数的图象 （ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得, ,所以选A. ‎ ‎2． 【福建省福州第一中学2017届高三5月质检（最后一模）数学（理）】函数的 ‎（，）图象关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 的图象两个相邻最高点的距离为 ， ,由图象关于直线对称，, ， 时， ， ， ，故选A.‎ ‎3.在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎【答案】A 题型4 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调性问题 典例1．的一个单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ ，由，得， ， 时，为，故选B．‎ 典例2．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三下学期临考冲刺训练理科数学】已知函数的两条相邻对称轴的距离为，把的图象向右平移个单位得函数的图象，且为偶函数，则的单调增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ 典例3．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B 典例4.已知函数，将的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象．‎ ‎（1）试求的单调减区间；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）单调减区间是（2） ‎【解析】【试题分析】（1）借助题设条件先求出平移后的函数的解析式；（2）依据题设条件，运用同角三角函数的关系及诱导公式求解：‎ 解：(1) 由题意， ‎ ‎ 由，得 ‎ ‎ 所以的单调减区间是 ‎ ‎(2) ，即，令，则 ‎ ‎ ‎ 因此， 点睛：解答本题的关键是先求函数的解析式，再借助正弦函数的单调区间建立不等式求出其单调递减区间使得问题获解；求解第二问时，先借助题设条件三角函数的诱导公式分别求出，再依据题设条件及同角三角函数的关系及诱导公式求，继而使得问题获解。‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.下列函数中，周期为，且在上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ 2．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)‎在区间‎[π‎6‎,π‎2‎]‎上单调递增，且函数值从‎-2‎增大到0.若x‎1‎‎、x‎2‎∈[-π‎6‎，π‎2‎]，‎且f(x‎1‎)=f(x‎2‎),‎则f(x‎1‎+x‎2‎)=‎ ‎ A. ‎-‎‎2‎ B. ‎2‎ C. ‎-‎‎3‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得，fπ‎6‎=-2，f‎0‎=0‎,故x=‎π‎6‎为f(x)‎的对称轴，且函数周期为‎4×(π‎2‎-π‎6‎)=‎4π‎3‎=‎2πω,ω=‎3‎‎2‎,f(π‎2‎)=2sin(‎3‎‎2‎×π‎2‎+φ)=0,φ=-‎‎3π‎4‎，‎ f(x)=2sin(‎3‎‎2‎x-‎3π‎4‎)‎‎.‎ 当f(x‎1‎)=f(x‎2‎),‎时，x‎1‎‎+x‎2‎=2×π‎6‎=‎π‎3‎.‎ f(x‎1‎+x‎2‎)=f(π‎3‎)=2sin(‎3‎‎2‎×π‎3‎-‎3π‎4‎)=2sin(-π‎4‎)=-‎‎2‎‎，故选A. ‎ ‎3．【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次模拟】若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．‎ ‎【答案】 (或)‎ ‎【点睛】根据函数图象过已知点，求出 ，借助的范围求出的值.‎ 求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据的范围研究的范围，有时还要关注的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.‎ 题型5 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最值与综合应用 ‎【知识链接】‎ 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：‎ ‎(1)利用sin x、cos x的有界性；‎ ‎(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；‎ ‎(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.‎ 典例1．【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学】函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 典例2.给出下列四个命题：‎ ‎①的对称轴为；‎ ‎②函数的最大值为2；‎ ‎③函数的周期为2π；‎ ‎④函数在上是增函数．‎ 其中正确命题是_________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】的对称轴满足：‎ ‎2x﹣=kπ+，即；故①正确．‎ 函数，其最大值为2，故②正确．‎ 函数= sin2x﹣1，其周期为π，故③错误．‎ 函数在上是增函数，在上是减函数．‎ 故④错．‎ 故只有①②正确．‎ 典例3.【天津市红桥区2017届高三二模数学（理）试题】已知函数 ．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为 ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴在区间上的最大值为，最小值为-2．‎ 考点：1.三角函数的恒等变形；2.三角函数的性质. ‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．【北京市朝阳区2017届高三二模数学（理工科）试题】已知函数的最小正周期为，则 A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D. 函数在区间上单调递增 ‎【答案】C ‎ 2．【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟考试数学（理）】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间 和上均为单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎【答案】A ‎【解析】 ，其单调增区间为 ‎ 即 ，选A. ‎ ‎3．【江苏省南京市南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟】】设函数 ，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎4.【安徽省蚌埠市2017届第二次（3月）教学质量检查数学（理）】 知函数 ，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎【答案】D ‎【解析】，当时， ，依题意， ‎ ，由，可得时， ，当时， ，所以的取值范围是，故选D.‎ ‎【知识交汇】 ‎ 与平面向量的交汇 已知向量，，设函数，且的图象过点和点.‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.‎ ‎【答案】（I）.（II）函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）由（1）知：.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.三角函数的图像与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图像的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换.高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用.尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．‎ ‎2.(1)图像变换与函数性质的综合问题可根据两种图像变换的规则，也可先通过图像变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质。‎ ‎(2)函数图像与性质的综合问题，常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质。‎ ‎(3)三角函数模型的应用 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。‎ ‎3. 1个区别——两种图像变换的区别 由y＝sin x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度。原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值。‎ ‎4. 3种方法——由函数图像求解析式的方法 ‎(1)如果从图像可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ。‎ ‎(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，依据是五点法。‎ ‎(3)运用逆向思维的方法，根据图像变换可以确定相关的参数。‎ ‎5.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝ ‎(3)求φ，常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口。具体如下：‎ ‎“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π。‎ ‎6. 解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m个位时，用x+m(或x-m)代替x,向下（或上）平移n个单位时，用y+n(或y-n)代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k倍，用代替x(或代替y),即可获得解决.‎ ‎7. 解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦(余弦)型函数 y＝asinωx＋bcosωx型引入辅助角化为一角一函．(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数．(3)利用数形结合法.‎ ‎【练习检测】‎ ‎1．【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试】函数最小正周期为 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】 ，选C. ‎ ‎2．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）数学】若函数（）满足， ，且的最小值为，则正数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ 2．【湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）数学（理）】若是函数图象的一个条对称轴，当取最小正数时（ ）‎ A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】 , 所以函数图象的对称轴方程： ， 是图象的一条对称轴， 得， . 当 时， 取最小正数 ，此时 的单调增区间为 单调减区间为 ，对照 各选项，可知只有 符合题意，故选D.‎ ‎3．【河北省2017届衡水中学押题卷理数 II卷】已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）‎ A. 函数图象的对称轴方程为 B. 函数的最大值为 C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行 D. 方程的两个不同的解分别为， ，则最小值为 ‎【答案】C ‎ 4．【江西省新余市第一中学2017届高三高考全真模拟考试数学（理）】已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ 5．【甘肃省兰州第一中学2017届高三冲刺模拟考试数学（理）】已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】函数，（ ）的图象向右平移个单位后，可得的图象，再根据所得图象关于轴对称，可得，故， ，在区间上， ， ，故f（x） 的最小值为， 故选D.‎ ‎6．函数y=2sin（3x+ϕ)(|ϕ|<π‎2‎)‎图象的一条对称轴为直线x=‎π‎12‎，则ϕ=‎________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由y=sinx的对称轴为x=kπ+π‎2‎(k∈Z)‎，可知‎3×π‎12‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z)‎ ，解得φ=kπ+π‎4‎(k∈Z)‎，又‎|φ|<π‎2‎,∴k=0‎ ，故φ=‎π‎4‎ ，故答案为π‎4‎.‎ ‎7．如图是函数图象上的一段，则在区间上，使等式成立的的集合为___________. ‎ ‎【答案】 ‎ 8．已知函数和两图象的对称轴完全相同，则的值为____________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题设可得，即，应填答案 ‎9．给出下列四个命题：‎ ‎①的对称轴为；‎ ‎②函数的最大值为2；‎ ‎③函数的周期为2π；‎ ‎④函数在上是增函数．‎ 其中正确命题是_________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎ ‎ ‎10．【河南省息县第一高级中学2017届高三第七次适应性考试数学（理）】已知点在角的终边上，函数的图象上离轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意知， 的周期 ，又由任意三角函数的定义知 ，‎ 则 ，故答案为 . ‎ ‎11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)‎的部分图象如图所示 ‎（1）求函数f(x)‎的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数f(x)‎在区间‎[π‎6‎,π‎2‎]‎上的取值范围. ‎ ‎【答案】(1) ‎(‎5π‎12‎+kπ，‎11π‎12‎+kπ)(k∈Z)‎ (2) ‎‎[0，2]‎ ‎（2）‎因为x∈[π‎6‎,π‎2‎],所以2x-π‎3‎∈[0,‎2π‎3‎]‎ 所以0≤2sin(2x-π‎3‎)≤2‎‎，即f(x)‎的取值范围是‎[0，2]‎.‎ ‎12．已知函数（， ， ）的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设为锐角， ， ，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎（2）∵， ，∴为钝角，‎ ， ， ，‎ ‎13．【西藏日喀则区第一高级中学2017届高三下学期期中考试数学（理）】已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求函数的单调递减区间；‎ ‎(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）（3）最大值为3，最小值为1.‎ ‎ 14．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）数学（理）】已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎ ‎