北京市2008-2019年中考数学分类汇编二次函数综合pdf含解析

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北京市2008-2019年中考数学分类汇编二次函数综合pdf含解析

第 1页(共 28页) 2008~2019 北京中考数学分类(二次函数综合) 一.解答题(共 12 小题) 1.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=ax2+bx﹣ 与 y轴交于点 A,将点 A向右平移 2 个单位长度,得到点 B,点 B在抛物线上. (1)求点 B的坐标(用含 a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点 P( ,﹣ ),Q(2,2).若抛物线与线段 PQ恰有一个公共点,结合函 数图象,求 a的取值范围. 2.在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=4x+4与 x轴,y轴分别交于点 A,B,抛物线 y=ax2+bx ﹣3a经过点 A,将点 B向右平移 5个单位长度,得到点 C. (1)求点 C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段 BC恰有一个公共点,结合函数图象,求 a的取值范围. 3.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=x2﹣4x+3与 x轴交于点 A、B(点 A在点 B的左侧), 与 y轴交于点 C. (1)求直线 BC的表达式; (2)垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点 P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线 BC交于点 N (x3,y3),若 x1<x2<x3,结合函数的图象,求 x1+x2+x3的取值范围. 第 2页(共 28页) 4.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与 x轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当 m=1时,求线段 AB上整点的个数; ②若抛物线在点 A,B之间的部分与线段 AB所围成的区域内(包括边界)恰有 6个整点, 结合函数的图象,求 m的取值范围. 5.在平面直角坐标系 xOy中,过点(0,2)且平行于 x轴的直线,与直线 y=x﹣1交于点 A,点 A关于直线 x=1的对称点为 B,抛物线 C1:y=x2+bx+c经过点 A,B. (1)求点 A,B的坐标; (2)求抛物线 C1的表达式及顶点坐标; (3)若抛物线 C2:y=ax2(a≠0)与线段 AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求 a 的取值范围. 第 3页(共 28页) 6.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=2x2+mx+n经过点 A(0,﹣2),B(3,4). (1)求抛物线的表达式及对称轴; (2)设点 B关于原点的对称点为 C,点 D是抛物线对称轴上一动点,且点 D纵坐标为 t, 记抛物线在 A,B之间的部分为图象 G(包含 A,B两点).若直线 CD 与图象 G有公共 点,结合函数图象,求点 D纵坐标 t的取值范围. 7.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=mx2﹣2mx﹣2(m≠0)与 y轴交于点 A,其对称轴 与 x轴交于点 B. (1)求点 A,B的坐标; (2)设直线 l与直线 AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l的解析式; (3)若该抛物线在﹣2<x<﹣1 这一段位于直线 l的上方,并且在 2<x<3这一段位于 直线 AB的下方,求该抛物线的解析式. 第 4页(共 28页) 8.已知二次函数 y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在 x=0和 x=2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数 y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点 A(﹣3,m),求 m和 k的 值; (3)设二次函数的图象与 x轴交于点 B,C(点 B在点 C的左侧),将二次函数的图象在 点 B,C间的部分(含点 B和点 C)向左平移 n(n>0)个单位后得到的图象记为 G,同 时将(2)中得到的直线 y=kx+6向上平移 n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线 与图象 G有公共点时,求 n的取值范围. 9.在平面直角坐标系 xOy中,二次函数 y1=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与 x轴交 于 A、B两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C. (1)求点 A的坐标; (2)当∠ABC=45°时,求 m的值; (3)已知一次函数 y2=kx+b,点 P(n,0)是 x轴上的一个动点,在(2)的条件下, 过点 P垂直于 x轴的直线交这个一次函数的图象于点 M,交二次函数 y=mx2+(m﹣3)x ﹣3(m>0)的图象于 N.若只有当﹣2<n<2时,点 M位于点 N的上方,求这个一次 函数的解析式. 第 5页(共 28页) 10.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=﹣ x2+ x+m2﹣3m+2 与 x轴的交点分别为 原点 O和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上. (1)求点 B的坐标; (2)点 P在线段 OA上,从 O点出发向点 A运动,过 P点作 x轴的垂线,与直线 OB交 于点 E.延长 PE到点 D.使得 ED=PE.以 PD为斜边,在 PD右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P点运动时,C点、D点也随之运动)①当等腰直角三角形 PCD的顶点 C落 在此抛物线上时,求 OP的长;②若 P点从 O点出发向 A点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA上另一点 Q从 A点出发向 O点作匀速运动,速度为每秒 2个单位 (当 Q点到达 O点时停止运动,P点也同时停止运动).过 Q点作 x轴的垂线,与直线 AB交于点 F.延长 QF到点 M,使得 FM=QF,以 QM为斜边,在 QM的左侧作等腰直 角三角形 QMN(当 Q点运动时,M点,N点也随之运动).若 P点运动到 t秒时,两个 等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t的值. 第 6页(共 28页) 11.已知关于 x的一元二次方程 2x2+4x+k﹣1=0有实数根,k为正整数. (1)求 k的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x的二次函数 y=2x2+4x+k﹣1的图象向下 平移 8个单位,求平移后的图象的解析式; (3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折,图 象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线 y= x+b(b<k)与此图象有两个公共点时,b的取值范围. 12.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A,B两点(点 A在点 B的 左侧),与 y轴交于点 C,点 B的坐标为(3,0),将直线 y=kx沿 y轴向上平移 3个单位 长度后恰好经过 B,C两点. (1)求直线 BC及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D,点 P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点 P的坐 标; (3)连接 CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数. 第 7页(共 28页) 2008~2019 北京中考数学分类(二次函数综合) 参考答案与试题解析 一.解答题(共 12 小题) 1.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=ax2+bx﹣ 与 y轴交于点 A,将点 A向右平移 2 个单位长度,得到点 B,点 B在抛物线上. (1)求点 B的坐标(用含 a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点 P( ,﹣ ),Q(2,2).若抛物线与线段 PQ恰有一个公共点,结合函 数图象,求 a的取值范围. 【解答】解:(1)A(0,﹣ ) 点 A向右平移 2个单位长度,得到点 B(2,﹣ ); (2)A与 B关于对称轴 x=1对称, ∴抛物线对称轴 x=1; (3)∵对称轴 x=1, ∴b=﹣2a, ∴y=ax2﹣2ax﹣ , ①a>0时, 当 x=2时,y=﹣ <2, 当 y=﹣ 时,x=0或 x=2, ∴函数与 PQ无交点; ②a<0时, 当 y=2时,ax2﹣2ax﹣ =2, x= 或 x= 当 ≤2时,a≤﹣ ; 第 8页(共 28页) ∴当 a≤﹣ 时,抛物线与线段 PQ恰有一个公共点; 2.在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=4x+4与 x轴,y轴分别交于点 A,B,抛物线 y=ax2+bx ﹣3a经过点 A,将点 B向右平移 5个单位长度,得到点 C. (1)求点 C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段 BC恰有一个公共点,结合函数图象,求 a的取值范围. 【解答】解:(1)与 y轴交点:令 x=0代入直线 y=4x+4得 y=4, ∴B(0,4), ∵点 B向右平移 5个单位长度,得到点 C, ∴C(5,4); (2)与 x轴交点:令 y=0代入直线 y=4x+4得 x=﹣1, ∴A(﹣1,0), ∵点 B向右平移 5个单位长度,得到点 C, 将点 A(﹣1,0)代入抛物线 y=ax2+bx﹣3a中得 0=a﹣b﹣3a,即 b=﹣2a, ∴抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣ =1; (3)∵抛物线 y=ax2+bx﹣3a经过点 A(﹣1,0)且对称轴 x=1, 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A的对称点(3,0), ①a>0时,如图 1, 将 x=0代入抛物线得 y=﹣3a, ∵抛物线与线段 BC恰有一个公共点, ∴﹣3a<4, a>﹣ , 将 x=5代入抛物线得 y=12a, ∴12a≥4, a≥ , ∴a≥ ; ②a<0时,如图 2, 将 x=0代入抛物线得 y=﹣3a, 第 9页(共 28页) ∵抛物线与线段 BC恰有一个公共点, ∴﹣3a>4, a<﹣ ; ③当抛物线的顶点在线段 BC上时,则顶点为(1,4),如图 3, 将点(1,4)代入抛物线得 4=a﹣2a﹣3a, 解得 a=﹣1. 综上所述,a≥ 或 a<﹣ 或 a=﹣1. 3.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=x2﹣4x+3与 x轴交于点 A、B(点 A在点 B的左侧), 第 10页(共 28页) 与 y轴交于点 C. (1)求直线 BC的表达式; (2)垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点 P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线 BC交于点 N (x3,y3),若 x1<x2<x3,结合函数的图象,求 x1+x2+x3的取值范围. 【解答】解:(1)由 y=x2﹣4x+3得到:y=(x﹣3)(x﹣1),C(0,3). 所以 A(1,0),B(3,0), 设直线 BC的表达式为:y=kx+b(k≠0), 则 , 解得 , 所以直线 BC的表达式为 y=﹣x+3; (2)由 y=x2﹣4x+3得到:y=(x﹣2)2﹣1, 所以抛物线 y=x2﹣4x+3的对称轴是直线 x=2,顶点坐标是(2,﹣1). ∵y1=y2, ∴x1+x2=4. 令 y=﹣1,y=﹣x+3,x=4. ∵x1<x2<x3, ∴3<x3<4,即 7<x1+x2+x3<8. 4.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与 x轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当 m=1时,求线段 AB上整点的个数; ②若抛物线在点 A,B之间的部分与线段 AB所围成的区域内(包括边界)恰有 6个整点, 第 11页(共 28页) 结合函数的图象,求 m的取值范围. 【解答】解:(1)∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(x﹣1)2﹣1, ∴抛物线顶点坐标(1,﹣1). (2)①∵m=1, ∴抛物线为 y=x2﹣2x, 令 y=0,得 x=0或 2,不妨设 A(0,0),B(2,0), ∴线段 AB上整点的个数为 3个. ②如图所示,抛物线在点 A,B之间的部分与线段 AB所围成的区域内(包括边界)恰有 6个整点, ∴点 A在(﹣1,0)与(﹣2,0)之间(包括(﹣1,0)), 当抛物线经过(﹣1,0)时,m= , 当抛物线经过点(﹣2,0)时,m= , ∴m的取值范围为 <m≤ . 5.在平面直角坐标系 xOy中,过点(0,2)且平行于 x轴的直线,与直线 y=x﹣1交于点 A,点 A关于直线 x=1的对称点为 B,抛物线 C1:y=x2+bx+c经过点 A,B. (1)求点 A,B的坐标; (2)求抛物线 C1的表达式及顶点坐标; 第 12页(共 28页) (3)若抛物线 C2:y=ax2(a≠0)与线段 AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 y=2时,则 2=x﹣1, 解得:x=3, ∴A(3,2), ∵点 A关于直线 x=1的对称点为 B, ∴B(﹣1,2). (2)把(3,2),(﹣1,2)代入抛物线 C1:y=x2+bx+c得: 解得: ∴y=x2﹣2x﹣1. 顶点坐标为(1,﹣2). (3)如图,当 C2过 A点,B点时为临界, 代入 A(3,2)则 9a=2, 第 13页(共 28页) 解得:a= , 代入 B(﹣1,2),则 a(﹣1)2=2, 解得:a=2, ∴ . 6.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=2x2+mx+n经过点 A(0,﹣2),B(3,4). (1)求抛物线的表达式及对称轴; (2)设点 B关于原点的对称点为 C,点 D是抛物线对称轴上一动点,且点 D纵坐标为 t, 记抛物线在 A,B之间的部分为图象 G(包含 A,B两点).若直线 CD 与图象 G有公共 点,结合函数图象,求点 D纵坐标 t的取值范围. 【解答】解:(1)∵抛物线 y=2x2+mx+n经过点 A(0,﹣2),B(3,4), 代入得: , 解得: , ∴抛物线解析式为 y=2x2﹣4x﹣2,对称轴为直线 x=1; (2)由题意得:C(﹣3,﹣4),二次函数 y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4, 由函数图象得出 D纵坐标最小值为﹣4, 设直线 BC解析式为 y=kx+b, 将 B与 C坐标代入得: , 第 14页(共 28页) 解得:k= ,b=0, ∴直线 BC解析式为 y= x, 当 x=1时,y= , 则 t的范围为﹣4≤t≤ . 7.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=mx2﹣2mx﹣2(m≠0)与 y轴交于点 A,其对称轴 与 x轴交于点 B. (1)求点 A,B的坐标; (2)设直线 l与直线 AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l的解析式; (3)若该抛物线在﹣2<x<﹣1 这一段位于直线 l的上方,并且在 2<x<3这一段位于 直线 AB的下方,求该抛物线的解析式. 第 15页(共 28页) 【解答】解:(1)当 x=0时,y=﹣2, ∴A(0,﹣2), 抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1, ∴B(1,0); (2)易得 A点关于对称轴直线 x=1的对称点 A′(2,﹣2), 则直线 l经过 A′、B, 设直线 l的解析式为 y=kx+b(k≠0), 则 , 解得 , 所以,直线 l的解析式为 y=﹣2x+2; (3)∵抛物线的对称轴为直线 x=1, ∴抛物线在 2<x<3这一段与在﹣1<x<0这一段关于对称轴对称, 结合图象可以观察到抛物线在﹣2<x<﹣1这一段位于直线 l的上方,在﹣1<x<0这一 段位于直线 l的下方, ∴抛物线与直线 l的交点的横坐标为﹣1, 当 x=﹣1时,y=﹣2×(﹣1)+2=4, 所以,抛物线过点(﹣1,4), 当 x=﹣1时,m+2m﹣2=4, 解得 m=2, ∴抛物线的解析式为 y=2x2﹣4x﹣2. 第 16页(共 28页) 8.已知二次函数 y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在 x=0和 x=2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数 y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点 A(﹣3,m),求 m和 k的 值; (3)设二次函数的图象与 x轴交于点 B,C(点 B在点 C的左侧),将二次函数的图象在 点 B,C间的部分(含点 B和点 C)向左平移 n(n>0)个单位后得到的图象记为 G,同 时将(2)中得到的直线 y=kx+6向上平移 n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线 与图象 G有公共点时,求 n的取值范围. 【解答】(1)解:∵二次函数 y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在 x=0和 x=2时的函数值相 等, ∴代入得:0+0+ =4(t+1)+4(t+2)+ , 解得:t=﹣ , ∴y=(﹣ +1)x2+2(﹣ +2)x+ =﹣ x2+x+ , 第 17页(共 28页) ∴二次函数的解析式是 y=﹣ x2+x+ . (2)解:把 A(﹣3,m)代入 y=﹣ x2+x+ 得:m=﹣ ×(﹣3)2﹣3+ =﹣6, 即 A(﹣3,﹣6), 代入 y=kx+6得:﹣6=﹣3k+6, 解得:k=4, 即 m=﹣6,k=4. (3)解:由题意可知,点 B、C间的部分图象的解析式是 y=﹣ x2+x+ =﹣ (x2﹣ 2x ﹣ 3 ) = ﹣ ( x ﹣ 3 ) ( x+1 ) , ﹣ 1 ≤ x ≤ 3 , 则抛物线平移后得出的图象 G的解析式是 y=﹣ (x﹣3+n)(x+1+n),﹣n﹣1≤x≤3﹣ n, 此时直线平移后的解析式是 y=4x+6+n, 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切, 则方程 4x+6+n=﹣ (x﹣3+n)(x+1+n)有两个相等的实数解, 即﹣ x2﹣(n+3)x﹣ n2﹣ =0有两个相等的实数解, 判别式△=[﹣(n+3)]2﹣4×(﹣ )×(﹣ n2﹣ )=6n=0, 即 n=0, ∵与已知 n>0相矛盾, ∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切, 第 18页(共 28页) ∴结合图象可知,如果平移后的直线与抛物线有公共点, 则两个临界的交点为(﹣n﹣1,0),(3﹣n,0), 则 0=4(﹣n﹣1)+6+n, n= , 0=4(3﹣n)+6+n, n=6, 即 n的取值范围是: ≤n≤6. 9.在平面直角坐标系 xOy中,二次函数 y1=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与 x轴交 于 A、B两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C. (1)求点 A的坐标; (2)当∠ABC=45°时,求 m的值; (3)已知一次函数 y2=kx+b,点 P(n,0)是 x轴上的一个动点,在(2)的条件下, 过点 P垂直于 x轴的直线交这个一次函数的图象于点 M,交二次函数 y=mx2+(m﹣3)x ﹣3(m>0)的图象于 N.若只有当﹣2<n<2时,点 M位于点 N的上方,求这个一次 函数的解析式. 【解答】解:(1)∵点 A、B是二次函数 y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与 x轴 的交点, ∴令 y=0,即 mx2+(m﹣3)x﹣3=0 整理,得 (x+1)(mx﹣3)=0 解得 x1=﹣1, 又∵点 A在点 B左侧且 m>0 ∴点 A的坐标为(﹣1,0) 第 19页(共 28页) (2)由(1)可知点 B的坐标为 ∵二次函数的图象与 y轴交于点 C ∴点 C的坐标为(0,﹣3) ∵∠ABC=45° ∴OB= , ∴m=1 (3)由(2)得,二次函数解析式为 y1=x2﹣2x﹣3, ∵只有当﹣2<n<2时,点 M位于点 N的上方, ∴当﹣2<n<2时,y1<y2, 即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和 2, 由此可得交点坐标为(﹣2,5)和(2,﹣3), 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y=kx+b中, 得 ,解得: ∴一次函数解析式为 y=﹣2x+1. 10.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=﹣ x2+ x+m2﹣3m+2 与 x轴的交点分别为 第 20页(共 28页) 原点 O和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上. (1)求点 B的坐标; (2)点 P在线段 OA上,从 O点出发向点 A运动,过 P点作 x轴的垂线,与直线 OB交 于点 E.延长 PE到点 D.使得 ED=PE.以 PD为斜边,在 PD右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P点运动时,C点、D点也随之运动)①当等腰直角三角形 PCD的顶点 C落 在此抛物线上时,求 OP的长;②若 P点从 O点出发向 A点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA上另一点 Q从 A点出发向 O点作匀速运动,速度为每秒 2个单位 (当 Q点到达 O点时停止运动,P点也同时停止运动).过 Q点作 x轴的垂线,与直线 AB交于点 F.延长 QF到点 M,使得 FM=QF,以 QM为斜边,在 QM的左侧作等腰直 角三角形 QMN(当 Q点运动时,M点,N点也随之运动).若 P点运动到 t秒时,两个 等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t的值. 【解答】解:(1)∵抛物线 y=﹣ x2+ x+m2﹣3m+2经过原点, ∴m2﹣3m+2=0, 解得 m1=1,m2=2, 由题意知 m≠1, ∴m=2, ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x, ∵点 B(2,n)在抛物线 y=﹣ x2+ x上, ∴n=4, ∴B点的坐标为(2,4). (2)设直线 OB的解析式为 y=k1x, 求得直线 OB的解析式为 y=2x, 第 21页(共 28页) ∵A点是抛物线与 x轴的一个交点,可求得 A点的坐标为(10,0), 设 P点的坐标为(a,0), 则 E点的坐标为(a,2a), 根据题意作等腰直角三角形 PCD, 如图 1,可求得点 C的坐标为(3a,2a), 由 C点在抛物线上, 得:2a=﹣ ´(3a)2+ ´3a, 即 a2﹣ a=0, 解得 a1= ,a2=0(舍去), ∴OP= . 依题意作等腰直角三角形 QMN,设直线 AB的解析式为 y=k2x+b, 由点 A(10,0),点 B(2,4),求得直线 AB的解析式为 y=﹣ x+5, 当 P点运动到 t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以 下三种情况: 第一种情况:CD与 NQ在同一条直线上. 如图 2所示.可证△DPQ为等腰直角三角形.此时 OP、DP、AQ的长可依次表示为 t、 4t、2t个单位. ∴PQ=DP=4t, ∴t+4t+2t=10, ∴t= . 第二种情况:PC与 MN在同一条直线上.如图 3所示.可证△PQM为等腰直角三 角形.此时 OP、AQ的长可依次表示为 t、2t个单位. ∴OQ=10﹣2t, ∵F点在直线 AB上, ∴FQ=t, ∴MQ=2t, ∴PQ=MQ=CQ=2t, ∴t+2t+2t=10, 第 22页(共 28页) ∴t=2. 第三种情况:点 P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图 4所示.此时 OP、 AQ的长可依次表示为 t、2t个单位. ∴t+2t=10, ∴t= . 综上,符合题意的 t值分别为 ,2, 第 23页(共 28页) 11.已知关于 x的一元二次方程 2x2+4x+k﹣1=0有实数根,k为正整数. (1)求 k的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x的二次函数 y=2x2+4x+k﹣1的图象向下 平移 8个单位,求平移后的图象的解析式; (3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折,图 象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线 y= x+b(b<k)与此图象有两个公共点时,b的取值范围. 【解答】解:(1)由题意得,△=16﹣8(k﹣1)≥0. ∴k≤3. ∵k为正整数, ∴k=1,2,3; (2)设方程 2x2+4x+k﹣1=0的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣2,x1•x2= . 当 k=1时,方程 2x2+4x+k﹣1=0有一个根为零; 当 k=2时,x1•x2= ,方程 2x2+4x+k﹣1=0没有两个不同的非零整数根; 当 k=3时,方程 2x2+4x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1. 综上所述,k=1和 k=2不合题意,舍去,k=3符合题意. 当 k=3时,二次函数为 y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析 式为 y=2x2+4x﹣6; 第 24页(共 28页) (3)设二次函数 y=2x2+4x﹣6的图象与 x轴交于 A、B两点,则 A(﹣3,0),B(1,0). 依题意翻折后的图象如图所示. 当直线 y= x+b经过 A点时,可得 b= ; 当直线 y= x+b经过 B点时,可得 b=﹣ . 由图象可知,符合题意的 b(b<3)的取值范围为 <b< . (3)依图象得,要图象 y= x+b(b小于 k)与二次函数图象有两个公共点时,显然有 两段. 而因式分解得 y=2x2+4x﹣6=2(x﹣1)(x+3), 第一段,当 y= x+b过(1,0)时,有一个交点,此时 b=﹣ . 当 y= x+b过(﹣3,0)时,有三个交点,此时 b= .而在此中间即为两个交点,此 时﹣ <b< . 第二段,将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折后, 开口向下的部分的函数解析式为 y=﹣2(x﹣1)(x+3). 显然, 当 y= x+b与 y=﹣2(x﹣1)(x+3)(﹣3<x<1)相切时,y= x+b与这个二次函数图 象有三个交点,若直线再向上移,则只有两个交点. 因为 b<3,而 y= x+b(b小于 k,k=3),所以当 b=3时,将 y= x+3代入二次函数 y=﹣2(x﹣1)(x+3)整理得, 4x2+9x﹣6=0,△>0,所以方程有两根,那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图 象相交只有两个公共点.这种情况故舍去. 综上,﹣ <b< . 第 25页(共 28页) 12.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A,B两点(点 A在点 B的 左侧),与 y轴交于点 C,点 B的坐标为(3,0),将直线 y=kx沿 y轴向上平移 3个单位 长度后恰好经过 B,C两点. (1)求直线 BC及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D,点 P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点 P的坐 标; (3)连接 CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数. 【解答】解:(1)∵y=kx沿 y轴向上平移 3个单位长度后经过 y轴上的点 C, ∴C(0,3). 设直线 BC的解析式为 y=kx+3. ∵B(3,0)在直线 BC上, ∴3k+3=0. 解得 k=﹣1. ∴直线 BC的解析式为 y=﹣x+3.(1分) ∵抛物线 y=x2+bx+c过点 B,C, 第 26页(共 28页) ∴ 解得 , ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3.(2分) (2)由 y=x2﹣4x+3. 可得 D(2,﹣1),A(1,0). ∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2. 可得△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,CB=3 . 如图 1,设抛物线对称轴与 x轴交于点 F, ∴AF= AB=1. 过点 A作 AE⊥BC于点 E. ∴∠AEB=90度. 可得 BE=AE= ,CE=2 . 在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP. ∴ , . 解得 PF=2.∵点 P在抛物线的对称轴上, ∴点 P的坐标为(2,2)或(2,﹣2).(5分) (3)解法一: 如图 2,作点 A(1,0)关于 y轴的对称点 A',则 A'(﹣1,0). 连接 A'C,A'D, 可得 A'C=AC= ,∠OCA'=∠OCA. 由勾股定理可得 CD2=20,A'D2=10. 又∵A'C2=10, ∴A'D2+A'C2=CD2. ∴△A'DC是等腰直角三角形,∠CA'D=90°, 第 27页(共 28页) ∴∠DCA'=45度. ∴∠OCA'+∠OCD=45度. ∴∠OCA+∠OCD=45度. 即∠OCA与∠OCD两角和的度数为 45度.(7分) 解法二: 如图 3,连接 BD. 同解法一可得 CD= ,AC= . 在 Rt△DBF中,∠DFB=90°,BF=DF=1, ∴DB= . 在△CBD和△COA中, , , . ∴ . ∴△CBD∽△COA. ∴∠BCD=∠OCA. ∵∠OCB=45°, ∴∠OCA+∠OCD=45度. 即∠OCA与∠OCD两角和的度数为 45度.(9分) 第 28页(共 28页) 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2020/1/19 9:49:57;用户:金雨教育;邮箱:309593466@qq.com;学号: 335385
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