数学文卷·2017届吉林省长春市高三质量监测（四）（2017

数学文卷·2017届吉林省长春市高三质量监测（四）（2017

长春市普通高中2017届高三质量监测（四）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.为虚数单位，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知函数，则函数的值域为 ‎ A. B. C. D.R ‎4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为 ‎ A. 图1 B. 图2 C. 图3 D. 图3‎ ‎5.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据：）‎ ‎ A. 48 B. 36 C. 30 D. 24‎ ‎6.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法中正确的是 ‎ A. 是奇函数，最小值为-2 B. 是偶函数，最小值为-2 ‎ ‎ C. 是奇函数，最小值为 D. 是偶函数，最小值为 ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的四个面中最大面的面积为 ‎ A. 4 B. ‎ C. D.‎ ‎8.函数的大致图象为 ‎9.已知数列是等差数列，其前项和有最大值，且，则使得的的最大值为 ‎ A. 2016 B. 2017 C. 4031 D. 4033‎ ‎10.球面上有A,B,C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且，则球O的表面积是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知是双曲线的两个焦点，P是双曲线C上的一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线C的渐近线方程为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在R上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为 ‎ A. -5 B. -7 C. -9 D. -11‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 数列是等比数列，满足，则 .‎ ‎14. 已知实数满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎15. 若非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 .‎ ‎16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出了如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 如图，在四边形ABCD中，‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求四边形ABCD的面积；‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月，12个月，18个月，24个月，36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：‎ ‎（1）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率；（以上表中各种贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；‎ ‎（2）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得的补贴之和不超过600元的概率.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎ 如图，四棱柱中，底面是菱形，平面，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，在矩形中，为的中点，分别是,的上的点，且直线与的交点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设R为椭圆E的右顶点，T为椭圆E的上顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，,求梯形ORMT的面积的最大值.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，讨论的单调性；‎ ‎（3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，曲线（为参数）.‎ 的极坐标方程为，曲线（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）极坐标系中两点都在曲线上，求的值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知函数，若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）已知实数，且，求证：‎ 长春市普通高中2017届高三质量监测（四）‎ ‎ 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. A 2. D 3. B 4. A 5. D 6. C ‎7. D 8. A 9. C 10. B 11. A 12. B 简答与提示：‎ 61. ‎【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算. ‎ ‎【试题解析】A　由可知，原式. 故选A.‎ 62. ‎【命题意图】本题考查集合交运算.‎ ‎【试题解析】D 由，，‎ 故. 故选D. ‎ 63. ‎【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.‎ ‎【试题解析】B　根据分段函数的的图像可知，该函数的值域为. ‎ 故选B.‎ 64. ‎【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念. ‎ ‎【试题解析】A　根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.‎ 65. ‎【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.‎ ‎【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D. ‎ 61. ‎【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质. ‎ ‎【试题解析】C　由，则. 故选C. ‎ 62. ‎【命题意图】本题考查三视图.‎ ‎【试题解析】D　最大面积为. 故选D. ‎ 63. ‎【命题意图】本题考查函数图像辨析问题. ‎ ‎【试题解析】A　由对数函数图像可知. 故选A. ‎ 64. ‎【命题意图】本题主要考查等差数列的相关性质. ‎ ‎【试题解析】C 由题意知，，，因此. 故选C. ‎ 65. ‎【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质. ‎ ‎【试题解析】B 由题可知为△的直径，令球的半径为，则，可得，则球的表面积为. 故选B. ‎ 66. ‎【命题意图】本题考查双曲线的定义. ‎ ‎【试题解析】A　不妨设，则，则，，且，即为最小边，即，则△为直角三角形，且，即渐近线方程为，故选A. ‎ 67. ‎【命题意图】本题是考查函数的图像及性质. ‎ ‎【试题解析】B 由函数的图像与周期性可知，所有交点的横坐标之和为，故所有实根之和为. 故选B. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. 8月4日 简答与提示：‎ 68. ‎【命题意图】本题考查等比数列问题.‎ ‎【试题解析】由等比数列基本量运算可知，因此. ‎ 61. ‎【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.‎ ‎【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，‎ 判断最优解为，故的最小值为. ‎ 62. ‎【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.‎ ‎【试题解析】由题意，则，‎ 即，故.‎ 63. ‎【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力. ‎ ‎【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，‎ 可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日；‎ 乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，‎ 可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，‎ 现在可以得知张老师生日为8月4日.‎ 三、解答题 71. ‎ (本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. ‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）由题意，在△中，‎ ， （4分）‎ 则. （6分）‎ ‎（Ⅱ）在△中，，‎ ‎ （8分）‎ 则，‎ . ‎ 综上四边形的面积为. （12分）‎ 72. ‎ (本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.‎ ‎【试题解析】(1)由题意，所求概率为 （4分）‎ ‎(2)记分别为选择个月、个月、个月、个月、个月贷款，‎ ‎ （6分）‎ 由题意知小王和小李的所有选择有：‎ ，‎ ，共25种， （8分）‎ 其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有 共13种， （10分）‎ 所以所求概率为. （12分）‎ 71. ‎(本小题满分12分)‎ ‎ 【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. ‎ ‎ 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，设与的交点为，连接，‎ ‎ 因为为中点，为中点，所以，所以平面，‎ ‎ 又因为在平面内，所以平面平面. （6分）‎ ‎（Ⅱ）连接，，，设交于点，由四边形为正方形 所以，又因为点到平面的距离为，‎ 所以⊥平面，所以， （8分）‎ 又因为，所以平面，所以，‎ 所以菱形为正方形，由于到平面的距离为， （10分）‎ 所以三棱锥的体积. （12分）‎ 72. ‎(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ）设于交点为，，，由题可知，‎ ， （4分）‎ 从而有，整理得，即为椭圆方程. （6分）‎ ‎（Ⅱ），设，有， （8分）‎ 从而所求四边形面积 ， （10分）‎ 当且仅当取得最大值. （12分）‎ 71. ‎(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.‎ ‎【试题解析】(Ⅰ) 函数的定义域为．，‎ 令，得；（舍去）． （2分）‎ ‎ 当变化时，的取值情况如下：‎ ‎—‎ ‎0‎ 减 极小值 增 ‎ 所以，函数的极小值为，无极大值． （4分）‎ ‎(Ⅱ) ，‎ 令，得，， （6分）‎ ‎ 当时，，函数的在定义域单调递增； （7分）‎ ‎ 当时，在区间，，上，单调递减，‎ ‎ 在区间，上，单调递增； （8分）‎ ‎ 当时，在区间，，上，单调递减，‎ 在区间，上，单调递增． （9分） ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，函数在区间单调递减；‎ 所以，当时，，‎ （10分）‎ 问题等价于：对任意的，‎ 恒有成立，即，‎ 因为，，‎ 所以，实数的取值范围是． （12分）‎ 71. ‎ (本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.‎ ‎【试题解析】 (I) 由题意知. （5分）‎ ‎（II）由点在曲线上，则 ， ，，‎ 因此. （10分）‎ 72. ‎(本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.‎ ‎【试题解析】（Ⅰ） 因为，所以， ‎ 又因为不等式的解集为或，解得. （5分） （Ⅱ） （10分）‎