2017-2018学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．集合 ，中角表示的范围（阴影部分)是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分为偶数和为奇数讨论，即可得到答案.‎ 详解：由集合，‎ 当为偶数时，集合与表示相同的角，位于第一象限；‎ 当为奇数时，集合与表示相同的角，位于第三象限；‎ 所以集合中表示的角的范围为选项C，故选C.‎ 点睛：本题考查了角的表示，其中分为偶数和为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎2．设为虚数单位，若复数满足其中为复数的共轭复数，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，故选B.‎ ‎3．设，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用诱导公式，求解的值，再利用诱导公式和三角函数基本关系式，即可求解的值.‎ 详解：由诱导公式可得，‎ 又，所以，所以，故选A.‎ 点睛：本题考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式华化简求值，其中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎4．下列曲线中离心率为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于离心率，所以此曲线为椭圆，排除选项A，B；对于选项C，此曲线为椭圆， ，离心率，不符合；对于选项D，为椭圆， 离心率，符合，选D.‎ ‎5．在上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，‎ 所以由几何概型的概率公式得，故选A.‎ ‎6．已知命题：，；命题若，则，下列命题为假命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据给定的命题，判定命题为真命题，则为假命题，为假命题，则为真命题，利用真值表即可判定复合命题的真假，得到解答.‎ 详解：由命题，所以为真命题，则为假命题；‎ 又由命题若，则，则，所以为假命题，则为真命题，‎ 根据复合命题的真值表可知，命题为假命题，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了命题的真假判定和复合命题的真值表的应用，其中正确判定命题的真假是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎7．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）‎ A. 为奇函数，在上单调递减 B. 为偶函数，在上单调递增 C. 周期为，图象关于点对称 D. 最大值为1，图象关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】，值域为，为偶函数，选项A排除；周期，令， ，故单调增区间为，令， ，单调减区间为，函数在 上无单调性，选项B排除；令， ，所以对称中心为，当，不符合，排除C选项；令，当是函数的一条对称轴，选项D正确。‎ 点睛：本题主要考查函数的图象和性质，包括最值，单调性，周期性，奇偶性，对称性等，属于中档题。‎ ‎8．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么 A. B. 8 C. D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，则，则，则，则；故选B．‎ ‎【考点】1.抛物线的定义；2.直线的斜率．‎ ‎【技巧点睛】本题考查抛物线的定义、几何性质和直线的斜率公式的应用，属于中档题；处理抛物线的焦点弦问题时，往往利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离和点到焦点的距离进行合理互化，可减少运算量，要记住焦半径公式（抛物线方程为，点在抛物线上，是抛物线的焦点.‎ ‎9．在中，的对边分别为,若，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意，根据，求得，再由正弦定理可得，且，所以，利用余弦定理即可求解的长.‎ 详解：由题意，满足，‎ 则，即，‎ 即，解得或（舍去），‎ 又因为，所以，‎ 又由，根据正弦定理可得，又，所以，‎ 又由余弦定理得，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理和余弦定理求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎10．若， ，则， ， 中最大的数为（ ）‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】∵， ，∴,即, ；‎ 又，（ ）‎ ‎∴最大的数为 故选：C ‎11．设奇函数在内有9个零点，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）]‎ ‎=2[cossin（ωx+φ）﹣sincos（ωx+φ）]=2sin（ωx+φ﹣）‎ ‎∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=2sin（φ﹣）=0，∴φ=+kπ，k∈Z ‎∴f（x）=2sin（ωx+kπ），f（x）=0即sin（ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m∈Z，解得，x=，设n=m﹣k，则n∈Z，∵A∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,，∴,‎ ‎∵A∈[﹣1，1]中有9个元素,‎ 故答案为：A.‎ 点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．‎ ‎12．已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】关于直线 对称的直线为 ∴直线 与 在上有交点． 作出 与的函数图象，如图所示： 若直线经过点 ，则 ， 若直线 与相切，设切点为 则 ，解得 ‎ ‎ 故选D．‎ 二、填空题 ‎13．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则的值为 ‎__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】分析：利用导数的几何意义求出，再利用切点在切线上求出．‎ 详解：由题意，得 ‎，，‎ 则．‎ 点睛：1.解决本题时，要注意切点既在曲线上，又在切线上，学生往往忽视“点在切线上”；‎ ‎2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同．‎ ‎14．若点在不等式组，表示的平面区域内，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】画出题目所示阴影区域．‎ 目标函数过点时， 的值最大．‎ ‎．‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 处测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶到达处后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛到公路的距离是________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，‎ ‎△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°==km．故填．‎ ‎16．设函数，己知常数且满足，则关于的不等式的在上的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由，求得，又由 ，由，即，结合正弦函数的图像即可求解.‎ 详解：因为，，，所以；‎ 则 ，所以，‎ 则 ，结合正弦函数的图像可知.‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中求三角函数的性质时可先把所给三角函数式化为或 的形式是解答关键，着重考查了学生分析问题和解答问题能力，以及推理与运算能力.‎ 三、解答题 ‎17．在等差数列中，，，为等比数列的前项和，且，，，成等差要列.‎ ‎(1) 求数列，的通项公式 ‎(2) 设，求数列的前50项和 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据等差数列的基本量的运算，求得，即求得；又由，，成等差要列，求得，即可得到；‎ ‎ (2)由（1）得数列从第五项开始为正数，则 ++，利用等差、等比数列的前项和公式，即可求解.‎ 详解：（1）因为 ，所以；‎ 因为，，成等差要列，所以 + ，整理得：；所以 ；所以；‎ ‎ (2) ，所以数列从第五项开始为正数，设数列的前项和为；‎ 则 ++ ；‎ 因为 ，所以，；‎ 又因为；所以 ‎ 点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎18．的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1) 求角 ‎(2) 如图，若，为外一点，,,若四边形的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)由正弦定理得的，根据三角形内角和的性质和两角和的正弦函数，求解，即可求得的大小.‎ ‎(2) 设，则，由（1）知，所以，进而得；‎ 则由余弦定理得，则，利用四边形的面积，求解，即可得到.‎ 详解：(1)在中，由正弦定理得的，‎ 又,所以，‎ 故 ，所以 又,所以，故，又，所以.‎ ‎(2) 设，则，因为，且由（1）知，所以，‎ 则由可知，所以；‎ 则由余弦定理： ，可得，所以;‎ 所以 ；‎ 解得，即 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎19．上饶某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取张进行统计，将结果分成5组，分别是，制成如图所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）．‎ ‎（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自元区间的概率；‎ ‎（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案：‎ 方案一：全场商品打8.5折；‎ 方案二：全场购物满200元减20元，满400元减50元，满600元减80元，满800元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）．‎ ‎【答案】（1）；（2）方案二优惠力度更大.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据分层抽样中抽取张， 中抽取张，列举出张电脑小票中任选张的事件数为 ，这张小票均来自元区间的事件数为 ，由古典概型概率公式可得结果；（2）分别计算出两种方案的平均优惠金额，平均优惠金额较大的方案即为优惠力度较大的方案.‎ 试题解析：（1）由图可知， 中抽取2张，设为， 中抽取4‎ 张，设为，‎ 共有15个基本事件： ，其中2张小票均来自的基本事件为，所以；‎ ‎（2）方案一： 元.‎ 方案二：‎ ‎ ，所以方案二优惠力度更大.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， …. ，再， ….. 依次 …. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点 ‎(1) 若直线的斜率为1，求的值:‎ ‎(2) 若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得，求得椭圆方程为及圆的方程为，把直线的方程与椭圆的方程联立，求解，利用弦长公式求解，又因为过，且为圆上的点，所以，求得，即可得到结论.‎ ‎(2) 由，即，可得，设，联立方程组，求得和，代入即可求解实数的取值范围.‎ 详解：由题意得 ， ，则；‎ 则椭圆的方程为 ，圆的方程为；‎ ‎（1）直线的方程为，，得 解得，，‎ 又因为过，且为圆上的点，所以，则；‎ 所以 ‎ (2) 若 ，因为，所以；‎ 因为,为相异两点，所以直线的斜率存在且不等于零；则设：，‎ 由，得；所以；同理可得；‎ ‎ ；因为，且，所以.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21．已知函数，；‎ ‎（1）当时，求在上的最大值；‎ ‎（2) 若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围，‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）当时，求得，得到函数的单调性，即可求解函数在上的单调性；‎ ‎（2）由，设，则，分和两种情况条例，即可求解实数的取值范围.‎ 详解：（1）当时，，，‎ 当时，，单调递减，当时，，单调递增，‎ 又，， ‎ ‎（2），设，则 ‎①当时，恒成立，故在上为增函数，‎ 而，，故在有且只有一个零点，‎ 故这个零点为函数在区间上的唯一极小值点.‎ ‎②当时，，‎ 当时，总有成立，即在区间上为增函数，故函数在区间上没有极值 .综上所述，‎ 点睛：本题考查了利用导数求解区间上最值和求解参数的取值范围问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于利用导数求解参数的取值范围问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数， ‎ ‎），将曲线经过伸缩变换： 得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线： （为参数）与， 相交于， 两点，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析： 求得曲线的普通方程，然后通过变换得到曲线方程，在转化为极坐标方程在极坐标方程的基础上结合求出结果 解析：（1）的普通方程为，‎ 把， 代入上述方程得， ，‎ ‎∴的方程为.‎ 令， ，‎ 所以的极坐标方程为 .‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由得，‎ 由得.‎ 而，∴.‎ 而，∴或.‎ ‎23．已知函数，‎ ‎（1) 当时，解不等式；‎ ‎（2) 若对于任意非等实数以及任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接把a代入，得到一个分段函数，再解分段函数的不等式.(2)第（2）问，利用绝对值不等式和基本不等式分析解答.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，所以的解集为.‎ ‎（2）由，知，即，‎ 而， ‎ 所以，即，故实数的取值范围为. ‎