2017-2018学年吉林省榆树一中高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年吉林省榆树一中高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年度榆树一中学校高二期中考试试题 理科数学 考试时间：120分钟；‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、单选题（本题共12个小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．求函数的导数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎5．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)‎ A. B. 1 C. 0 D. 不存在 ‎6．函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为 A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）‎ ‎7．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）．‎ A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 ‎8．若,则,某学生由此得出结论:若,则,该学生的推理是　(　　)‎ A. 演绎推理 B. 逻辑推理 C. 归纳推理 D. 类比推理 ‎9．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)‎ A．结论正确 ‎ B．大前提不正确 C．小前提不正确 ‎ D．全不正确 ‎10．函数的图象大致是 ‎11．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②1是函数的极值点；‎ ‎③的图象在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④‎ ‎12．设复数，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. 1‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．‎ ‎14．计算_________.‎ ‎15．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．‎ ‎16．给出下列等式：观察各式：‎ ‎，则依次类推可得 ‎ ；‎ 四、解答题（本题共6个题，共70分）‎ ‎17．（本题12分）复数， ， 为虚数单位．‎ ‎(I)实数为何值时该复数是实数；‎ ‎(Ⅱ)实数为何值时该复数是纯虚数．‎ ‎18．（本题12分）已知复数．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵若复数 满足为实数，求．‎ ‎19．（本题12分）若， ，求：‎ ‎（1）的单调增区间；‎ ‎（2）在上的最小值和最大值。‎ ‎20．（本题12分）计算由曲线，直线，，围成图形的面积S.‎ ‎21．（本题12分）证明不等式： ＜，其中a≥0．‎ ‎22．（本题10分）的表达式，并用数学归纳法进行证明。‎ 绝密★启用前 ‎2017-2018学年度榆树一中学校高二期中考试 理科数学答案 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．（本题5分）求函数的导数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2．（本题5分）复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3．（本题5分）曲线在处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．（本题5分）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎5．（本题5分）函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)‎ A. B. 1‎ C. 0 D. 不存在 ‎【答案】A ‎6．（本题5分）函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为 A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】f（x）的定义域是（0，+∞），，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故选：C．‎ ‎7．（本题5分）已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）．‎ A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 ‎【答案】C ‎8．（本题5分）若,则,某学生由此得出结论:若,则,该学生的推理是　(　　)‎ A. 演绎推理 B. 逻辑推理 C. 归纳推理 D. 类比推理 ‎【答案】D ‎【解析】由实数集上成立的结论,得到复数集上成立的结论,是类比推理，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不能当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.‎ ‎9．（本题5分）正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)‎ A．结论正确 ‎ B．大前提不正确 C．小前提不正确 ‎ D．全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．‎ 考点：本题考查了演绎推理的运用 点评：熟练掌握演绎推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题 10． ‎（本题5分）函数的图象大致是 ‎【答案】A ‎【解析】,当时， ,‎ 所以图像特征应是先增后减再增.‎ ‎11．（本题5分）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②1是函数的极值点；‎ ‎③的图象在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 ‎12．（本题5分）设复数，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 ‎13．（本题5分）为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ ‎∵为函数的一个极值点，‎ ‎∴，解得。‎ 当时， 。‎ ‎∴当或时， 单调递增，‎ 当时， 单调递减。‎ ‎∴当时， 有极大值，且极大值为。‎ 答案：0.‎ ‎14．（本题5分）计算_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式.‎ ‎15．（本题5分）5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．‎ ‎【答案】243‎ ‎【解析】每个人都有种选择方法，根据分步计算原理可知方法有种.‎ ‎16．（本题5分）给出下列等式：观察各式：‎ ‎，则依次类推可得 ‎ ；‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于 ‎，所以 考点：归纳推理 点评：做归纳推理的题目，关键是找出里面的规律。‎ 四、解答题 ‎17．（本题10分）复数， ， 为虚数单位．‎ ‎(I)实数为何值时该复数是实数；‎ ‎(Ⅱ)实数为何值时该复数是纯虚数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或时为实数；（Ⅱ） 时为纯虚数.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）当，为实数；‎ ‎(Ⅱ)当，可得复数为纯虚数.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当，即或时为实数.‎ ‎（Ⅱ）当，即，则时为纯虚数.‎ ‎18．（本题12分）已知复数．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵若复数 满足为实数，求．‎ ‎【答案】⑴⑵‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.‎ 试题解析：⑴‎ ‎⑵∵ ‎ ‎∴‎ ‎∵为实数 ‎∴ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎19．（本题12分）若， ，求：‎ ‎（1）的单调增区间；‎ ‎（2）在上的最小值和最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1） 求导，令，即可得到的单调增区间；‎ ‎（2）令，求得（舍）或，比较 , ,的大小，即可得到在上的最小值和最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）， 解得， 的增区间为 ‎；‎ ‎（2）， （舍）或， , , ， ‎ ‎20．（本题12分）计算由曲线，直线，，围成图形的面积S.‎ ‎【答案】解： .‎ ‎【解析】本试题主要是考查了定积分的运用。‎ 先分图形，得到积分上限和下限，然后结合定积分基本定理得到结论。‎ ‎21．（本题12分）证明不等式： ＜，其中a≥0．‎ ‎【答案】用分析法证明。‎ ‎【解析】试题分析：要证＜成立，‎ 需证＜‎ 需证>‎ 因为显然成立，所以原命题成立。‎ 考点：本题主要考查不等式证明，分析法。‎ 点评：容易题，利用分析法证明不等式，从格式上来说，表述要规范。本题也可转化证明<，两边平方。‎ ‎22．（本题12分）的表达式，并用数学归纳法进行证明。‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：由题意得S1=a1，由S2=a1+a2求得S2，同理求得 S3，S4．猜想，，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设, 则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．‎ 试题解析：‎ 猜想 ‎ 下面用数学归纳法证明这个猜想 ‎（1）‎ ‎ 猜想成立 ‎（2）假设当 ‎ ‎ 那么 ‎ ‎ ‎ 所以，当 根据（1）与（2），可知猜想对任何都成立.‎