数学文卷·2019届广东省惠阳高级中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学文卷·2019届广东省惠阳高级中学高二上学期期中考试（2017-11）

2019 届高二第一学期中段考文科数学试题 参考公式：回归直线方程：y=bx+a, 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx                      一、选择题 1．设命题 p：∃n∈N， nn 22  ，则  p 为( ) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 2．右图是 2017 年我校举办“我的青春我做主”演讲比赛大赛上, 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一 个最低分后,所剩数据的方差为 ( ) A.1 B.1.2 C.1.6 D.1.8 3．已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“AB”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．下列可能是四进制数的是( ) A．5 123 B．6 542 C．3 103 D．4 312 5．将 1 000 名学生的编号如下：0001,0002,0003，…，1000，若从中抽取 50 个学生，用 系统抽样的方法从第一部分 0001,0002，…，0020 中抽取的号码为 0015 时，则抽取的第 40 个号码为 ( ) A．0795 B．0780 C．0810 D．0815 6．已知 命题 :p 对任 意 xR ，总 有 | | 0x  ； : 1q x  是方 程 2 0x   的根 ，则下 列命 题为真 命题的 是（ ） A． p q  B． p q  C． p q   D． p q 7．有三个命题：①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题； ③“若 x≤－3，则 x2＋x－6>0”的否命题． 其中真命题的个数为（ ） A．0 个 B．1 个 7 9 8 4 4 4 6 7 9 3 C．2 个 D．3 个 8．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄 球的概率为 0.4，摸出的球是红球或白球的概率为 0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率 为( ) A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 9．已知 x 与 y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程为   xaby 必过点 ( ) A．(2,2) B．(1,2) C．(1.5,0) D．(1.5,4) 10．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个 容量为 n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如右图所示， 根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元 A．45 B．390 9 C．400 9 D．46 11．已知 ABC 的周长是16， )0,3(A ，B )0,3( , 则动点C的轨迹方程是( ) A． 11625 22  yx B． )0(11625 22  yyx C． 12516 22  yx D． )0(12516 22  yyx 12. 阅读图2的程序框图，若输出的 S 的值等于16, 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ） A． 5i ? B. 6i ? C. 7i ? D. 8i ? 二、填空题 13．某校有高级教师 26 人，中级教师 104 人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资 收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，已知从其他教师中共抽 取了 16 人，则该校共有教师 人． 14．有下列三个特称命题：① 0 ,x R  使 2 0 02 1 0x x   ；②存在两条相交直线垂直于同 一个平面；③ 2 0 0, 0x R x   ，其中错误．．命题的序号是 ． 15. 欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之， 自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径 为 3 cm 的圆面，中间有边长为 1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好 落入孔中的概率为 16．已知点 M 与椭圆 1144169 22  yx 的左焦点和右焦点的距离之比为 2∶3，那么点 M 的 轨迹方程为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分． 17．（满分10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标分别为 1F （0，2）， 2F （0，- 2），经过点 )3,62(P （2） 18．（满分 12 分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩(均 为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观 察图形的信息，回答下列问题： (1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，由此频率分布直方图估 计本次考试的平均分； (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该 样本看成一个总体，从中任取 2 个，求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率． 19．（满分 12 分）将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛 掷两次，将得到的点数分别记为 a，b. (1)将 a，b,5 的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． (2)求直线 ax＋by＋5＝0 与圆 x2＋y2＝1 相切的概率； 20．（满分12分）假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y （单位：万元）之间 有如下的统计资料： x （年） 2 3 4 5 6 y （万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求： （1）求 y 对 x 的回归直线方程 y bx a    ， （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 21．（满分12分）已知p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a>0；q：实数x满足 2 2 - -6 0 2 -8 0. x x x x      ， (1) 若a=1，且“p∧q”为真，求实数x的取值范围； (2) 若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 22．（满分 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元， 售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销 售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量 为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下 面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货 量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率． 惠阳高级中学实验中学 2019 届高二第一学期 期中考试数学试题答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A C A A B A D C B A 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13、182 14、①② 15、 9 4 16、 144)13( 22  yx 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 解：（1） 22 )23()062(2 a + 22 )23()062(  = 5+ 7= 12 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 6 a 32222  cab ┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 所求椭圆的焦点在 y 轴上，椭圆的标准方程为 13236 22  xy ┄┄┄5 分 （2）由 ,得 a=13 ,c= 5 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 144222  cab ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 椭圆的标准方程为 1144169 22  xy 或 1144169 22  yx ┄┄┄┄┄10 分 18. （本小题满分 12 分） [解析] (1)分数在[120,130)内的频率为： 1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. ┄┄┄┄┄┄2 分 频率 组距＝ 0.3 10 ＝0.03，补全后的直方图如下： ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 (2)平均分为： x －＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 (3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9 人，[120,130)分数段的人数为： 60×0.3＝18 人． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人，并分别记为 m，n； 在[120,130)分数段内抽取 4 人并分别记为 a，b，c，d； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 设“从样本中任取 2 人，至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A，则基本事件有： (m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)， (a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共 15 种．┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 事件 A 包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n， b)，(n，c)，(n，d)共 9 种． ∴P(A)＝ 5 3 15 9  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 19．（本小题满分 12 分） (1)∵三角形的一边长为 5， ∴当 a＝1 时，b＝5，当 a＝2 时，b＝5， 当 a＝3 时，b＝3、5，当 a＝4 时，b＝4、5， 当 a＝5 时，b＝1、2、3、4、5、6， 当 a＝6 时，b＝5、6. ∴满足条件的情况共有 14 种． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 故三条线段能围成等腰三角形的概率为14 36 ＝ 7 18. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 (2)因为直线 ax＋by＋5＝0 与圆 x2＋y2＝1 相切，所以有 5 a2＋b2 ＝1┄┄┄┄8 分 即：a2＋b2＝25，┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 由于 a，b∈{1,2,3,4,5,6}， 所以，满足条件的情况只有 a＝3、b＝4 和 a＝4、b＝3 两种情况，┄┄┄11 分 所以，直线 ax＋by＋5＝0 与圆 x2＋y2＝1 相切的概率是 2 36 ＝ 1 18. ┄┄┄┄┄12 分 20．（本小题满分 12 分） 【解析】（Ⅰ）由题意得 4x  ， 5y  ， 5 1 112.3i i i x y   ， 5 2 1 90i i x   ， 所以 1 222 1 112.3 5 4 5 1.2390 5 4 n i i i n i i x y nxy b x nx            ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 5 1.23 4 0.08a y bx      ． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 故 y 对 x 的回归直线方程 1.23 0.08y x    ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 （Ⅱ）当 10x  时， 1.23 0.08 12.3 0.08 12.38y x       （万元）．┄┄┄11分 估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 21．（本小题满分 12 分） 13. 已知 p：实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0，其中 a>0；q：实数 x 满足 2 2 - -6 0 2 -8 0. x x x x      ， (1) 若a=1，且“p∧q”为真，求实数x的取值范围； (2) 若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解析：对于p：由x2-4ax+3a2<0，得(x-3a)(x-a)<0.又a>0，所以a3. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 由¬p是¬q的充分不必要条件，知03，解得1

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