高考数学二轮复习第二部分板块一系统思想方法——融会贯通教学案理

高考数学二轮复习第二部分板块一系统思想方法——融会贯通教学案理

板块(一) 系统思想方法——融会贯通 (一)小题小做 巧妙选择 高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综 合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了 一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择 题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础． 一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发， 利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出 正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、 求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法 技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明． 一、直接法 直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推 理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法． [典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2) 2 ＋y2 ＝4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为( ) A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3 [技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公 式得出 a2 ，b2 的关系求解． 依题意，双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 bx－ay＝0.因为直线 bx －ay＝0 被圆(x－2)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2，所以 |2b| b2＋a2 ＝ 4－1，所以 3a2＋3b2＝4b2， 所以 3a2＝b2，所以 e＝ 1＋ b2 a2 ＝ 1＋3＝2. [答案] A [应用体验] 1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合 S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则 S∩T＝( ) A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) 解析：选 D 由题意知 S＝{x|x≤2 或 x≥3}， 则 S∩T＝{x|0b>1,0b>1,0 2， ∴选项 A 不正确． 对于 B,4×2 1 2 ＝4 2，2×4 1 2 ＝4,4 2>4， ∴选项 B 不正确． 对于 C,4×log2 1 2 ＝－4,2×log4 1 2 ＝－1，－4<－1， ∴选项 C 正确． 对于 D，log4 1 2 ＝－ 1 2 ，log2 1 2 ＝－1，－ 1 2 >－1， ∴选项 D 不正确． 故选 C． 法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进 行比较． ∵y＝xα ，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当 a>b>1,0bc ，选项 A 不正确． ∵y＝xα ，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当 a>b>1,0bac ，选项 B不正确． ∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0， ∴ a lg b > b lg a .又∵0logbc，选项 D不正确． [答案] C [应用体验] 5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝x－ 1 3 sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则 a的取值范围是( ) A．[－1,1] B． －1， 1 3 C． － 1 3 ， 1 3 D． －1，－ 1 3 解析：选 C 法一：(特殊值验证法)取 a＝－1，则 f(x)＝x－ 1 3 sin 2x－sin x，f′(x) ＝1－ 2 3 cos 2x－cos x，但 f′(0)＝1－ 2 3 －1＝－ 2 3 ＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的 条件，故排除 A、B、D.故选 C． 法二：(直接法)函数f(x)＝x－ 1 3 sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x) ＝1－ 2 3 cos 2x＋acos x＝－ 4 3 cos 2x＋acos x＋ 5 3 ≥0 在(－∞，＋∞)恒成立．设 cos x＝t， 则 g(t)＝－ 4 3 t2＋at＋ 5 3 ≥0 在[－1,1]恒成立，所以 g 1 ＝－ 4 3 ＋a＋ 5 3 ≥0， g －1 ＝－ 4 3 －a＋ 5 3 ≥0， 解得－ 1 3 ≤a≤ 1 3 .故选 C． 四、排除法 排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发， 运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其 中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论． [典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数 y＝ sin 2x 1－cos x 的部分图象大致为( ) [技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数 f(x)＝ sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又 f(－x)＝ sin －2x 1－cos －x ＝ －sin 2x 1－cos x ＝－f(x)， 所以 f(x)＝ sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B；因为 f(1)＝ sin 2 1－cos 1 ＞0， f(π)＝ sin 2π 1－cos π ＝0，故排除 A、D，选 C． [答案] C [应用体验] 6．(2016·全国卷Ⅰ)函数 y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( ) 解析：选 D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数， 又 f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除 A，B. 设 g(x)＝2x2 －e x ，则 g′(x)＝4x－e x . 又 g′(0)<0，g′(2)>0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C．故选 D. 7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P到 A，B两点 距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图象大致为( ) 解析：选 B 当 x∈ 0， π 4 时，f(x)＝tan x＋ 4＋tan 2x，图象不会是直线段，从而排 除 A、C． 当 x∈ π 4 ， 3π 4 时，f π 4 ＝f 3π 4 ＝1＋ 5，f π 2 ＝2 2.∵2 2<1＋ 5，∴f π 2 b a ，所以 e> 4 3 . 故选 D. (二)快稳细活 填空稳夺 绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答 时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在 “准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、 构造法、分析法等． 解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答 时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5 个原则． 填空题解答“五字诀” 快——运算要快，力戒小题大做 细——审题要细，不能粗心大意 稳——变形要稳，不可操之过急 活——解题要活，不要生搬硬套 全——答案要全，避免残缺不齐 一、直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、 推理、计算等得出正确的结论． [典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝ 4 5 ， cos C＝ 5 13 ，a＝1，则 b＝________. [技法演示] 先求出 sin A，sin C 的值，进而求出 sin B 的值，再利用正弦定理求 b 的值． 因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝ 4 5 ，cos C＝ 5 13 ， 所以 sin A＝ 3 5 ，sin C＝ 12 13 ， 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ 3 5 × 5 13 ＋ 4 5 × 12 13 ＝ 63 65 . 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝ asin B sin A ＝ 63 65 × 5 3 ＝ 21 13 . [答案] 21 13 [应用体验] 1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2 )为偶函数，则 a＝________. 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立， ∴－xln(－x＋ a＋x2 )－xln(x＋ a＋x2 )＝0 恒成立，∴xln a＝0 恒成立，∴ln a＝0， 即 a＝1. 答案：1 2．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中 x2y7的系数为________．(用数字填写 答案) 解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝C r 8x 8－ryr，令 r＝7，再令 r＝6，得 x2y7的系数为 C 7 8－C 6 8＝8－28 ＝－20. 答案：－20 二、特殊值法 当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的 参变量用特殊值代替即可得到结论． [典例] (2016·山东高考)已知双曲线 E： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，若矩形 ABCD 的四 个顶点在 E上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________． [技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB|＝ 2b2 a ，|BC|＝2c， 又 2|AB|＝3|BC|，∴设|AB|＝6，|BC|＝4，则|AF1|＝3，|F1F2|＝4， ∴|AF2|＝5.由双曲线的定义可知，a＝1，c＝2，∴e＝ c a ＝2.故填 2. 法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于 a，b，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB|＝ 2b2 a ，|BC|＝2C． 又 2|AB|＝3|BC|， ∴2× 2b2 a ＝3×2c，即 2b2 ＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以 a2并整理得 2e2－3e－2＝0，解得 e＝2(负值舍去)． [答案] 2 [应用体验] 3．(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列，若 a1＋1，a3＋3，a5＋5 构成公比为 q 的等 比数列，则 q＝________. 解析：法一：(特殊值法)由题意知 a1，a3，a5成等差数列，a1＋1，a3＋3，a5＋5 成等比 数列，所以观察可设 a1＝5，a3＝3，a5＝1，所以 q＝1.故填 1. 法二：(直接法)因为数列{an}是等差数列，所以可设 a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由 已知得(t＋3) 2 ＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得 d2 ＋4d＋4＝0，即 d＝－2，所以 a3＋3＝a1＋1， 即 q＝1. 答案：1 三、数形结合法 根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往 可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想． [典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2 ＋y2 ＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________. [技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出 m的值，再结合图象求|CD|. 由直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 知其过定点(－3， 3)，圆心 O 到直线 l 的距离为 d＝ |3m－ 3| m2 ＋1 . 由|AB|＝2 3得 3m－ 3 m2 ＋1 2 ＋( 3) 2 ＝12， 解得 m＝－ 3 3 . 又直线 l 的斜率为－m＝ 3 3 ， 所以直线 l的倾斜角α＝ π 6 . 画出符合题意的图形如图所示，过点 C 作 CE⊥BD，则∠DCE＝ π 6 . 在 Rt△CDE 中，可得|CD|＝ |AB| cos π 6 ＝2 3× 2 3 ＝4. [答案] 4 [应用体验] 4．(2015·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件 x＋y－2≤0， x－2y＋1≤0， 2x－y＋2≥0， 则 z＝3x＋y 的最大值 为________． 解析：画出可行域(如图所示)． ∵z＝3x＋y， ∴y＝－3x＋z. ∴直线 y＝－3x＋z 在 y 轴上截距最大时，即直线过点 B 时，z取得最大值． 由 x＋y－2＝0， x－2y＋1＝0， 解得 x＝1， y＝1， 即 B(1,1)， ∴zmax＝3×1＋1＝4. 答案：4 5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0， 则 x 的取值范围是________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于 y轴对称．又 f(2)＝0，且 f(x) 在[0，＋∞)上单调递减，则 f(x)的大致图象如图所示，由 f(x－1)>0， 得－21， 若 f(0)＝2，则 a＋f(－2)＝( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 解析：选 C ∵函数 f(x)＝ log2 x＋a ，|x|≤1， － 10 |x|＋3 ，|x|>1， 由 f(0)＝2，可得 log2(0＋a)＝2，∴a＝4. ∴a＋f(－2)＝4－ 10 5 ＝2. 4．如图，圆 C 内切于扇形 AOB，∠AOB＝ π 3 ，若向扇形 AOB 内随机投 掷 600 个点，则落入圆内的点的个数估计值为( ) A．100 B．200 C．400 D．450 解析：选 C 如图所示，作 CD⊥OA 于点 D，连接 OC 并延长交扇形 于点 E，设扇形半径为 R，圆 C 半径为 r，∴R＝r＋2r＝3r，∴落入圆内 的点的个数估计值为 600· πr2 1 6 π 3r 2 ＝400. 5．双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－ 3) 2 ＋(y－1) 2 ＝1 相切，则此双 曲线的离心率为( ) A．2 B． 5 C． 3 D． 2 解析：选 A 由题可知双曲线的渐近线方程为 bx±ay＝0，与圆相切，∴圆心( 3，1) 到渐近线的距离为 | 3b－a| a2 ＋b2 ＝1 或 | 3b＋a| a2 ＋b2 ＝1，又 a>0，b＞0，解得 3a＝b，∴c2 ＝a2 ＋ b2 ＝4a2 ，即 c＝2a，∴e＝ c a ＝2. 6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出 S 的值是( ) A．－3 B．－ 1 2 C． 1 3 D．2 解析：选 A 模拟程序框图的运算结果如下： 开始 S＝2，i＝1. 第一次循环，S＝－3，i＝2；第二次循环，S＝－ 1 2 ，i＝3；第三次循环，S＝ 1 3 ，i＝4； 第四次循环，S＝2，i＝5； 第五次循环，S＝－3，i＝6；……，可知 S 的取值呈周期性出现，且周期为 4，∵跳出 循环的 i 值 2 018＝504×4＋2，∴输出的 S＝－3. 7．在△ABC 中，| AB ―→ ＋ AC ―→ |＝ 3| AB ―→ － AC ―→ |，| AB ―→ |＝| AC ―→ |＝3，则 CB ―→ · CA ―→ 的 值为( ) A．3 B．－3 C．－ 9 2 D． 9 2 解析：选 D 由| AB ―→ ＋ AC ―→ |＝ 3| AB ―→ － AC ―→ |，两边平方可得| AB ―→ | 2 ＋| AC ―→ | 2 ＋ 2 AB ―→ · AC ―→ ＝3| AB ―→ | 2 ＋3| AC ―→ | 2 －6 AB ―→ · AC ―→ ，又| AB ―→ |＝| AC ―→ |＝3，∴ AB ―→ · AC ―→ ＝ 9 2 ， ∴ CB ―→ · CA ―→ ＝( CA ―→ ＋ AB ―→ )· CA ―→ ＝ CA ―→2 ＋ AB ―→ · CA ―→ ＝ CA ―→2 － AB ―→ · AC ―→ ＝9－ 9 2 ＝ 9 2 . 8．设{an}是公差不为 0 的等差数列，满足 a2 4＋a2 5＝a2 6＋a2 7，则{an}的前 10 项和 S10＝( ) A．－10 B．－5 C．0 D．5 解析：选 C 由 a2 4＋a2 5＝a2 6＋a2 7，可得(a2 6－a2 4)＋(a2 7－a2 5)＝0，即 2d(a6＋a4)＋2d(a7＋a5) ＝0，∵d≠0， ∴a6＋a4＋a7＋a5＝0，∵a5＋a6＝a4＋a7，∴a5＋a6＝0， ∴S10＝ 10 a1＋a10 2 ＝5(a5＋a6)＝0. 9．函数 f(x)＝ 2 1＋ex －1 cos x 的图象的大致形状是( ) 解析：选 B ∵f(x)＝ 2 1＋e x －1 cos x， ∴f(－x)＝ 2 1＋e －x －1 cos(－x)＝ 2e x 1＋e x －1 cos x＝－ 2 1＋e x －1 cos x＝－f(x)，故 函数 f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除 A，C； 又由当 x∈ 0， π 2 时，f(x)<0，函数图象位于第四象限，可排除 D，故选 B. 10．已知过抛物线 y2 ＝4x 的焦点 F的直线交抛物线于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，若 AF ―→ ＝3 FB ―→ ，则直线 AB 的斜率为( ) A． B． 1 2 C． 3 2 D． 3 解析：选 D 作出抛物线的准线 l：x＝－1， 设 A，B 在 l 上的投影分别是 C，D， 连接 AC，BD，过 B 作 BE⊥AC 于 E，如图所示． ∵ AF ―→ ＝3 FB ―→ ，∴设|AF|＝3m， |BF|＝m，则|AB|＝4m， 由点 A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC|＝|AF| ＝3m， |BD|＝|BF|＝m，则|AE|＝2m. 因此在 Rt△ABE 中，cos∠BAE＝ |AE| |AB| ＝ 2m 4m ＝ 1 2 ， 得∠BAE＝60°. 所以直线 AB 的倾斜角∠AFx＝60°，故直线 AB 的斜率为 k＝tan 60°＝ 3. 11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面 积为( ) A．4π B． 28π 3 C． 44π 3 D．20π 解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2的正三角 形，侧棱长是 2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接 球的半径 r，所以 r＝ 2 3 × 3 2 ＋1 2 ＝ 7 3 ，则球面的表面积为 4πr2＝4π× 7 3 ＝ 28π 3 . 12．设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0.则当 xy z 取得最大值时， 2 x ＋ 1 y － 2 z 的 最大值为( ) A．0 B．1 C． 9 4 D．3 解析：选 B ∵x2 －3xy＋4y2 －z＝0，∴z＝x2 －3xy＋4y2 ，又 x，y，z 均为正实数，∴ xy z ＝ xy x2－3xy＋4y2 ＝ 1 x y ＋ 4y x －3 ≤ 1 2 x y × 4y x －3 ＝1(当且仅当 x＝2y 时等号成立)，∴ xy z max＝1， 此时 x＝2y， 则 z＝x2 －3xy＋4y2 ＝(2y)2 －3×2y×y＋4y2 ＝2y2 ， ∴ 2 x ＋ 1 y － 2 z ＝ 1 y ＋ 1 y － 1 y2 ＝－ 1 y －1 2 ＋1≤1， 当且仅当 y＝1 时等号成立，满足题意． ∴ 2 x ＋ 1 y － 2 z 的最大值为 1. 二、填空题 13．已知等比数列{an}中，a1＋a3＝ 5 2 ，a2＋a4＝ 5 4 ，则 a6＝________. 解析：∵a1＋a3＝ 5 2 ，a2＋a4＝ 5 4 ， ∴ a1＋a1q 2 ＝ 5 2 ， a1q＋a1q 3＝ 5 4 ， 解得 q＝ 1 2 ， a1＝2， ∴a6＝2× 1 2 5 ＝ 1 16 . 答案： 1 16 14．已知 sin θ－ π 6 ＝ 3 3 ，则 cos π 3 －2θ ＝________. 解析：cos π 3 －2θ ＝cos 2θ－ π 3 ＝cos 2 θ－ π 6 ＝1－2sin 2 θ－ π 6 ＝1－ 2× 3 3 2 ＝ 1 3 . 答案： 1 3 15．设实数 x，y 满足约束条件 3x－y－6≤0， x－y＋2≥0， x≥0， y≥0， 若目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0) 的最大值为 10，则 a2 ＋b2 的最小值为________． 解析：由 z＝ax＋by(a>0，b>0)得 y＝－ a b x＋ z b ，∵a＞0，b＞0，∴直线 y＝－ a b x＋ z b 的 斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图， 平移直线 y＝－ a b x＋ z b ，由图象可知当 y＝－ a b x＋ z b 经过点 A时，直线在 y 轴上的截距最 大，此时 z也最大． 由 3x－y－6＝0， x－y＋2＝0， 解得 x＝4， y＝6， 即 A(4,6)． 此时 z＝4a＋6b＝10，即 2a＋3b－5＝0， 即点(a，b)在直线 2x＋3y－5＝0 上，因为 a2 ＋b2 的几何意义为直线上的点到原点距离 的平方，又原点到直线的距离 d＝ |－5| 22＋32 ＝ 5 13 ，故 a2＋b2的最小值为 d2＝ 25 13 . 答案： 25 13 16．已知函数 f(x)＝|xex |－m(m∈R)有三个零点，则 m 的取值范围为________． 解析：函数f(x)＝|xex |－m(m∈R)有三个零点，即y＝|xex |与y＝m的图象有三个交点．令 g(x)＝xex ，则 g′(x)＝(1＋x)ex ， 当 x＜－1 时，g′(x)＜0，当 x＞－1 时，g′(x)＞0， 故 g(x)＝xex在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g(－1)＝－ 1 e ， 又由 x＜0 时，g(x)＜0，当 x＞0 时，g(x)＞0，故函数 y＝|xex |的图象如图所示： 由图象可知 y＝m与函数 y＝|xex |的图象有三个交点时，m∈ 0， 1 e ，故 m 的取值范围是 0， 1 e . 答案： 0， 1 e “12＋4”小题提速练(二) (限时：40 分钟 满分：80 分) 一、选择题 1．(2017·西安模拟)已知集合 A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2 －x－6＜0}，则 A∩B＝( ) A．∅ B．{x|2＜x＜3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2} 解析：选 C 化简集合得 A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，则 A∩B＝{x|2≤x＜3}． 2．(2017·福州模拟)已知复数 z＝2＋i，则 z z ＝( ) A． 3 5 － 4 5 i B．－ 3 5 ＋ 4 5 i C． 5 3 － 4 3 i D．－ 5 3 ＋ 4 3 i 解析：选 A 因为 z＝2＋i，所以 z z ＝ 2－i 2＋i ＝ 2－i 2 5 ＝ 3 5 － 4 5 i. 3．设 a＝log32，b＝ln 2，c＝5－ 1 2 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：选 C 因为 a＝log32＝ 1 log23 ，b＝ln 2＝ 1 log2e ，而 log23＞log2e＞1，所以 a＜b， 又 c＝5－ 1 2 ＝ 1 5 ， 5＞2＝log24＞log23，所以 c＜a，故 c＜a＜b. 4．(2018 届高三·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中， 规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的 3 道题 目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( ) A．3 种 B．8种 C．30 种 D．48 种 解析：选 D 能连成横着的一条线的有 123,456,789，共 3 种，能连成竖着的一条线的 有 147,258,369，共 3 种，能连成对角线的有 159,357，共 2 种，故共有 8 种． 又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有 6种答题方法：如答题为 1,2,3 时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有 8×6＝ 48(种)答题方法． 5．(2017·合肥模拟)设变量 x，y满足约束条件 x－y≥－1， x＋y≤4， y≥2， 则目标函数 z＝x＋2y 的最大值为( ) A．5 B．6 C． 13 2 D．7 解析：选 C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由 图易知，当直线 z＝x＋2y 经过直线 x－y＝－1 与 x＋y＝4 的交点，即 A 3 2 ， 5 2 时，z 取得最大值，zmax＝x＋2y＝ 13 2 . 6．(2018 届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的 值为 1，则输出 S 的值为( ) A．64 B．73 C．512 D．585 解析：选 B 依题意，执行题中的程序框图，当输入 x 的值为 1 时，进行第一次循环， S＝1＜50，x＝2；进行第二次循环，S＝1＋2 3 ＝9＜50，x＝4；进行第三次循环，S＝9＋4 3 ＝73＞50，此时结束循环，输出 S的值为 73. 7．(2017·衡阳三模)在等比数列{an}中，a1＝2，前 n 项和为 Sn，若数列{an＋1}也是等 比数列，则 Sn＝( ) A．2 n＋1 －2 B．3n C．2n D．3 n －1 解析：选 C 因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为 q，则 an＝2qn－1 ，因为数列{an ＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1) 2 ＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒a2 n＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2⇒an＋ an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2 －2q)＝0⇒q＝1，即 an＝2，所以 Sn＝2n. 8．点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝ 3，若四面体 ABCD 体积的最大 值为 3，则这个球的表面积为( ) A． 169 16 π B．8π C． 289 16 π D． 25 16 π 解析：选 C 如图所示，当点 D 位于球的正顶部时四面体的体积最大， 设球的半径为 R，则四面体的高为 h＝R＋ R2－1，四面体的体积为 V＝ 1 3 × 1 2 ×( 3) 2 ×sin 60°×(R＋ R2－1)＝ 3 4 ×(R＋ R2－1)＝ 3，解得 R＝ 17 8 ， 所以球的表面积 S＝4πR2＝4π 17 8 2＝ 289π 16 ，故选 C． 9．(2018 届高三·湖北七校联考)已知圆 C：(x－1) 2 ＋y2 ＝r2 (r＞0)．设条件 p：0＜r ＜3，条件 q：圆 C 上至多有 2个点到直线 x－ 3y＋3＝0的距离为 1，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C 圆 C：(x－1) 2 ＋y2 ＝r2 的圆心(1,0)到直线 x－ 3y＋3＝0 的距离 d＝ |1－ 3×0＋3| 1 2 ＋ － 3 2 ＝2. 当 0＜r＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为 1； 当 r＝1 时，直线在圆外，圆上只有 1 个点到直线的距离为 1； 当 1＜r＜2时，直线在圆外，此时圆上有 2个点到直线的距离为 1； 当 r＝2 时，直线与圆相切，此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1； 当 2＜r＜3时，直线与圆相交，此时圆上有 2 个点到直线的距离为 1. 综上，当 0＜r＜3 时，圆 C 上至多有 2 个点到直线 x－ 3y＋3＝0 的距离为 1，由圆 C 上至多有 2 个点到直线 x－ 3y＋3＝0 的距离为 1 可得 0＜r＜3，故 p 是 q 的充要条件，故 选 C． 10．(2017·合肥模拟)已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心 率为 e.P 是椭圆上一点，满足 PF2⊥F1F2，点 Q 在线段 PF1上，且 F1Q ―→ ＝2 QP ―→ .若 F1P ―→ · F2Q ―→ ＝0，则 e2 ＝( ) A． 2－1 B．2－ 2 C．2－ 3 D． 5－2 解析：选 C 由题意可知，在 Rt△PF1F2中，F2Q⊥PF1，所以|F1Q|·|F1P|＝|F1F2| 2 ，又|F1Q| ＝ 2 3 |F1P|，所以有 2 3 |F1P| 2 ＝|F1F2| 2 ＝4c2 ，即|F1P|＝ 6c，进而得出|PF2|＝ 2C．又由椭圆定 义可知，|PF1|＋|PF2|＝ 6c＋ 2c＝2a，解得 e＝ c a ＝ 2 6＋ 2 ＝ 6－ 2 2 ，所以 e2 ＝2－ 3. 11．(2017·广州模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜ π)是奇函数，直线 y＝ 2与函数 f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 π 2 ， 则( ) A．f(x)在 0， π 4 上单调递减 B．f(x)在 π 8 ， 3π 8 上单调递减 C．f(x)在 0， π 4 上单调递增 D．f(x)在 π 8 ， 3π 8 上单调递增 解析：选 D f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝ 2sinωx＋φ＋ π 4 ，因为 0＜φ＜ π且 f(x)为奇函数，所以φ＝ 3π 4 ，即 f(x)＝－ 2sin ωx，又直线 y＝ 2与函数 f(x)的图 象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 π 2 ，所以函数 f(x)的最小正周期为 π 2 ，由 2π ω ＝ π 2 ，可得ω＝4，故 f(x)＝－ 2sin 4x，由 2kπ＋ π 2 ≤4x≤2kπ＋ 3π 2 ，k∈Z，即 kπ 2 ＋ π 8 ≤x≤ kπ 2 ＋ 3π 8 ，k∈Z，令 k＝0，得 π 8 ≤x≤ 3π 8 ，此时 f(x)在 π 8 ， 3π 8 上单调递增，故 选 D. 12．(2017·贵阳模拟)已知函数 f(x)＝ln(x2 －4x－a)，若对任意的 m∈R，均存在 x0 使得 f(x0)＝m，则实数 a的取值范围是( ) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞) 解析：选 D 依题意得，函数 f(x)的值域为 R，令函数 g(x)＝x2 －4x－a，其值域 A 包 含(0，＋∞)，因此对方程 x2 －4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得 a≥－4，即实数 a 的取 值范围是[－4，＋∞)． 二、填空题 13．(2017·兰州模拟)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝ π 3 ，则 BD ―→ · CD ―→ ＝________. 解析：由菱形的性质知| BD ―→ |＝ 3a，| CD ―→ |＝a，且〈 BD ―→ ，CD ―→ 〉＝ π 6 ，∴ BD ―→ · CD ―→ ＝ 3a×a×cos π 6 ＝ 3 2 a2 . 答案： 3 2 a2 14．(2017·石家庄模拟)若 x2 ＋ 1 x n 的展开式的二项式系数之和为 64，则含 x3 项的系 数为________． 解析：由题意，得 2 n ＝64，所以 n＝6， 所以 x2 ＋ 1 x n ＝ x2 ＋ 1 x 6 ， 其展开式的通项公式为 Tr＋1＝C r 6(x 2 ) 6－r 1 x r ＝C r 6x 12－3r . 令 12－3r＝3，得 r＝3， 所以展开式中含 x3项的系数为 C 3 6＝20. 答案：20 15．某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出三箱，再从每箱中 任意抽取 2 件产品进行检验，设取出的三箱中分别有 0 件、1 件、2件二等品，其余为一等 品．用ξ表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，则ξ的数学期望 E(ξ)＝________. 解析：由题意知，ξ的所有可能取值为 0,1,2,3， P(ξ＝0)＝ C2 4 C2 5 · C2 3 C2 5 ＝ 9 50 ， P(ξ＝1)＝ C1 4 C2 5 · C2 3 C2 5 ＋ C2 4 C2 5 · C1 3C 1 2 C2 5 ＝ 12 25 ， P(ξ＝2)＝ C1 4 C2 5 · C1 3C 1 2 C2 5 ＋ C2 4 C2 5 · C2 2 C2 5 ＝ 3 10 ， P(ξ＝3)＝ C 1 4 C 2 5 · C 2 2 C 2 5 ＝ 1 25 ， 所以ξ的数学期望为 E(ξ)＝0× 9 50 ＋1× 12 25 ＋2× 3 10 ＋3× 1 25 ＝ 6 5 . 答案： 6 5 16．(2018 届高三·云南调研)已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在表面积为 289π 16 的球面 上，底面 ABC 是边长为 3的等边三角形，则三棱锥 PABC 体积的最大值为________． 解析：依题意，设球的半径为 R，则有 4πR2 ＝ 289π 16 ，R＝ 17 8 ，△ABC 的外接圆半径为 r ＝ 3 2sin 60° ＝1，球心到截 面 ABC 的距离 h＝ R2－r2 ＝ 17 8 2 －1 2 ＝ 15 8 ，因此点 P 到截面 ABC 的距离的最大值等 于 h＋R＝ 17 8 ＋ 15 8 ＝4，因此三棱锥 PABC 体积的最大值为 1 3 × 3 4 × 3 2 ×4＝ 3. 答案： 3 “12＋4”小题提速练(三) (限时：40 分钟 满分：80 分) 一、选择题 1．已知集合 M＝{x|16－x2≥0}，集合 N＝{y|y＝|x|＋1}，则 M∩N＝( ) A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2} 解析：选 C 由 M 中 16－x2 ≥0，即(x－4)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤4，所以 M＝{x|－ 4≤x≤4}，集合 N＝{y|y＝|x|＋1}＝[1，＋∞)，则 M∩N＝{x|1≤x≤4}． 2．若复数 z 满足 z(4－i)＝5＋3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数为( ) A．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i 解析：选 A 由 z(4－i)＝5＋3i， 得 z＝ 5＋3i 4－i ＝ 5＋3i 4＋i 4－i 4＋i ＝ 17＋17i 17 ＝1＋i， 则复数 z 的共轭复数为 1－i. 3．由变量 x 与 y 的一组数据： x 1 5 7 13 19 y y1 y2 y3 y4 y5 得到的线性回归方程为y ^ ＝2x＋45，则 y － ＝( ) A．135 B．90 C．67 D．63 解析：选 D 根据表中数据得 x － ＝ 1 5 ×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程y ^ ＝2x＋45 过点( x － ， y － )，则 y － ＝2×9＋45＝63. 4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( ) A．输出 a，b，c 三个数中的最大数 B．输出 a，b，c 三个数中的最小数 C．将 a，b，c 按从小到大排列 D．将 a，b，c 按从大到小排列 解析：选 B 由程序框图知：第一个判断框是比较 a，b大小，a 的值是 a，b 之间的较 小数；第二个判断框是比较 a，c大小，输出的 a是 a，c 之间的较小数．∴该程序框图的功 能是输出 a，b，c 三个数中的最小数．故选 B. 5．函数 y＝sin 2x＋ π 3 的图象经过下列平移，可以得到函数 y＝cos 2x＋ π 6 图象的 是( ) A．向右平移 π 6 个单位 B．向左平移 π 6 个单位 C．向右平移 π 3 个单位 D．向左平移 π 3 个单位 解析：选 B 把函数 y＝sin 2x＋ π 3 ＝cos π 2 － 2x＋ π 3 ＝cos 2x－ π 6 的图象向左平移 π 6 个单位，可得 y＝cos 2 x＋ π 6 － π 6 ＝cos 2x＋ π 6 的图象． 6．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数且以 2 为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是 “f(x)为[3,4]上的减函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数， ∴若 f(x)为[0,1]上的增函数，则 f(x)在[－1,0]上是减函数， 又∵f(x)是定义在 R上的以 2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期， ∴两区间上的单调性一致，所以可以得出 f(x)为[3,4]上的减函数，故充分性成立． 若 f(x)为[3,4]上的减函数，同样由函数周期性可得出 f(x)在[－1,0]上是减函数， 再由函数是偶函数可得出 f(x)为[0,1]上的增函数，故必要性成立． 综上，“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件． 7．某三棱锥的三视图如图所示，其三个视图都是直角三角形，则该三棱锥的体积为 ( ) A． 1 3 B． 2 3 C．1 D．6 解析：选 A 由已知中的三视图可得，该三棱锥的底面面积 S＝ 1 2 ×2×1＝1，高 h＝1， 故体积 V＝ 1 3 Sh＝ 1 3 . 8．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝4，|b|＝1，且 b⊥(a－xb)，则实数 x 为( ) A．4 B．2 C．1 D． 1 2 解析：选 B ∵b⊥(a－xb)，∴b·(a－xb)＝0，即 a·b－xb2＝4×1×cos 60°－x＝0， 解得 x＝2. 9．已知点 P 在直线 x＝－1 上移动，过点 P 作圆(x－2) 2 ＋(y－2) 2 ＝1 的切线，相切于 点 Q，则切线长|PQ|的最小值为( ) A．2 B．2 2 C．3 D． 10 解析：选 B 圆心(2,2)到直线 x＝－1 的距离为 d＝3＞r＝1，故直线和圆相离．故切线 长|PQ|的最小值为 9－1＝2 2. 10．(2017·太原三模)已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数，数列{bn}满足 bn ＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前 n 项和的最大值为( ) A．126 B．130 C．132 D．134 解析：选 C 设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)，由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6. 又 b3＝18，b6＝12，则 a1q 2 ＝10 18 ，a1q 5 ＝10 12 ，∴q3 ＝10 －6 ，即 q＝10 －2 ，∴a1＝10 22 .又{an}为 正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差 d＝－2，b1＝22，故 bn＝22＋(n－1)×(－2)＝ －2n＋24.∴数列{bn}的前 n 项和 Sn＝22n＋ n n－1 2 ×(－2)＝－n2 ＋23n＝－ n－ 23 2 2 ＋ 529 4 .又 n∈N*，故 n＝11 或 12 时，(Sn)max＝132. 11．设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 ＝2px(p＞0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( ) A． 3 3 B． 2 3 C． 2 2 D．1 解析：选 C 由题意可得 F p 2 ，0 ，设 P y2 0 2p ，y0 ， 显然当 y0＜0 时，kOM＜0；当 y0＞0时，kOM＞0. 要求 kOM的最大值，必须有 y0＞0， 则 OM ―→ ＝ OF ―→ ＋ FM ―→ ＝ OF ―→ ＋ 1 3 FP ―→ ＝ OF ―→ ＋ 1 3 ( OP ―→ － OF ―→ )＝ 1 3 OP ―→ ＋ 2 3 OF ―→ ＝ y2 0 6p ＋ p 3 ， y0 3 ，即 M y2 0 6p ＋ p 3 ， y0 3 ，则 kOM＝ y0 3 y2 0 6p ＋ p 3 ＝ 2 y0 p ＋ 2p y0 ≤ 2 2 y0 p · 2p y0 ＝ 2 2 ，当且仅当 y2 0＝2p2 时，等号成立．故选 C． 12．已知函数 f(x)＝ －x2 －2x＋3，x≤1， ln x，x>1， 若关于 x 的方程 f(x)＝kx－ 1 2 恰有四个不 相等的实数根，则实数 k的取值范围是( ) A． 1 2 ， e B． 1 2 ， e C． 1 2 ， e e D． 1 2 ， e e 解析：选 D ∵函数 f(x)＝ －x2－2x＋3，x≤1， ln x，x>1， 若关于 x 的方程 f(x)＝kx－ 1 2 恰有 四个不相等的实数根，则 y＝f(x)的图象和直线 y＝kx－ 1 2 有 4个交点．作 出函数 y＝f(x)的图象及直线 y＝kx－ 1 2 ，如图， 故点(1,0)在直线 y＝kx－ 1 2 的下方，∴k×1－ 1 2 ＞0，解得 k＞ 1 2 . 又当直线 y＝kx－ 1 2 和 y＝ln x 相切时，设切点横坐标为 m，则 k＝ ln m＋ 1 2 m－0 ＝ 1 m ，∴m＝ e， 此时，k＝ 1 m ＝ e e ，f(x)的图象和直线 y＝kx－ 1 2 有 3 个交点，不满足条件，故 k 的取值 范围是 1 2 ， e e . 二、填空题 13．(x＋y＋z)8 的展开式中项 x3yz4 的系数为________．(用数字作答) 解析：(x＋y＋z)8的展开式表示 8 个因式(x＋y＋z)的积，展开式中项 x3yz4即从这 8个 因式中任意选出 3 个取 x，从剩下的 5 个中任意选 4 个取 z，最后的一个取 y，即可得到含 x3yz4 的项，故 x3yz4 的系数为 C 3 8·C 4 5·C 1 1＝280. 答案：280 14．实数 x，y 满足约束条件 x－y－2≤0， x＋2y－5≥0， y－2≤0， 则 z＝ y x＋1 的取值范围为________． 解析：由约束条件作出可行域如图， 联立 x－y－2＝0， x＋2y－5＝0， 解得 A(3,1)， 联立 y＝2， x＋2y－5＝0， 解得 B(1,2)． z＝ y x＋1 的几何意义为可行域内的动点与定点 P(－1,0)连线的 斜率．∵kPA＝ 1 4 ，kPB＝1，∴z＝ y x＋1 的取值范围为 1 4 ，1 . 答案： 1 4 ，1 15．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形，单位分数是分子为 1，分 母为正整数的分数．根据前 6行的规律，写出第 7 行的第 3 个数是________． 解析：第 7行第一个数和最后一个数都是 1 7 ，第二个数 加 1 7 要等于 1 6 ，所以第二个数是 1 42 ，同理第三个数加 1 42 等于 1 30 ，则第三个数是 1 105 . 答案： 1 105 16．以抛物线 y2 ＝8x 的焦点为圆心，以双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的虚半轴长 b 为半 径的圆与该双曲线的渐近线相切，则当 4 a2 ＋ 1 b2 取得最小值时，双曲线的离心率为________． 解析：抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为 bx＋ay＝0， ∵以抛物线 y2 ＝8x 的焦点为圆心，以双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)虚半轴长 b 为半径的 圆与该双曲线的渐近线相切， ∴ 2b b2 ＋a2 ＝b，∴a2 ＋b2 ＝4， ∴ 4 a2 ＋ 1 b2 ＝ 1 4 4 a2 ＋ 1 b2 (a2 ＋b2 )＝ 1 4 5＋ 4b2 a2 ＋ a2 b2 ≥ 1 4 (5＋4)＝ 9 4 ，当且仅当 a＝ 2b 时，等号 成立，即此时 4 a2 ＋ 1 b2 取得最小值，∴c＝ 3b，∴e＝ c a ＝ 3b 2b ＝ 6 2 . 答案： 6 2 (三)函数方程 稳妥实用 函数与方程思想的含义 函数与方程思想在解题中的应用 函数的思想，就是用运 动和变化的观点，分析和研 究数学中的数量关系，建立 函数关系或构造函数，运用 函数的图象和性质去分析问 题、转化问题，从而使问题 获得解决的数学思想． 方程的思想，就是分析数学 问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构 造方程，通过解方程或方程 组，或者运用方程的性质去 分析、转化问题，使问题获 得解决的数学思想. 1 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函 数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立 问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建 立函数关系求解． 2 三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角 的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解． 3 数列的通项与前 n项和是自变量为正整数的函数，可用函 数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问 题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决． 4 解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方 程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值 域、最值来解决． 5 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要 运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 函数与方程思想在不等式中的应用 [典例] 设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立，求 x 的 取值范围． [解] 问题可以变成关于 m 的不等式： 即(x2 －1)m－(2x－1)<0 在[－2,2]上恒成立， 设 f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 则 f 2 ＝2 x2 －1 － 2x－1 <0， f －2 ＝－2 x2 －1 － 2x－1 <0， 即 2x2 －2x－1<0， 2x2 ＋2x－3>0， 解得 7－1 2 ln x2－ln x1 B．ex2－ex1x1ex2 D．x2ex1g(x2)， ∴x2ex1>x1ex2，故选 C． 2．已知定义在 R上的函数 g(x)的导函数为 g′(x)，满足 g′(x)－g(x)＜0，若函数 g(x) 的图象关于直线 x＝2 对称，且 g(4)＝1，则不等式 g x e x ＞1的解集为________． 解析：∵函数 g(x)的图象关于直线 x＝2 对称， ∴g(0)＝g(4)＝1. 设 f(x)＝ g x ex ， 则 f′(x)＝ g′ x ex－g x ex ex 2 ＝ g′ x －g x ex . 又 g′(x)－g(x)＜0，∴f′(x)＜0， ∴f(x)在 R 上单调递减． 又 f(0)＝ g 0 e0 ＝1，∴f(x)＞f(0)，∴x＜0. 答案：(－∞，0) 3．已知 f(t)＝log2t，t∈[ 2，8]，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式 x2 ＋mx＋ 4>2m＋4x 恒成立，求 x 的取值范围． 解：∵t∈[ 2，8]，∴f(t)∈ 1 2 ，3 . 原题转化为 m(x－2)＋(x－2) 2 >0 恒成立， 当 x＝2 时，不等式不成立，∴x≠2. 令 g(m)＝m(x－2)＋(x－2) 2 ，m∈ 1 2 ，3 . 问题转化为 g(m)在 m∈ 1 2 ，3 上恒大于 0， 则 g 1 2 >0， g 3 >0， 即 1 2 x－2 ＋ x－2 2>0， 3 x－2 ＋ x－2 2>0， 解得 x>2 或 x<－1. ∴x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 [典例] (1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在 0， π 2 上有解，则a的取值范围是________． [解析] 法一：把方程变形为 a＝－cos2x＋sin x， 设 f(x)＝－cos 2x＋sin x，x∈ 0， π 2 ， 显然，当且仅当 a 属于 f(x)的值域时有解． 因为 f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝ sin x＋ 1 2 2－ 5 4 ，且由 x∈ 0， π 2 知 sin x∈(0,1]， 易求得 f(x)的值域为(－1,1]，故 a 的取值范围是(－1,1]． 法二：令 t＝sin x， 由 x∈ 0， π 2 ，可得 t∈(0,1]． 将方程变为 t2 ＋t－1－a＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解， 设 f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t＝－ 1 2 ，如图所示． 因此，f(t)＝0 在(0,1]上有解等价于 f 0 <0， f 1≥ 0， 即 －1－a<0， 1－a≥0， 所以－10 恒成立， 所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3， 即当 n＝1 时，(bn)max＝ 1 6 ， 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立， 则须使 k≥(bn)max＝ 1 6 ， 所以实数 k的最小值为 1 6 . [技法领悟] 本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出 bn 的表达式，说明要求 bn≤k 恒成立时 k 的最小值，只需求 bn的最大值，从而构造函数 f(x) ＝2x＋ 1 x (x≥1)，利用函数求解． [应用体验] 7．(2017·洛阳第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列，若 a2 1＋a2 10＝101，a5＋a6＝ 11，则数列{an}的公差 d的值为( ) A．1 B．2 C．9 D．10 解析：选 A 依题意得(a1＋a10) 2 －2a1a10＝(a5＋a6) 2 －2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10 ＝10. 又 a1＋a10＝a5＋a6＝11，a10，an＋1＝ n＋1 2n an，且 bn＝ln(1＋an)＋ 1 2 a2 n，n∈N*，证明： 2 an＋2 < an bn <1. 证明：由 a1＝a>0，an＋1＝ n＋1 2n an知，an>0(n∈N * )， 故 bn>0(n∈N * )． 因为 an bn <1，所以 bn－an>0， 构造函数 f(x)＝ln(1＋x)＋ 1 2 x2 －x(x>0)， 则其导数 f′(x)＝ 1 1＋x ＋x－1＝ x2 x＋1 ， 当 x>0 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以 f(x)>f(0)＝0，即 bn－an>0， 所以 an bn <1. 因为 2 an＋2 < an bn ，所以 ln(1＋an)－an<0， 构造函数 g(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)， 则导函数 g′(x)＝ 1 1＋x －1＝ －x x＋1 ， 当 x>0 时，g′(x)<0，故 g(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故 g(x) 2 an＋2 ，所以 2 an＋2 < an bn <1. 函数与方程思想在解析几何中的应用 [典例] 已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，如图所 示，设左顶点为 A，上顶点为 B，且 OF ―→ · FB ―→ ＝ AB ―→ · BF ―→ . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过 F 的直线 l 交椭圆于 M，N两点，试确定 FM ―→ · FN ―→ 的取值范围． [解] (1)由已知，A(－a,0)，B(0，b)，F(1,0)， 则由 OF ―→ · FB ―→ ＝ AB ―→ · BF ―→ ，得 b2 －a－1＝0. ∵b2 ＝a2 －1， ∴a2 －a－2＝0， 解得 a＝2.(列出方程) ∴a2 ＝4，b2 ＝3，∴椭圆 C 的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. (2)①若直线 l 斜率不存在，则 l：x＝1， 此时 M 1， 3 2 ，N 1，－ 3 2 ， FM ―→ · FN ―→ ＝－ 9 4 . ②若直线 l斜率存在，设 l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 y＝k x－1 ， x2 4 ＋ y2 3 ＝1 消去 y得 (4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，(列出方程) ∴x1＋x2＝ 8k2 4k2＋3 ，x1x2＝ 4k2－12 4k2＋3 . ∴ FM ―→ · FN ―→ ＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) ＝(1＋k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝ －9 4－ 1 1＋k2 .(转化为函数) ∵k2 ≥0，∴0< 1 1＋k2 ≤1，∴3≤4－ 1 1＋k2 <4， ∴－3≤ FM ―→ · FN ―→ <－ 9 4 . 综上所述， FM ―→ · FN ―→ 的取值范围为 －3，－ 9 4 . [技法领悟] 本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于 a，b 的方程，求出 a，b值，再 求 FM ―→ · FN ―→ 的范围时转化为关于 k的函数，利用函数性质求解． [应用体验] 9．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线 y＝kx(k＞0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点．若 ED ―→ ＝6 DF ―→ ，则 k 的值为________． 解析：依题意得椭圆的方程为 x2 4 ＋y2 ＝1，直线 AB，EF 的方程分别为 x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)， 其中 x1＜x2，且 x1，x2满足方程(1＋4k2 )x2 ＝4，故 x2＝－x1＝ 2 1＋4k2 . 由 ED ―→ ＝6 DF ―→ 知 x0－x1＝6(x2－x0)， 得 x0＝ 1 7 (6x2＋x1)＝ 5 7 x2＝ 10 7 1＋4k2 . 由 D 在 AB 上知 x0＋2kx0＝2， 得 x0＝ 2 1＋2k . 所以 2 1＋2k ＝ 10 7 1＋4k2 ， 化简得 24k2－25k＋6＝0， 解得 k＝ 2 3 或 k＝ 3 8 . 答案： 2 3 或 3 8 10．已知直线 l：y＝k(x＋1)与抛物线 C：y2 ＝4x 交于不同的两点 A，B，问：是否存在 k，使以 AB 为直径的圆过抛物线 C的焦点 F. 解：F的坐标为(1,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)， 当 k＝0 时，l 与 C 只有一个交点不合题意，因此 k≠0. 将 y＝k(x＋1)代入 y2 ＝4x， 消去 y，得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，① 依题意，x1，x2是①的不相等的两个根， 则 Δ＝4 k2－2 2－4k4>0， ② x1＋x2＝ 2 2－k2 k2 ， x1x2＝1. 以 AB 为直径的圆过 F⇔AF⊥BF⇔kAF·kBF＝－1 ⇔ y1 x1－1 · y2 x2－1 ＝－1⇔x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0 ⇔x1x2＋k2 (x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0 ⇔(1＋k2 )x1x2＋(k2 －1)(x1＋x2)＋1＋k2 ＝0，③ 把 x1＋x2＝ 2 2－k2 k2 ，x1x2＝1 代入③得 2k2 －1＝0，解得 k＝± 2 2 ， 经检验 k＝± 2 2 适合②式，综上所述，k＝± 2 2 为所求． 函数与方程思想在立体几何中的应用 [典例] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组 成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1 ，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4倍． (1)若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由 PO1＝2知 O1O＝4PO1＝8. 因为 A1B1＝AB＝6， 所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 V 锥＝ 1 3 ·A1B 2 1·PO1＝ 1 3 ×6 2 ×2＝24(m 3 )； 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V 柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以仓库的容积 V＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m3)． (2)设 A1B1＝a m，PO1＝h m， 则 0＜h＜6，O1O＝4h.连接 O1B1. 因为在 Rt△PO1B1中， O1B 2 1＋PO2 1＝PB2 1， 所以 2a 2 2 ＋h2 ＝36， 即 a2 ＝2(36－h2 )． 于是仓库的容积 V＝V 柱＋V 锥＝a2·4h＋ 1 3 a2·h＝ 13 3 a2h＝ 26 3 (36h－h3)，0＜h＜6，(转化 为函数) 从而 V′＝ 26 3 (36－3h2 )＝26(12－h2 )． 令 V′＝0，得 h＝2 3或 h＝－2 3(舍)． 当 0＜h＜2 3时，V′＞0，V是单调增函数； 当 2 3＜h＜6 时，V′＜0，V是单调减函数． 故当 h＝2 3时，V取得极大值，也是最大值． 因此，当 PO1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． (1)本题第(2)问利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于 a，h的方程，再由 公式把体积 V 表示成关于高 h的函数，最后利用导数求解． (2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是 先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值． [技法领悟] [应用体验] 11．(2017·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为 L，过顶点的最大截面的面积为 1 2 L2， 则圆锥底面半径与母线长的比 r L 的取值范围是( ) A． 0， 1 2 B． 1 2 ，1 C． 0， 2 2 D． 2 2 ，1 解析：选 D 设圆锥的高为 h，轴截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积 S＝ 1 2 ×2r×h ＝ 1 2 L2 sin θ≤ 1 2 L2 ，sin θ≤1，当截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶 角必须大于或等于 90°，得 L>r≥Lcos 45°＝ 2 2 L，所以 2 2 ≤ r L <1. 12．(2017·福州质检)在三棱锥 ABCD 中，△ABC 为等边三角形，AB＝2 3，∠BDC＝90°， 二面角 ABCD 的大小为 150°，则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为( ) A．7π B．12π C．16π D．28π 解析：选 D 满足题意的三棱锥 ABCD 如图所示，设三棱锥 ABCD 的 外接球的球心为 O，半径为 R，△BCD，△ABC 的外接圆的圆心分别为 O1， O2，易知 O，O1，O2在同一平面内，由二面角 ABCD 的大小为 150°，易 得∠OO1O2＝150°－90°＝60°. 依题意，可得△BCD，△ABC 的外接圆的半径分别为 r1＝ BC 2 ＝ 2 3 2 ＝ 3，r2＝ 2 3 2sin 60° ＝2， 所以 R2 ＝OO2 1＋r2 1， R2 ＝OO2 2＋r2 2， sin∠OO1O2＝ OO2 OO1 ， 即 R2 ＝OO2 1＋3， R2＝OO2 2＋4， OO2＝ 3 2 OO1， 解得 R＝ 7，所以三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为 4πR2 ＝28π. 13．平面内边长为 a 的正三角形 ABC，直线 DE∥BC，交 AB，AC 于 D，E，现将△ABC 沿 DE 折成 60°的二面角，求 DE 在何位置时，折起后 A到 BC 的距离最短，最短距离是多少？ 解：如图，点 A 沿 DE 折起到 A′，过 A 作 AG⊥BC 于 G，交 DE 于 F，连接 A′F，A′G， 因为△ABC 为正三角形，又 DE∥BC，所以 AG⊥DE.又 G，F 分别为 BC，DE 的中点，所以 DE⊥平面 A′FG，BC⊥平面 A′FG， 所以∠A′FG 是二面角的平面角． 由题知∠A′FG＝60°，所以 A′G为所求， 在△A′FG 中，设 FG＝x，则 A′F＝ 3 2 a－x. 由余弦定理，得 A′G2 ＝A′F2 ＋FG2 －2A′F·FG·cos 60° ＝ 3 2 a－x 2 ＋x2 －2× 3 2 a－x ·x·cos 60° ＝3 x－ 3 4 a 2 ＋ 3 16 a2 ， 所以当 x＝ 3 4 a 时，(A′G)min＝ 3 4 a， 即 DE 恰为△ABC 中位线时，折起后 A 到 BC 的距离最短，最短距离为 3 4 a． [总结升华] (1)函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程 问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝f(x)的零点，再 如方程 f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的交点问题，也可以转化 为函数 y＝f(x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x) 的值域． (2)当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之 间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． (3)借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨 论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来 求解． (四)数形结合 直观快捷 数形结合思想的含义 数形结合思想在解题中的应用 数形结合思想，就是根据数与形之间的 对应关系，通过数与形的相互转化来解决数 学问题的思想．数形结合思想的应用包括以 下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直 观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维， 揭示数学问题的本质； (2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形 更加精确. 1 构建函数模型并结合其图象研究方程 根或函数零点的范围． 2 构建函数模型并结合其图象研究量与 量之间的大小关系、求参数的取值范 围或解不等式． 3 构建解析几何模型并应用模型的几何 意义求最值或范围. 数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 [典例] 若关于 x 的方程 |x| x＋4 ＝kx2 有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为________． [解析] 当 x＝0 时，显然是方程的一个实数解； 当 x≠0 时，方程 |x| x＋4 ＝kx2 可化为 1 k ＝(x＋4)|x|(x≠－4)， 设 f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4 且 x≠0)，y＝ 1 k ，原题可以转化为两函数有三个非零交点． 则 f(x)＝(x＋4)|x|＝ x2 ＋4x，x>0， －x2 －4x，x<0 且 x≠－4， 的大致图象如图所示， 由图，易得 0< 1 k <4， 解得 k> 1 4 . 所以 k的取值范围为 1 4 ，＋∞ . [答案] 1 4 ，＋∞ [技法领悟] 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数 零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函 数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出 两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数． [应用体验] 1．函数 f(x)＝3 －x ＋x2 －4 的零点个数是________． 解析：令 f(x)＝0，则 x2 －4＝－ 1 3 x ，分别作出函数 g(x)＝x2 －4，h(x)＝－ 1 3 x 的图象， 由图可知，显然 h(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，故函数 f(x)的零点个数为 2. 答案：2 2．(2017·成都一诊)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(－x－1)＝f(x－1)， 当 x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3 ，则关于 x 的方程 f(x)＝|cos πx|在 － 5 2 ， 1 2 上的所有实 数解之和为________． 解析：因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数 f(x) 的周期为 2. 又当 x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3 ，由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y＝f(x)与 y ＝|cos πx|的图象如图所示． 由图象知关于 x的方程 f(x)＝|cos πx|在 － 5 2 ， 1 2 上的实数解有 7个． 不妨设 x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7， 则由图得 x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0， 所以方程 f(x)＝|cos πx|在 － 5 2 ， 1 2 上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 答案：－7 数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 [典例] (2015·全国卷Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0， 当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) [解析] 选 A 设 y＝g(x)＝ f x x (x≠0)， 则 g′(x)＝ xf′ x －f x x2 ， 当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数， ∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示． 当 x>0 时，由 f(x)>0，得 g(x)>0，由图知 00，得 g(x)<0，由图知 x<－1， ∴使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． [技法领悟] (1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合 f(－1)＝0 可作出函 数的图象，利用图象即可求出 x 的取值范围． (2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适 当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题， 往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答． [应用体验] 3．设 A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使 A⊆B 成立的实数 m的取值范围是________． 解析：集合 A是一个圆 x2 ＋(y－1) 2 ＝1 上的点的集合，集合 B 是一个不 等式 x＋y＋m≥0 表示的平面区域内的点的集合，要使 A⊆B，则应使圆被平 面区域所包含(如图)，如直线 x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)， 而当直线与圆相切时有 |m＋1| 2 ＝1，又 m＞0，所以 m＝ 2－1，故 m 的取值 范围是[ 2－1，＋∞)． 答案：[ 2－1，＋∞) 4．若不等式|x－2a|≥ 1 2 x＋a－1 对 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是________． 解析：作出 y＝|x－2a|和 y＝ 1 2 x＋a－1 的简图，依题意知应 有 2a≤2－2a，故 a≤ 1 2 . 答案： －∞， 1 2 数形结合思想在解析几何中的应用 [典例] (2017·成都二诊)设双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为 直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( ) A． 2 B． 3 C．2 D． 5 [解析] 选 D 如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点 为 Q，连接 OQ，则 OQ⊥PF2.又 PF1⊥PF2，O 为 F1F2的中点，所以|PF1| ＝2|OQ|＝2A．又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4A．在 Rt△F1PF2中， |PF1| 2 ＋|PF2| 2 ＝|F1F2| 2 ⇒4a2 ＋16a2 ＝20a2 ＝4c2 ⇒e＝ c a ＝ 5. [技法领悟] (1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用 图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供 方便． (2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有： ①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考 虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离． [应用体验] 5．已知圆 C：(x－3) 2 ＋(y－4) 2 ＝1 和两点 A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆 C 上存在 点 P，使得 ∠APB＝90°，则 m 的最大值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C的坐标为(3,4)，半径 r＝1， 且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接 OP，易知|OP|＝ 1 2 |AB|＝m. 要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为|OC|＝ 3 2 ＋4 2 ＝5， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6. 6．已知 P 是直线 l：3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA，PB 是圆 x2 ＋y2 －2x－2y＋1＝0的两 条切线，A，B 是切点，C是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为________． 解析：由题意知圆的圆心 C(1,1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x＋4y＋8＝0 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的 面积 S△PAC＝ 1 2 ·|PA|·|AC|＝ 1 2 |PA|越来越大，从而 S 四边形 PACB也越来越 大；当点 P从左上、右下两个方向向中间运动，S 四边形PACB变小，显然， 当点 P到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l时，S 四边形 PACB应有 唯一的最小值，此时|PC|＝ |3×1＋4×1＋8| 3 2 ＋4 2 ＝3，从而|PA|＝ |PC|2－|AC|2 ＝2 2，所以(S 四边形 PACB)min＝2× 1 2 ×|PA|×|AC|＝2 2. 答案：2 2 7．已知抛物线的方程为 x2 ＝8y，F 是其焦点，点 A(－2,4)，在此抛物线上求一点 P， 使△APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为________． 解析：因为(－2)2<8×4，所以点 A(－2,4)在抛物线 x2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为 l， 过点 P作 PQ⊥l于点 Q，过点 A 作 AB⊥l 于点 B，连接 AQ， 由抛物线的定义可知△APF 的周长为 |PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|， 当且仅当 P，B，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|. 因为 A(－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(－2，y0)， 代入 x2 ＝8y，得 y0＝ 1 2 ， 故使△APF 的周长最小的点 P的坐标为 －2， 1 2 . 答案： －2， 1 2 [总结升华] 运用数形结合思想分析解决问题的 3 个原则 (1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有 时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明． (2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成， 仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． (3)简单性原则 找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过 程，则取决于哪种方法更为简单． (五)分类讨论 化繁为简 分类讨论思想的含义 分类讨论思想在解题中的应用 分类讨论的思想是将一 个较复杂的数学问题分解 (或分割)成若干个基础性问 题，通过对基础性问题的解 答来实现解决原问题的思想 1 由数学概念、法则、公式的限制而引起的分类讨 论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数 的定义、直线的倾斜角、等差、等比数列{an}的前 n项和公式等． 2 由数学运算、性质要求而引起的分类讨论：如除 策略．对问题实行分类与整 合，分类标准等于增加一个 已知条件，实现了有效增设， 将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问 题)，优化了解题思路，降低 了问题难度. 法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数 运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要 求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角 函数的定义域，函数的单调性，基本不等式等． 3 由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参 数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结 果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的 求解或证明方法等． 4 由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函 数图象、指数函数图象、对数函数图象等. 由概念、法则、公式引起的分类讨论 [典例] (2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝ 7 4 ， S6＝ 63 4 ，则 a8＝________. [ 解 析 ] 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 则 由 S6≠2S3 ， 得 q≠1 ， 则 S3＝ a1 1－q3 1－q ＝ 7 4 ， S6＝ a1 1－q6 1－q ＝ 63 4 ， 解得 q＝2， a1＝ 1 4 ， 则 a8＝a1q 7 ＝ 1 4 ×2 7 ＝32. [答案] 32 [技法领悟] 本题易忽略对 q＝1 的讨论，而直接由 a1 1－qn 1－q >0，得 q 的范围，这种解答是不完备 的．本题根据等比数列前 n 项和公式的使用就要分 q＝1，Sn＝na1和 q≠1，Sn＝ a1 1－qn 1－q 进 行讨论． [应用体验] 1．一条直线过点(5,2)，且在 x 轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A．x＋y－7＝0 B．2x－5y＝0 C．x＋y－7＝0或 2x－5y＝0 D．x＋y＋7＝0或 2y－5x＝0 解析：选 C 设该直线在 x轴，y 轴上的截距均为 a，当 a＝0时，直线过原点，此时直 线方程为 y＝ 2 5 x，即 2x－5y＝0；当 a≠0 时，设直线方程为 x a ＋ y a ＝1，则求得 a＝7，直线方 程为 x＋y－7＝0. 2．若函数 f(x)＝ax (a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x) ＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________. 解析：若 a>1，有 a2 ＝4，a－1 ＝m，此时 a＝2，m＝ 1 2 ，此时 g(x)＝－ x为减函数，不合 题意，若 00，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a＋b＝________. 解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得 a－1＋b＝－1， a0 ＋b＝0 无解．当 00 两种情况． (2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论， 此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑 适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏． [应用体验] 5．(2017·山东高考)设 f(x)＝ x，0＜x＜1， 2 x－1 ，x≥1. 若 f(a)＝f(a＋1)，则 f 1 a ＝ ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选 C 当 0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝ a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a) ＝f(a＋1)，∴ a＝2a， 解得 a＝ 1 4 或 a＝0(舍去)． ∴f 1 a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 当 a≥1 时，a＋1≥2， ∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，无解． 综上，f 1 a ＝6. 6．设函数 f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在 x0∈R，使得 f(x0)<0 和 g(x0)<0 同时成立，则实数 a的取值范围为( ) A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞) 解析：选 A 由 f(x)＝x2－ax＋a＋3，知 f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在 x0∈R，使得 f(x0)<0，所以Δ＝a2 －4(a＋3)>0，解得 a<－2 或 a>6.又 g(x)＝ax－2a 的图象恒过(2,0)， 故当 a>6 时，作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图 1 所示，当 a<－2 时，作出函数 f(x)和 g(x) 的图象如图 2 所示． 由函数的图象知，当 a>6 时，若 g(x0)<0，则 x0<2， ∴要使 f(x0)<0，则需 a>6， f 2 <0， 解得 a>7. 当 a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2 －ax＋a＋3的图象的对称轴x＝ a 2 <0， 故函数 f(x)在区间 a 2 ，＋∞ 上为增函数， 又 f(1)＝4，∴f(x0)<0 不成立． 综上，实数 a 的取值范围为(7，＋∞). 根据图形位置或形状分类讨论 [典例] 设 F1，F2为椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知 P，F1，F2是一 个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求 |PF1| |PF2| 的值． [解] ①若∠PF2F1＝90°. 则|PF1| 2 ＝|PF2| 2 ＋|F1F2| 2 ， 又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5， 解得|PF1|＝ 14 3 ，|PF2|＝ 4 3 ，∴ |PF1| |PF2| ＝ 7 2 . ②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2| 2 ＝|PF1| 2 ＋|PF2| 2 ， ∴|PF1| 2 ＋(6－|PF1|) 2 ＝20， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴ |PF1| |PF2| ＝2. 综上知， |PF1| |PF2| ＝ 7 2 或 2. [技法领悟] (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)破解此类题的关键点： ①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定． ②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类． ③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理． [应用体验] 7．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为( ) A． 8 3 3 B．4 3 C． 2 3 9 D．4 3或 8 3 3 解析：选 D 当矩形长、宽分别为 6 和 4时，体积 V＝2× 3× 1 2 ×4＝4 3；当长、宽分 别为 4和 6时，体积 V＝ 4 3 × 2 3 3 × 1 2 ×6＝ 8 3 3 . 8．过双曲线 x2 － y2 2 ＝1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|＝4，则这样 的直线 l 有( ) A．1 条 B．2条 C．3 条 D．4条 解析：选 C 因为双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4，所以当直线 l 与双曲线 左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求； 当直线 l 与实轴垂直时，有 3－ y2 2 ＝1，解得 y＝2 或 y＝－2， 所以此时直线 AB 的长度是 4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为 4 的直线仅 有一条． 综上，可知有 3条直线满足|AB|＝4. 9．已知变量 x，y 满足的不等式组 x≥0， y≥2x， kx－y＋1≥0 表示的是一个直角三角形围成的平 面区域，则实数 k＝( ) A．－ 1 2 B． 1 2 C．0 D．0 或－ 1 2 解析：选 D 不等式组 x≥0， y≥2x， kx－y＋1≥0 表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知， 若要使不等式组 x≥0， y≥2x， kx－y＋1≥0， 表示的平面区域是直角三角形，只有当直线 y＝kx＋1 与直线 x＝0 或 y＝2x 垂直时才满足． 结合图形可知斜率 k的值为 0或－ 1 2 . [总结升华] 1．分类讨论的原则 (1)不重不漏； (2)标准要统一，层次要分明； (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2．分类讨论的本质与思维流程 (1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”． (2)分类讨论的思维流程： 明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是 否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)． (六)转化化归 峰回路转 转化与化归思想的含义 转化与化归思想在解题中的应用 转化与化归思想方法，就 是在研究和解决有关数学问题 时采用某种手段将问题通过变 换使之转化，进而解决问题的 一种方法．一般总是将复杂的 1 在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与 化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问 题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三 用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转 化等． 问题通过变换转化为简单的问 题，将难解的问题通过变换转 化为易解的问题，将未解决的 问题通过变换转化为已解决的 问题. 2 将一些复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简 单的或熟悉的函数、方程、不等式问题求解． 3 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等 知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、 平面几何、解析几何语言进行转化． 4 在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或 等比数列求解． 5 在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极 值(最值)、切线问题，转化为其导函数 f′(x)构成的 方程、不等式问题求解． 6 在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之 间进行转化. 数与形的相互转化 [典例] 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的 正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材 料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( ) A． 8 9π B． 8 27π C． 24 2－1 3 π D． 8 2－1 3 π [解析] 选 A 由三视图知该几何体是一个底面半径为 r＝1，母线长为 l＝3 的圆锥，则圆锥的高为 h＝ l2 －r2 ＝ 3 2 －1 2 ＝2 2. 由题意知加工成的体积最大的正方体 ABCDA1B1C1D1的一个底面 A1B1C1D1在圆 锥的底面上，过平面 AA1C1C 的轴截面如图所示． 设正方体的棱长为 x， 则有 2 2 x r ＝ h－x h ，即 x 2 ＝ 2 2－x 2 2 ，解得 x＝ 2 2 3 ， (平面转化很重要，这是由形到数的关键所在) 则原工件的材料利用率为 V 正方体 V 圆锥 ＝ x3 1 3 πr2h ＝ 8 9π . [技法领悟] (1)数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息 转换为图形信息；由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特 征，从而得解． (2)破解此类题的关键点： ①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系． ②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解． ③回归结论，回归原命题，得出正确结论． [应用体验] 1．已知 D 是由不等式组 x－y≥0， x＋y≥0 所确定的平面区域，则圆 x2 ＋y2 ＝9 在区域 D 内 的弧长为( ) A． 3π 4 B． π 2 C．π D． 3π 2 解析：选 D 图中阴影部分内的圆弧长即为所求，易知图中两直线 的斜率分别是 1，－1，设α为两直线的夹角，所以α＝ π 2 ，而圆的半径 是 3，所以弧长是 π 2 ×3＝ 3π 2 . 2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足 PA ―→ ＝－2 PM ―→ ，则 PA ―→ ·( PB ―→ ＋ PC ―→ )＝________. 解析：如图所示，∵AM＝1，点 P在 AM 上，且满足 PA ―→ ＝－2 PM ―→ ， ∴| PM ―→ |＝ 1 3 | AM ―→ |＝ 1 3 . ∵M 是 BC 的中点，∴ PB ―→ ＋ PC ―→ ＝2 PM ―→ ， ∴ PA ―→ ·( PB ―→ ＋ PC ―→ )＝－2 PM ―→ ·2 PM ―→ ＝－4 PM ―→2＝－4× 1 3 2＝－ 4 9 . 答案：－ 4 9 3．(2017·昆明质检)表面积为 16π的球面上有四个点 P，A，B，C，且△ABC 是边长为 2 3的等边三角形，若平面 PAB⊥平面 ABC，则棱锥 PABC 体积的最大值为________． 解析：设球心为 O，半径为 R， 则 4πR2＝16π，解得 R＝2. 又由正弦定理，得△ABC 外接圆直径 2r＝ a sin A ＝ 2 3 sin 60° ＝4，则 r＝ 2， 所以△ABC 外接圆的圆心即是球心，如图所示． 因为平面 PAB⊥平面 ABC， 所以点 P 在平面 ABC 上的射影 D 落在 AB 上， 所以 PD⊥平面 ABC． 易知当 D 为 AB 的中点时，PD 的值最大，即所求三棱锥的体积最大． 因为△ABC 是边长为 2 3的等边三角形， 所以 AB＝2 3，CD＝3，OD＝1，PD＝ OP2 －OD2 ＝ 3， 又 S△ABC＝ 3 4 ×(2 3)2＝3 3， 所以 VPABC＝ 1 3 ×3 3× 3＝3. 答案：3 一般与特殊的相互转化 [典例] 已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1,1]上的最小值为－3，则实数 a 的取值 范围是( ) A．(－∞，－1] B．[12，＋∞) C．[－1,12] D． － 3 2 ，12 [解析] 选 D 当 a＝0时，函数 f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除 A、 B； (注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0,1 往往是首选．) 当 a＝－ 3 2 时，函数 f(x)＝ 3 2 x3 － 9 2 x， f′(x)＝ 9 2 x2 － 9 2 ＝ 9 2 (x2 －1)， 当－1≤x≤1 时，f′(x)≤0， 所以 f(x)在[－1,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝ 3 2 － 9 2 ＝－3，满足条件，故排除 C． 综上，选 D. [技法领悟] (1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将 某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答． (2)破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象． ②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化 为一般问题时，寻找“一般元素”． ③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新 的需要解决的问题． ④得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论． [应用体验] 4．如果 a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，那么( ) A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4＋a5 D．a1a8＝a4a5 解析：选 B 取特殊数列 1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有 1×8<4×5 成立，即 a1a80”是真命题，可得 m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞， 1)为同一区间，故 a＝1. 7．若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]内至少存在一个值 c， 使得 f(c)＞0，则实数 p的取值范围为________． 解 析 ： 如 果 在 [ － 1,1] 内 没 有 值 满 足 f(c) ＞ 0 ， 则 f －1≤ 0， f 1≤ 0 ⇒ p≤－ 1 2 或 p≥1， p≤－3 或 p≥ 3 2 ⇒p≤－3或 p≥ 3 2 ，取补集为－3＜p＜ 3 2 ，即为满足条件的 p的取值范 围． 故实数 p 的取值范围为 －3， 3 2 . 答案： －3， 3 2 主与次的相互转化 [典例] 已知函数 f(x)＝x3 ＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中 f′(x)是 f(x)的导 函数．对满足－1≤a≤1的一切 a的值，都有 g(x)<0，则实数 x 的取值范围为________． [解析] 由题意，知 g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2 －5(－1≤a≤1)．(主次转化) 对－1≤a≤1，恒有 g(x)<0，即φ(a)<0， ∴ φ 1 <0， φ －1 <0， 即 3x2 －x－2<0， 3x2＋x－8<0， 解得－ 2 3 4x＋p－3 成立的 x 的取值范围是 ________． 解析：设 f(p)＝(x－1)p＋x2 －4x＋3， 则当 x＝1 时，f(p)＝0. 所以 x≠1. f(p)在 0≤p≤4上恒为正，等价于 f 0 >0， f 4 >0， 即 x－3 x－1 >0， x2 －1>0， 解得 x>3 或 x<－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．设 y＝(log2x) 2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t∈[－2,2]时，y 恒取正值，则 x 的取值范 围是________． 解析：设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x) 2 －2log2x＋1，则 f(t)是一次函数，当 t∈[－ 2,2]时，f(t)＞0 恒成立，则 f －2 ＞0， f 2 ＞0， 即 log2x 2－4log2x＋3＞0， log2x 2 －1＞0， 解得 log2x＜－1或 log2x＞3. 即 0＜x＜ 1 2 或 x＞8， 故 x 的取值范围是 0， 1 2 ∪(8，＋∞). 答案： 0， 1 2 ∪(8，＋∞) 形体位置关系的相互转化 [典例] 如图所示，已知三棱锥 PABC，PA＝BC＝2 34，PB＝AC ＝10，PC＝AB＝2 41，则三棱锥 PABC 的体积为( ) A．40 B．80 C．160 D．240 [解析] 选 C 因为三棱锥 PABC 的三组对边两两相等，则可将此 三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥 PABC 补成一个 长方体 AEBGFPDC， 易知三棱锥 PABC 的各边分别是此长方体的面对角线． 不妨令 PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得 x2 ＋y2 ＝100， x2＋z2＝136， y2 ＋z2 ＝164 ⇒ x＝6， y＝8， z＝10. 从 而 知 VPABC ＝ VAEBGFPDC － VPAEB － VCABG － VBPDG － VAFPC ＝ VAEBGFPDC － 4VPAEB ＝ 6×8×10 － 4× 1 6 ×6×8×10＝160. [技法领悟] (1)形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及 平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中 的判定定理、性质定理实现位置关系的转化． (2)破解此类题的关键点： ①分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象． ②位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常 见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行 必要分析，准确理解新的几何体的特征． ③得出结论，在新的几何结构中解决目标问题． [应用体验] 10.如图，在棱长为 5 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，EF 是棱 AB 上的 一条线段，且 EF＝2，点 Q是 A1D1的中点，点 P是棱 C1D1上的动点，则 四面体 PQEF 的体积( ) A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值 C．是变量且有最大值和最小值 D．是常数 解析：选 D 点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由 C1D1∥EF，可得 棱 C1D1∥平面 EFQ，所以点 P到平面 EFQ 的距离是常数，于是可得四面体 PQEF 的体积为常数． [总结升华] 1．转化与化归的原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验 来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反 面去探讨，使问题获解． 2．转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法． 转化与化归思想是一切数学思想方法的核心． [考前热身训练] 3 个大题 17、18、19 保分练 3 个大题(17、18、19)保分练(一) (限时：35 分钟 满分：36 分) 17．已知数列{an}的前 n项和 Sn满足 an＝1－2Sn. (1)求证：数列{an}为等比数列； (2)设函数 f(x)＝log 1 3 x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，求 Tn＝ 1 b1 ＋ 1 b2 ＋ 1 b3 ＋…＋ 1 bn . 解：(1)证明：∵数列{an}的前 n 项和 Sn满足 an＝1－2Sn.∴a1＝1－2a1，解得 a1＝ 1 3 . n≥2 时，an－1＝1－2Sn－1，可得 an－an－1＝－2an. ∴an＝ 1 3 an－1. ∴数列{an}是首项和公比均为 1 3 的等比数列． (2)由(1)可知 an＝ 1 3 n ，则 f(an)＝log 1 3 an＝n. ∴bn＝1＋2＋…＋n＝ n n＋1 2 . ∴ 1 bn ＝2 1 n － 1 n＋1 . ∴Tn＝ 1 b1 ＋ 1 b2 ＋ 1 b3 ＋…＋ 1 bn ＝2 1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝2 1－ 1 n＋1 ＝ 2n n＋1 . 18.(2017·沈阳模拟)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1 ＝1，E为 D1C1的中点，如图所示． (1)在所给图中画出平面 ABD1与平面 B1EC 的交线(不必说明理由)； (2)证明：BD1∥平面 B1EC； (3)求平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)连接 BC1交 B1C 于 M，连接 ME，则直线 ME 即为平面 ABD1 与平面 B1EC 的交线，如图所示． (2)证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，于 是以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示． 因为 AD＝AB＝2，AA1＝1，所以 D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)， C(0,2,0)，E(0,1,1)． 所以 BD1 ―→ ＝(－2，－2,1)， CB1 ―→ ＝(2,0,1)， CE ―→ ＝(0，－1,1)， 设平面 B1EC 的法向量为 m＝(x，y，z)， 则 CB1 ―→ ·m＝0， CE ―→ ·m＝0， 即 2x＋z＝0， y＝z， 不妨令 x＝－1， 得到平面 B1EC 的一个法向量为 m＝(－1,2,2)， 而 BD1 ―→ ·m＝2－4＋2＝0，所以 BD1 ―→ ⊥m. 又因为 BD1⊄ 平面 B1EC， 所以 BD1 ―→ ∥平面 B1EC．所以 BD1∥平面 B1EC． (3)由(2)知 BA ―→ ＝(0，－2,0)， BD1 ―→ ＝(－2，－2,1)， 设平面 ABD1的法向量为 n＝(x1，y1，z1)， 则 BA ―→ ·n＝0， BD1 ―→ ·n＝0， 即 －2y1＝0， －2x1－2y1＋z1＝0， 不妨令 x1＝1， 得到平面 ABD1的一个法向量为 n＝(1,0,2)， 因为 cos〈m，n〉＝ m·n |m|·|n| ＝ －1＋4 9× 5 ＝ 5 5 ， 所以平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值为 5 5 . 19．某单位共有 10 名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪(万元) 4 4.5 6 5 6.5 7.5 8 8.5 9 51 (1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； (2)从该单位中任选 2人，此 2 人中年薪收入高于 7 万的人数记为ξ，求ξ的分布列和 期望； (3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分 别为 4万元，5.5 万元，6 万元，8.5 万元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 中系数计算公式分别为： b ^ ＝错误!，a ^ ＝ y －b ^ x ，其中 x ， y 为样本均值． 解：(1)所求年薪的平均值为 1 10 (4＋4.5＋6＋5＋6.5＋7.5＋8＋8.5＋9＋51)＝11 万元， 中位数为 6.5＋7.5 2 ＝7 万元． (2)10 名员工中年薪高于 7 万的有 5 人，低于或等于 7 万的有 5 人，ξ的可能取值为 0,1,2. P(ξ＝0)＝ C 2 5 C 2 10 ＝ 2 9 ，P(ξ＝1)＝ C 1 5C 1 5 C 2 10 ＝ 5 9 ，P(ξ＝2)＝ C 2 5 C 2 10 ＝ 2 9 ，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 2 9 5 9 2 9 数学期望为 E(ξ)＝0× 2 9 ＋1× 5 9 ＋2× 2 9 ＝1. (3)设 xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则 x ＝2.5， y ＝6，错误!(xi － x ) 2 ＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5， 错误!(xi－ x )(yi－ y )＝－(1.5)×(－2)＋(－0.5)×(－0.5)＋0.5×0＋1.5×2.5＝ 7， b ^ ＝错误!＝ 7 5 ＝1.4， a ^ ＝ y －b ^ x ＝6－1.4×2.5＝2.5， 则线性回归方程为 y＝1.4x＋2.5.当 x＝5 时，y＝1.4×5＋2.5＝9.5， 即预测该员工第 5 年的年薪收入为 9.5 万元． 3 个大题(17、18、19)保分练(二) (限时：35 分钟 满分：36 分) 17．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＋ 1 a ＝4cos C，b＝1. (1)若 A＝90°，求△ABC 的面积； (2)若△ABC 的面积为 3 2 ，求 a，C． 解：(1)∵b＝1，∴a＋ 1 a ＝4cos C＝4× a2 ＋b2 －c2 2ab ＝ 2 a2 ＋1－c2 a ， ∴2c2 ＝a2 ＋1. 又 A＝90°，∴a2 ＝b2 ＋c2 ＝c2 ＋1， ∴2c2 ＝a2 ＋1＝c2 ＋2，∴c＝ 2，a＝ 3， ∴S△ABC＝ 1 2 bcsin A＝ 1 2 bc＝ 1 2 ×1× 2＝ 2 2 . (2)∵S△ABC＝ 1 2 absin C＝ 1 2 asin C＝ 3 2 ，∴sin C＝ 3 a ， ∵a＋ 1 a ＝4cos C，sin C＝ 3 a ， ∴ 1 4 a＋ 1 a 2＋ 3 a 2＝1，化简得(a2－7)2＝0， ∴a＝ 7， 又∵a＋ 1 a ＝4cos C，∴cos C＝ 2 7 7 . 由余弦定理得 c2 ＝a2 ＋b2 －2ab·cos C ＝7＋1－2× 7×1× 2 7 7 ＝4，从而 c＝2. 18．(2018 届高三·湘中名校联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用 的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5期付款，其利润为 300 元．η表示经销一件该商品的利润． (1)求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1位采用 1期付款”的概率 P(A)； (2)求η的分布列及数学期望 E(η)． 解：(1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”， 可得 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中，无人采用 1 期付款”． 又 P( A )＝(1－0.4) 3 ＝0.216， 故 P(A)＝1－P( A )＝1－0.216＝0.784. (2)η的可能取值为 200,250,300. P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.2. 所以η的分布列为 η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)． 19.(本小题满分 12 分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面 体称之为鳖臑．如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，且 PD ＝CD，过棱 PC 的中点 E，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE. (1)证明：PB⊥平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写 出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由． (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 ，求 DC BC 的值． 解：(1)证明：如图，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x， y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设 PD＝DC＝1，BC＝λ(λ ＞0)，则 D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(λ，1,0)，C(0,1,0)， PB ―→ ＝(λ， 1，－1)，因为点 E 是棱 PC 的中点， 所以 E 0， 1 2 ， 1 2 ， DE ―→ ＝ 0， 1 2 ， 1 2 ， 于是 PB ―→ · DE ―→ ＝0，所以 PB⊥DE. 又已知 EF⊥PB，而 DE∩EF＝E，所以 PB⊥平面 DEF. 因为 PC ―→ ＝(0,1，－1)，所以 DE ―→ · PC ―→ ＝0，所以 DE⊥PC， 而 PB∩PC＝P，所以 DE⊥平面 PBC． 由 DE⊥平面 PBC，PB⊥平面 DEF， 可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB. (2)由 PD⊥平面 ABCD， 所以 DP ―→ ＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量． 由(1)知，PB⊥平面 DEF， 所以 BP ―→ ＝(－λ，－1,1)是平面 DEF 的一个法向量． 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 ， 则 cos π 3 ＝ | BP ―→ · DP ―→ | | BP ―→ || DP ―→ | ＝| 1 λ2 ＋2|＝1 2 ， 结合λ＞0，解得λ＝ 2，所以 DC BC ＝ 1 λ ＝ 2 2 . 故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 π 3 时， DC BC ＝ 2 2 . 3 个大题(17、18、19)保分练(三) (限时：35 分钟 满分：36 分) 17．已知递增的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a6＝64，且 a4，a5的等差中项为 3a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ n a2n－1 ，求数列{bn}的前 n项和 Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q>0)， 由题意，得 a1q 5 ＝64， a1q 3＋a1q 4＝6a1q 2， 解得 a1＝2， q＝2 或 q＝－3 舍 ， 所以 an＝2n. (2)因为 bn＝ n a2n－1 ＝ n 2 2n－1 ， 所以 Tn＝ 1 2 ＋ 2 2 3 ＋ 3 2 5 ＋ 4 2 7 ＋…＋ n 2 2n－1 ， 1 4 Tn＝ 1 2 3 ＋ 2 2 5 ＋ 3 2 7 ＋…＋ n－1 2 2n－1 ＋ n 2 2n＋1 ， 所以 3 4 Tn＝ 1 2 ＋ 1 2 3 ＋ 1 2 5 ＋ 1 2 7 ＋…＋ 1 2 2n－1 － n 2 2n＋1 ＝ 1 2 1－ 1 4 n 1－ 1 4 － n 2 2n＋1 ＝ 2 3 － 4＋3n 3×2 2n＋1 ， 故 Tn＝ 8 9 － 4＋3n 9×2 2n－1 . 18．(2018 届高三·湘中名校联考)如图，在底面为直角梯 形的四棱锥 PABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC 与 BD 相交于 点 E，PA⊥平面 ABCD，PA＝4，AD＝2，AB＝2 3，BC＝6. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)求二面角 APCD 的余弦值． 解：(1)证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴BD⊥PA． 又 tan∠ABD＝ AD AB ＝ 3 3 ，tan∠BAC＝ BC AB ＝ 3. ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC． 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC． (2)以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，B(2 3，0,0)，C(2 3，6,0)，D(0，2,0)， P(0,0,4)， CD ―→ ＝(－2 3，－4,0)， PD ―→ ＝(0,2，－4)， BD ―→ ＝ (－2 3，2,0)， 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y,1)， 则 n· CD ―→ ＝0， n· PD ―→ ＝0， 即 －2 3x－4y＝0， 2y－4＝0， 解得 x＝－ 4 3 3 ， y＝2， ∴n＝ － 4 3 3 ，2，1 . 由(1)知平面 PAC 的一个法向量为 m＝ BD ―→ ＝(－2 3，2,0)， ∴cos〈m，n〉＝ m·n |m|·|n| ＝ 3 93 31 ， 由图知，二面角 APCD 为锐角， ∴二面角 APCD 的余弦值为 3 93 31 . 19．(2017·安徽二校联考)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2017 年 “618”期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出 200 次成功交易并对其评价进行 统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交 易为 80 次． (1)请完成关于商品和服务评价的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ 关于商品和服务评价的 2×2 列联表： 对服务好评 对服务不满意 总计 对商品好评 80 对商品不满意 10 总计 200 (2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全为 好评的次数为随机变量 X. ①求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列； ②求 X的数学期望和方差． 附：K2 ＝ n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d ，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2 ≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的 2×2列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 总计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 总计 150 50 200 K2 ＝ 200× 80×10－40×70 2 150×50×120×80 ≈11.111＞10.828，故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关． (2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为 2 5 ，且 X 取值可以是 0,1,2,3. P(X＝0)＝ 3 5 3 ＝ 27 125 ； P(X＝1)＝C 1 3 2 5 3 5 2 ＝ 54 125 ； P(X＝2)＝C 2 3 2 5 2 3 5 ＝ 36 125 ； P(X＝3)＝ 2 5 3 ＝ 8 125 . 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ②由于 X～B 3， 2 5 ，则 E(X)＝3× 2 5 ＝ 6 5 ，D(X)＝3× 2 5 × 1－ 2 5 ＝ 18 25 .