江苏省扬州中学2020届高三下学期6月阶段性检测 数学

江苏省扬州中学2020届高三下学期6月阶段性检测 数学

‎2020届扬州中学6月月考数学卷 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分） 2020.6‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．集合，若，则 ▲ ．‎ ‎2．已知复数，其中是虚数单位，则▲.‎ ‎3．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ▲ ． ‎ ‎4． 根据如图所示的伪代码，当输出y的值为时，则输入的的值为 ▲ ． ‎ ‎5．某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ． ‎ ‎6．设x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 ▲ ．‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为 ▲ ．‎ ‎8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的顶点到其渐近线的距离为 ▲ ．‎ ‎9．在等比数列中，若，，则 ▲ ．‎ ‎10．各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的 值为 ▲ ．‎ ‎11．如图，已知点是曲线上 ‎ 一个动点， 则的最小值是 ▲ ．‎ ‎12．已知函数，若在R上有两个不同的零点，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．已知正数a，b满足，则的最小值等于 ▲ ．‎ ‎14. 已知函数是定义域为上的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是▲ . ‎ ‎[二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，过的平面 分别与，交于点，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：∥．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，，.‎ ‎（1）求及的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ 如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西向渠宽m（从拐角处，即图中处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．‎ ‎（1）在水平面内，过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；‎ ‎（2）若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆．‎ ⑴ 圆的面积为，求点的坐标；‎ ‎⑵当圆与直线相切时，求圆的方程；‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 在数列中，，其中．‎ ⑴ 证明：数列为等差数列，并求出通项公式；‎ ⑵ 设，数列的前项和为，求；‎ ⑶ 已知当且时，，其中，求满足等式的所有的值之和．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数，，‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）若（其中），证明：；‎ ‎（3）是否存在实数a，使得在区间内恒成立，且关于x的方程在内有唯一解？请说明理由.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21． （本小题满分10分）‎ 设点在矩阵对应变换作用下得到点．‎ ‎（1）求矩阵的逆矩阵；‎ ‎（2）若曲线C在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线C的 方程．‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎ （1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎ （2）设为上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值.‎ ‎23．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．‎ ‎（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小；‎ ‎（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，‎ 求线段BP的长度．‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 设二项展开式的整数部分为，小数部分为.‎ ‎（1）计算的值；‎ ‎（2）求.‎ 数学答案Ⅰ 一、填空题：‎ ‎1． 0． 2． ． 3． 4． 5． ‎ ‎ 6．11 7． 8． 9. 4 10． ‎ ‎11．． 12. 13． 14. ‎ 二、解答题：‎ ‎15．证：（1）因为平面，平面，所以． ‎ 因为底面是矩形，所以． ‎ 因为，平面，所以平面． ‎ 因为平面，所以平面平面． ‎ ‎（2）底面是矩形，所以∥， ‎ 因为平面，平面，所以∥平面．‎ 因为平面，平面平面，所以∥． ‎ ‎16. 解：（1）∵，∴. ‎ ‎∵，∴. ‎ 由题意可知，. ‎ ‎∴.∵. ‎ ‎∴. ‎ ‎（2）∵，，∴，∴.‎ ‎∴. ‎ ‎ ‎ ‎17．（1）由题意，，， ‎ 所以，即（）． ‎ ‎（2）设，．‎ 由，‎ 令，得． ‎ 且当，；当，，‎ 所以，在上单调递减；在上单调递增，‎ 所以，当时，取得极小值，即为最小值． ‎ 当时，，，‎ 所以的最小值为，‎ 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m． ‎ 因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． ‎ ‎18．解 ⑴易得，，，设，‎ 则，‎ ‎∴， ‎ 又圆的面积为，∴，解得， ∴或，‎ ‎⑵∵直线的方程为，且到直线的距离为， 化简得，联立方程组，解得或． 当时，可得， ‎ ‎∴ 圆的方程为；当时，可得， ‎ ‎∴ 圆的方程为；‎ ‎19．⑴证明： ‎ ‎∴数列为等差数列 ，又 ‎ ‎⑵因为＝，‎ 所以＝． ①‎ ‎＝． ②‎ ‎①－②，得＝－． ‎ 故＝－＝8－－＝8－．‎ ‎⑶由⑵得等式 可化为 即 ‎ ‎∴‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴ … ‎ ‎∴‎ ‎∴当时， ‎ 当时，经验算时等号成立 ‎∴满足等式的所有 ‎ 其和为5.‎ ‎20．解（1）由已知得：‎ ‎ 当时，，在上递增；‎ ‎ 当时，令得 ‎ 当时，，递增；‎ ‎ 当时，，递减；‎ 综上： 当时， 的递增区间为；‎ ‎ 当时，的递增区间为，‎ ‎ 的递减区间为.‎ ‎（2）‎ 在递增，递减，且 又当时，；当时，‎ ‎，‎ 要证：成立，只需证：‎ 在递增，故只需证：‎ 即证：‎ 令，只需证：，即证：‎ 令，，.证毕 ‎（3）令 ‎，且需在区间内恒成立 ‎，可得 事实上，当时，，下证：‎ 法一：，‎ 令，则在单调递减，‎ 由于，，‎ 存在使在单调递增，单调递减，且.‎ ‎，‎ 在递减，递增，，‎ 在区间内恒成立，‎ 当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕.‎ 法二：‎ 令，则，所以递减，递增 ‎，即，‎ 在递减，递增，‎ 在区间内恒成立 当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕.‎ ‎ ‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21． （1），，所以．‎ ‎（2）设曲线上任意一点在矩阵对应变换作用下得到点，‎ 则，所以．‎ 又点在曲线上，所以，即．‎ 所以曲线的方程为．‎ ‎22．（1）因为的极坐标方程为，即，则，化简得，所以的直角坐标方程为. ‎ 参数方程消去参数，得的普通方程为. ‎ ‎（2）设，由点到直线的距离公式得，‎ 由题意知，‎ 当时，，得， ‎ 当时，，得，‎ 所以或. ‎ ‎23．以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，‎ N 则，，，，．‎ ‎（1）若P是线段A1B的中点，‎ 则，，．‎ 所以．‎ 又，所以．‎ 所以直线MP与直线AC所成的角的大小为．‎ ‎（2）由，得． ‎ 设，，，‎ 则，‎ 所以，所以，所以．‎ 设平面的法向量，‎ 则，， ‎ 所以取．‎ 因为，设直线与平面所成角为．‎ 由，得．‎ 所以，所以． ‎ ‎24．‎