2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年福建省永春县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

永春一中高二年（下）期中考数学（理）科试卷 （2018.4）‎ 命题：陈鹏林 审核:李金聪 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（　 　）‎ A．a，b，c都是偶数 ‎ B．a，b，c都是奇数 ‎ C．a，b，c中至少有两个偶数 ‎ D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 ‎2．下面是关于复数的四个命题：：|z|=2，：z2=2i，：z的共轭复数为，：z的虚部为1，其中真命题为（ 　）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎3．我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献. 这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（　 　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（　 　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知，，，，‎ ‎…，，则推测（　 　）‎ A．1033 B．199 C．109 D．29‎ ‎7．已知是上的单调增函数，则的取值范围是（ ）‎ A．﹣1b2 B．﹣1b2 C．b﹣2或b2 D．b﹣1或b2‎ ‎8．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　 　）‎ A．36 B．42 C．48 D．60‎ ‎10．设函数在区间（a，b）上的导函数为，在区间（a，b）上的导函数为，若在区间（a，b）上，则称函数在区间（a，b）上为“凹函数”，已知在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数是定义在上的奇函数，，当x＞0时，有成立，则不等式的解集是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）‎ ‎13．　 　． ‎ ‎14．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成　 　个重复数字的四位奇数．‎ ‎15．已知的展开式中x3项的系数为25，则实数=　 　．‎ ‎16．设过曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 如图，梯形中，.‎ ‎（1）若求AC的长；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ 18． ‎（本题满分12分）‎ 设，数列的前项和为，已知，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ 18． ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数（）‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围．‎ 19． ‎（本题满分12分）‎ 如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求平面与平面所成 二面角的平面角的余弦值．‎ 20． ‎（本题满分12分）‎ 已知椭圆的两焦点为，，离心率.‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ‎，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.‎ 18． ‎（本题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求的解析式及单调减区间； ‎ ‎（2）若函数无零点，求的取值范围．‎ 永春一中高二年（下）期中考数学（理）参考答案 ‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B A C A C A B C D A D 二、填空题 13. 14．36 15.3 16. ‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）因为，‎ 所以为钝角，且，， ……………2分 因为，所以.‎ 在中，由，解得. ………………5分 ‎（2）因为，所以，‎ 故，. ……6分 在中，，‎ 整理得，解得， ………………………………8分 所以. …………10分 ‎18．解：（1）由得： …………1分 ‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 …………………3分 由成等比数列.即 解得………………4分 ‎ 所以， ………………………………………5分 ‎（2）由（Ⅰ）可得， ………………………6分 所以，即 ‎①. ………………………8分 ‎②. …………10分 ‎①—②可得 ，‎ 所以. ……………………………………12分 ‎19.解：（1）， ………………1分 当≤0时，∵x＞0，∴＞0恒成立，‎ ‎∴在定义域（0，+∞）上单调递增 ………………3分 当＞0时，令=0，得x=，‎ ‎∵x＞0，∴＞0得x＞；＜0得0＜x＜，‎ ‎∴在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增． …… 5分 ‎（2）当=0时，＞0恒成立 ……………………6分 当＜0时，当x→0时，→﹣∞，≥0不成立 …………8分 当＞0时，由（1）可知f（x）min=f（）=﹣ln，‎ 由f（）=﹣ln≥0‎ 得1﹣ln≥0，∴∈（0，e] ………………………………11分 综上所述，的取值范围是[0，e]． ………………………………12分 ‎20．解：（1）∵是平行四边形，且 ‎∴，故，即 ‎ 取BC的中点F，连结EF，∵，∴ ‎ 又∵平面平面，∴平面 ‎ ‎∵平面，∴ ‎ ‎∵平面，∴平面， ‎ ‎∵平面，∴ ………… …………………6分 ‎（2）∵,由（Ⅰ）得 ‎ ‎ 以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则 ‎ ‎∴ ‎ 设平面的法向量为，则，即 ‎ 得平面的一个法向量为 ‎ 由（1）知平面，所以可设平面的法向量为 ‎ 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ 则 ‎ 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为. ………12分 ‎21、.解：（1）设椭圆方程为，‎ 则，，‎ 所求椭圆方程为. ……………………………………4分 ‎（2）由，消去y，得，‎ 则得 （*）‎ 设，则，，‎ ‎，‎ 解得.，满足（*） …………………………-8分 （3） 设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，‎ 由，得A 用代替上式中的k，得，‎ 由，得 k<0，解得或，‎ 故存在三个内接等腰直角三角形.………………………………………12分 ‎ ‎22． 解：(1) ， ………………………………1分 又由题意有：，故. ……3分 此时，，由或，所以 函数的单调减区间为和. …………………………5分 ‎（说明：减区间写为的扣2分. ）‎ ‎ (2) ，且定义域为，‎ 要函数无零点，即要在内无解，‎ 亦即要 在内无解. …………………6分 构造函数. ‎ ‎①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件； ……………………………8分 ‎②当时， ‎ ‎⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，‎ 而，故在内有一个零点，所以不满足条件；‎ ‎⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件； ……10分 ‎⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. ‎ 又易知，而，‎ 又易证当 时，，所以函数在内有一零点，‎ 故不满足条件. ………… ………… …………………………………………11分 综上可得：的取值范围为：或. ……………………12分 ‎（说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量，再讨论函数的单调性获得给3分）‎