2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高一上学期期中数学试题(解析版)

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2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高一上学期期中数学试题(解析版)

‎2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1.设集合A={a,5},B={2,3,4},A∩B={2},则A∪B= ( )‎ A.{2,3,4,5} B.{3} C.{2,3,4} D.{1,3}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意先求出a=2,由此能求出A∪B的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A={a,5},B={2,3,4},A∩B={2},‎ ‎∴a=2,‎ ‎∴A∪B={2,3,4,5}.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集的求法,考查交集、并集定义等基础知识,是基础题.‎ ‎2.与为同一函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意利用查函数的三要素,判断两个函数是否为同一个函数.‎ ‎【详解】‎ 函数y=|x|的定义域为R,值域为[0,+∞),对应关系为取绝对值,‎ 而函数y=x的定义域和值域都是R,故排除A;‎ 由于y|x|的定义域为R,值域为[0,+∞),对应关系为取绝对值,故它和y=|x|为同一函数,故B满足条件;‎ 由于y 的值域是正实数集,故排除C;‎ 由于函数yx(x>0),它的定义域和值域都为正实数集,故排除D,‎ 故选:B.‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】容易看出选项A,D的函数都是非奇非偶函数,选项B的函数是奇函数,从而只能选C.‎ ‎【详解】‎ f(x)=ex﹣1和f(x)=lgx都是非奇非偶函数,是奇函数;‎ 是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断,幂函数的单调性,属于基础题.‎ ‎4.函数 的定义域是( )‎ A.[-1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞)‎ C.[-1,0)∪(0,+∞) D.R ‎【答案】C ‎【解析】根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.‎ ‎【详解】‎ 要使函数f(x)的有意义,‎ x的取值需满足,‎ 解得x≥﹣1,且x≠0;‎ 所以函数f(x)的定义域是[﹣1,0)∪(0,+∞).‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,注意偶次根式的被开方数大于等于0,分母不等于0,对数的真数大于0等,是基础题.‎ ‎5.已知,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数和对数函数的单调性,分别与0,1比较即可得出a,b,c的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎∵0<0.62<1,20.6>20=1,log20.6<log21=0,‎ ‎∴b>a>c.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数、对数函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎6.函数的零点所在区间是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式求得f(0)f(1)<0,再根据根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=2x+x3﹣2的零点所在的区间.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f(x)=2x+x3﹣2在R上单调递增,‎ ‎∴f(0)=1+0﹣2=﹣1<0,f(1)=2+1﹣2=1>0,‎ ‎∴f(0)f(1)<0.‎ 根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=2x+x3﹣2的零点所在的区间是(0,1),‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基础题.‎ ‎7.已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且,则 ( )‎ A.1 B.2 C.0 D.-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件可得出f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=﹣g(x),从而根据f(x)+g(x)=x3+x2+x即可得出f(x)﹣g(x)=﹣x3+x2﹣x,从而可求出f(1)﹣g(1)=﹣1.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=﹣g(x),且f(x)+g(x)=x3+x2+x,‎ ‎∴f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)﹣g(x)=﹣x3+x2﹣x,‎ ‎∴f(1)﹣g(1)=﹣1+1﹣1=﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数和偶函数的定义,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎8.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 根据函数过排除A;‎ 根据过排除B、D,‎ 故选:C.‎ ‎9.如果函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减,即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 的对称轴为 ,‎ 又开口向上,即在上单调递减 即 即 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间,主要注意区分函数在 上是减函数与函数的单调递减区间为,属于基础题。‎ ‎10.已知函数则f(5)的值是(  )‎ A.24 B.21 C.18 D.16‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件利用函数的性质得f(5)=f(f(10))=f(f(f(15))),由分段函数即可得到.‎ ‎【详解】‎ f(x),‎ f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=21+3=24.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法,是基础题,注意分段函数性质的合理运用.‎ ‎11.利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件:①、都在函数的图象上;②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”(注:点对与看作同一对“友好点对”)。已知函数,则此函数的“友好点对”有( )对 A.0 B.1 ‎ C. 2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:根据题意得:函数 “友好点对”的对数,等于函数的图象关于原点对称的图象,与函数交点个数,在同一坐标系中做出函数的图象关于原点对称的图象,与函数的图象如下图所示,‎ ‎ 由图象可以知道,两个图象只有一个交点.所以B选项是正确的.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎12.已知函数f(x)=,若f(a)=f(b)=f(c)且a<b<c,则ab+bc+ac的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的图象,根据,,互不相等,且(a)(b)(c),我们令,我们易根据对数的运算性质,及,,的取值范围得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解:作出函数的图象如图,‎ 不妨设,,,,,,‎ 由图象可知,,则,解得,‎ ‎,则,解得,‎ ‎,‎ 的取值范围为 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力,解答的关键是图象法的应用,即利用函数的图象交点研究方程的根的问题,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.当时,不等式的解集为________ 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用指数的性质可得 2x﹣1>x+1,由此求得x的范围.‎ ‎【详解】‎ 当0<a<1时,指数函数是单调递减的,‎ 由不等式a2x﹣1<ax+1,可得 2x﹣1>x+1,‎ 求得x>2,‎ 故答案为:{x|x>2}.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的单调性,指数不等式的解法,属于基础题.‎ ‎14.若方程的一个根在区间上,另一根在区间上,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】(-4,-2)‎ ‎【解析】设,‎ 由题意得,即,解得.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 答案:‎ ‎15.已知,则 ___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】令2x+1=3,则x=1,代入即可求解则f(3).‎ ‎【详解】‎ ‎∵f(2x+1)=x2+x,‎ 令2x+1=3,则x=1,‎ 则f(3)=2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用整体思想求解函数值,属于基础试题.‎ ‎16.已知为定义在上的偶函数,且在上为单调增函数, ,则不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由为上的偶函数,且在上为单调增函数,所以在上为单调减函数,又因为,所以,结合单调性得到函数大于零和小于零的区间,将,转化为,即与同正或同负,写出符合条件的区间即为所求 ‎【详解】‎ 由为上的偶函数,且在上为单调增函数,所以在上为单调减函数,又因为,所以,所以当时,,当时,,又因为,所以或,即 ‎【点睛】‎ 解决函数的奇偶性与单调性的综合问题时,一定要充分利用已知条件,数形结合,列出不等式(组),要注意函数定义域的影响 三、解答题 ‎17.已知全集.集合,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)如果,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)全集U=R.集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<7},根据并集的定义进行求解;‎ ‎(2)A∩C=∅,说明集合A和集合C没有共同的元素,利用此信息进行求解;‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵知全集U=R.集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<7},‎ ‎∴A∪B={x|1<x≤8}.‎ ‎(2)∵A∩C=∅,C={x|x>a}.‎ 可得,‎ 验证当a=8时可得,C={x|x>8}.此时满足题意;‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查交集的定义,以及空集的含义,是一道基础题;‎ ‎18.计算 ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1)-2;(2)‎ ‎【解析】(1)进行对数的运算即可;‎ ‎(2)进行指数的运算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)原式;‎ ‎(2)原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数和对数的运算性质,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎19.已知二次函数,且.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)当时,不等式恒成立,求的范围。‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)根据f(0)=1,求出a的值,求出函数的解析式即可;‎ ‎(2)问题转化为x2﹣3x+1>m恒成立;令x∈[﹣1,1],求出g(x)的最小值,求出m的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵f(0)=1,∴a=1,‎ ‎∴f(x)=x2﹣x+1;‎ ‎(2)当x∈[﹣1,1]时,f(x)>2x+m恒成立,‎ 即:x2﹣3x+1>m恒成立;‎ 令,x∈[﹣1,1],‎ g(x)min=g(1)=﹣1,‎ ‎∴m<﹣1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的解析式问题,考查二次函数的性质,最值问题,考查了恒成立问题的转化思想,是一道常规题.‎ ‎20.某家庭进行理财投资,有两种方式,甲为投资债券等稳健型产品,乙为投资股票等风险型产品,设投资甲、乙两种产品的年收益分别为、万元,根据长期收益率市场预测,它们与投入资金万元的关系分别为,,(其中,,都为常数),函数,对应的曲线,如图所示.‎ ‎(1)求函数、的解析式;‎ ‎(2)若该家庭现有万元资金,全部用于理财投资,问:如何分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?‎ ‎【答案】(1)的解析式分别为,;‎ ‎(2)投资甲产品万元,投资乙产品万元,可以使得一年的投资获得最大收益为万 ‎【解析】(1)函数对应的曲线都经过点,分别代入解析式,解得未知数的值,可得解析式;‎ ‎(2)设投资甲产品为万元,则投资乙产品为万元,所以总收益,设,则,求函数定义域内最大值即为所求 ‎【详解】‎ 解:(1)由函数的图象过点得,所以;‎ 由函数的图象过点得,所以;‎ 所以,. ‎ ‎(2)设投资甲产品为万元,则投资乙产品为万元,‎ 则总收益, ‎ 设,则,‎ 所以即时,总收益最大,为万. ‎ 答:(1)的解析式分别为,;‎ ‎(2)投资甲产品万元,投资乙产品万元,可以使得一年的投资获得最大收益为万.‎ ‎【点睛】‎ 解决函数应用题的步骤:‎ ‎1.审题,理解题意,设定变量;‎ ‎2.建模,建立函数关系,并注明定义域;‎ ‎3.解模,运用函数相关知识求解;‎ ‎4.结论,回到应用问题中去,给出答案 ‎21.若是定义在上的增函数,且对一切,,满足.‎ 求的值;‎ 若,解不等式.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)根据题意,利用特殊值法,令x=y=1可得:f(1)=f(1)﹣f(1)=0,即可得答案;‎ ‎(2)根据题意,原不等式可以转化为f(3x+9)<f(6),且x+3>0,结合函数的单调性可得0<3x+9<6,解可得x的取值范围,即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,对一切,,满足,‎ 令可得:,即,‎ 根据题意,若,‎ 则,且,‎ 又由是定义在上的增函数,则有,‎ 解可得:,即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的性质,注意用特殊值法分析,属于综合题.‎ ‎22.已知函数(且),定义域均为.‎ ‎(1)若当时,的最小值与的最小值的和为,求实数的值;‎ ‎(2)设函数,定义域为.‎ ‎①若,求实数的值;‎ ‎②设函数,定义域为.若对于任意的,总能找到一个实数,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)①;②‎ ‎【解析】(1)分别求出两个函数的最小值,利用其和为﹣2建立方程,即可求出实数a的值;‎ ‎(2)①求出函数h(x)的解析式,按参数a的取值范围分类判断出函数的单调性,求出函数的最值,令其等于﹣2,解方程得出参数a的值;‎ ‎②根据题意,判断出在区间上,函数h(x)的值域是值域的子集,根据子集的定义转化出参数a的不等式,即可得出参数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,为增函数,为减函数,‎ 由的最小值与的最小值的和为,‎ ‎∴,即,即32,解得.‎ ‎(2).‎ ‎①,‎ 当a>1时,不存在;‎ 当0<a<1时,,‎ 综上,实数a的值为.‎ ‎②由题知,在区间上,函数h(x)的值域是值域的子集,‎ 易得的值域为[﹣2,+∞).‎ 当a>1时,h(x)的值域为,‎ 应有a>1时均符合,‎ 当0<a<1时,h(x)的值域为,‎ 应有,‎ 综上,实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值及基本初等函数的性质,复合函数单调性的判断,考查了转化及分类讨论的思想,属于较难题型.‎
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