2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合A={a，5}，B={2，3，4}，A∩B={2},则A∪B= （ ）‎ A．{2，3，4，5} B．{3} C．{2，3，4} D．{1，3}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意先求出a＝2，由此能求出A∪B的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A＝{a，5}，B＝{2，3，4}，A∩B＝{2}，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴A∪B＝{2，3，4，5}．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，是基础题．‎ ‎2．与为同一函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意利用查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数．‎ ‎【详解】‎ 函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，+∞），对应关系为取绝对值，‎ 而函数y＝x的定义域和值域都是R，故排除A；‎ 由于y|x|的定义域为R，值域为[0，+∞），对应关系为取绝对值，故它和y＝|x|为同一函数，故B满足条件；‎ 由于y 的值域是正实数集，故排除C；‎ 由于函数yx（x＞0），它的定义域和值域都为正实数集，故排除D，‎ 故选：B．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞）上单调递减的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】容易看出选项A，D的函数都是非奇非偶函数，选项B的函数是奇函数，从而只能选C．‎ ‎【详解】‎ f（x）＝ex﹣1和f（x）＝lgx都是非奇非偶函数，是奇函数；‎ 是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断，幂函数的单调性，属于基础题．‎ ‎4．函数 的定义域是( )‎ A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R ‎【答案】C ‎【解析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ 要使函数f（x）的有意义，‎ x的取值需满足，‎ 解得x≥﹣1，且x≠0；‎ 所以函数f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，注意偶次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0等，是基础题．‎ ‎5．已知，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与0，1比较即可得出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】‎ ‎∵0＜0.62＜1，20.6＞20＝1，log20.6＜log21＝0，‎ ‎∴b＞a＞c．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎6．函数的零点所在区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，‎ ‎∴f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，‎ ‎∴f（0）f（1）＜0．‎ 根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间是（0，1），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．‎ ‎7．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则 （ ）‎ A．1 B．2 C．0 D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件可得出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），从而根据f（x）+g（x）＝x3+x2+x即可得出f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，从而可求出f（1）﹣g（1）＝﹣1．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且f（x）+g（x）＝x3+x2+x，‎ ‎∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，‎ ‎∴f（1）﹣g（1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数和偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎8．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 根据函数过排除A;‎ 根据过排除B、D,‎ 故选：C．‎ ‎9．如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 的对称轴为 ，‎ 又开口向上，即在上单调递减 即 即 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间，主要注意区分函数在 上是减函数与函数的单调递减区间为，属于基础题。‎ ‎10．已知函数则f(5)的值是(　　)‎ A．24 B．21 C．18 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件利用函数的性质得f（5）＝f（f（10））＝f（f（f（15））），由分段函数即可得到．‎ ‎【详解】‎ f（x），‎ f（5）＝f（f（10））＝f（f（f（15）））＝f（f（18））＝f（21）＝21+3＝24．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，是基础题，注意分段函数性质的合理运用．‎ ‎11．利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）。已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对 A．0 B．1 ‎ C． 2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据题意得:函数 “友好点对”的对数,等于函数的图象关于原点对称的图象,与函数交点个数，在同一坐标系中做出函数的图象关于原点对称的图象,与函数的图象如下图所示，‎ ‎ 由图象可以知道,两个图象只有一个交点.所以B选项是正确的.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎12．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）且a＜b＜c，则ab+bc+ac的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的图象，根据，，互不相等，且（a）（b）（c），我们令，我们易根据对数的运算性质，及，，的取值范围得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：作出函数的图象如图，‎ 不妨设，，，，，，‎ 由图象可知，，则，解得，‎ ‎，则，解得，‎ ‎，‎ 的取值范围为 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．当时，不等式的解集为________ 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用指数的性质可得 2x﹣1＞x+1，由此求得x的范围．‎ ‎【详解】‎ 当0＜a＜1时，指数函数是单调递减的，‎ 由不等式a2x﹣1＜ax+1，可得 2x﹣1＞x+1，‎ 求得x＞2，‎ 故答案为：{x|x＞2}．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的单调性，指数不等式的解法，属于基础题．‎ ‎14．若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】(－4，－2)‎ ‎【解析】设，‎ 由题意得，即，解得．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 答案：‎ ‎15．已知，则 ___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】令2x+1＝3，则x＝1，代入即可求解则f（3）．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（2x+1）＝x2+x，‎ 令2x+1＝3，则x＝1，‎ 则f（3）＝2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用整体思想求解函数值，属于基础试题．‎ ‎16．已知为定义在上的偶函数，且在上为单调增函数， ，则不等式的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，结合单调性得到函数大于零和小于零的区间，将，转化为，即与同正或同负，写出符合条件的区间即为所求 ‎【详解】‎ 由为上的偶函数，且在上为单调增函数，所以在上为单调减函数，又因为，所以，所以当时，，当时，，又因为，所以或，即 ‎【点睛】‎ 解决函数的奇偶性与单调性的综合问题时，一定要充分利用已知条件，数形结合，列出不等式（组），要注意函数定义域的影响 三、解答题 ‎17．已知全集．集合,,.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如果，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）全集U＝R．集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜7}，根据并集的定义进行求解；‎ ‎（2）A∩C=∅，说明集合A和集合C没有共同的元素，利用此信息进行求解；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵知全集U＝R．集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜7}，‎ ‎∴A∪B＝{x|1＜x≤8}.‎ ‎（2）∵A∩C=∅，C＝{x|x＞a}．‎ 可得，‎ 验证当a＝8时可得，C＝{x|x＞8}．此时满足题意；‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查交集的定义，以及空集的含义，是一道基础题；‎ ‎18．计算 ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）－2；（2）‎ ‎【解析】（1）进行对数的运算即可；‎ ‎（2）进行指数的运算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2）原式．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎19．已知二次函数，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据f（0）＝1，求出a的值，求出函数的解析式即可；‎ ‎（2）问题转化为x2﹣3x+1＞m恒成立；令x∈[﹣1，1]，求出g（x）的最小值，求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（0）＝1，∴a＝1，‎ ‎∴f（x）＝x2﹣x+1；‎ ‎（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立，‎ 即：x2﹣3x+1＞m恒成立；‎ 令，x∈[﹣1，1]，‎ g（x）min＝g（1）＝﹣1，‎ ‎∴m＜﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，最值问题，考查了恒成立问题的转化思想，是一道常规题．‎ ‎20．某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，设投资甲、乙两种产品的年收益分别为、万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金万元的关系分别为，，（其中，，都为常数），函数，对应的曲线,如图所示．‎ ‎（1）求函数、的解析式；‎ ‎（2）若该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？‎ ‎【答案】（1）的解析式分别为，；‎ ‎（2）投资甲产品万元，投资乙产品万元，可以使得一年的投资获得最大收益为万 ‎【解析】（1）函数对应的曲线都经过点，分别代入解析式，解得未知数的值，可得解析式；‎ ‎（2）设投资甲产品为万元，则投资乙产品为万元，所以总收益，设，则，求函数定义域内最大值即为所求 ‎【详解】‎ 解：（1）由函数的图象过点得，所以；‎ 由函数的图象过点得，所以；‎ 所以，. ‎ ‎（2）设投资甲产品为万元，则投资乙产品为万元，‎ 则总收益， ‎ 设，则，‎ 所以即时，总收益最大，为万. ‎ 答：（1）的解析式分别为，；‎ ‎（2）投资甲产品万元，投资乙产品万元，可以使得一年的投资获得最大收益为万.‎ ‎【点睛】‎ 解决函数应用题的步骤：‎ ‎1.审题，理解题意，设定变量；‎ ‎2.建模，建立函数关系，并注明定义域；‎ ‎3.解模，运用函数相关知识求解；‎ ‎4.结论，回到应用问题中去，给出答案 ‎21．若是定义在上的增函数，且对一切，，满足．‎ 求的值；‎ 若，解不等式．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据题意，利用特殊值法，令x=y=1可得：f（1）=f（1）﹣f（1）=0，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，原不等式可以转化为f（3x+9）＜f（6），且x+3＞0，结合函数的单调性可得0＜3x+9＜6，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，对一切，，满足，‎ 令可得：，即，‎ 根据题意，若，‎ 则，且，‎ 又由是定义在上的增函数，则有，‎ 解可得：，即不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的性质，注意用特殊值法分析，属于综合题．‎ ‎22．已知函数（且），定义域均为．‎ ‎（1）若当时，的最小值与的最小值的和为，求实数的值；‎ ‎（2）设函数，定义域为．‎ ‎①若，求实数的值；‎ ‎②设函数，定义域为．若对于任意的，总能找到一个实数，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②‎ ‎【解析】（1）分别求出两个函数的最小值，利用其和为﹣2建立方程，即可求出实数a的值；‎ ‎（2）①求出函数h（x）的解析式，按参数a的取值范围分类判断出函数的单调性，求出函数的最值，令其等于﹣2，解方程得出参数a的值；‎ ‎②根据题意，判断出在区间上，函数h（x）的值域是值域的子集，根据子集的定义转化出参数a的不等式，即可得出参数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，为增函数，为减函数，‎ 由的最小值与的最小值的和为，‎ ‎∴，即，即32，解得．‎ ‎（2）．‎ ‎①，‎ 当a＞1时，不存在；‎ 当0＜a＜1时，，‎ 综上，实数a的值为．‎ ‎②由题知，在区间上，函数h（x）的值域是值域的子集，‎ 易得的值域为[﹣2，+∞）．‎ 当a＞1时，h（x）的值域为，‎ 应有a＞1时均符合，‎ 当0＜a＜1时，h（x）的值域为，‎ 应有，‎ 综上，实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值及基本初等函数的性质，复合函数单调性的判断，考查了转化及分类讨论的思想，属于较难题型.‎