2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的逆命题 C．命题“若，则”的逆命题 D．命题“若，则”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，逆命题为“若，则”，当时， ，故A错误；‎ 对于B，逆命题为“若，则”，正确； ‎ 对于C，逆命题为“若，则”， 等价于或，‎ 显然错误；‎ 对于D，逆否命题与原命题同真同假，原命题为假命题，如， ,故D错误.‎ 故选：B ‎2．设，则“”是的（ ）‎ A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】集合是的真子集，‎ 由集合包含关系可知“”是的充分而不必要条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．某工厂的三个车间在12月份共生产了双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为： ‎ ‎4．下列各数中与1010（4）相等的数是（　　）‎ A．76（9） B．103（8） C．2111（3） D．1000100（2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把所给的数化为“十进制”数即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎1010（4）＝1×43+0×42+1×41+0×40＝68（10）．‎ 对于D：1000100（2）＝1×26+1×22＝68（10）．‎ ‎∴1010（4）＝1000100（2）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不同数位进制化为“十进制”数的方法，属于基础题．‎ ‎5．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为和棋概率为，乙获胜概率为，所以甲获胜概率是，故选C.‎ 考点：概率．‎ ‎6．225与135的最小公倍数是（　　）‎ A．6075 B．3375 C．2025 D．675‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用最小公倍数的定义即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵225=，‎ ‎135＝5，‎ ‎∴225与135的最小公倍数是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了最小公倍数的概念，属于基础题.‎ ‎7．抛物线的焦点到直线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为： ，‎ 到直线的距离是.‎ 故选A.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：程序在执行过程中，的值依次为；；；；‎ ‎；，程序结束，输出．‎ 考点：程序框图．‎ ‎9．若在区间内任取一个实数，则使直线与圆有公共点的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离d=，又m ,则，‎ 所求概率为 ;‎ 故选C.‎ ‎10．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设，‎ ‎，作差得：，即，所以，‎ 所以直线方程为，即。故选D。‎ ‎11．已知命题：，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】全称命题的否定为存在命题，命题：，，则为，‎ ‎，选B.‎ ‎12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线的标准方程可知其渐近线方程为，‎ 故， ，所以．‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．用秦九韶算法求多项式当时的值的过程中：，__．‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，进而得出．‎ ‎【详解】‎ f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，‎ 当x＝2时，v0＝5，v1＝5×2+2＝12，v2＝12×2+3＝27，v3＝27×2﹣2＝52．‎ 故答案为：52．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）＜0，解得a范围；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a范围．由p且￢q为真命题，可得p与￢q都为真命题，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，‎ 则f（0）f（1）=﹣（2a﹣2）＜0，解得a＞1；‎ 命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a＞2．‎ ‎∴￢q：a∈（﹣∞，2]．‎ ‎∵p且￢q为真命题，∴p与￢q都为真命题，‎ ‎∴ 解得1＜a≤2．‎ 则实数a的取值范围是（1，2]．‎ 故答案为：（1，2]．‎ ‎【点睛】‎ 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假;可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎15．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．‎ ‎【答案】0.38‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，‎ ‎∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，‎ ‎∴由几何槪型的概率公式进行估计得，‎ 即S＝0.38，‎ 故答案为：0.38．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的右支上，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵双曲线中，a=3，b=‎ ‎∴c==4，‎ ‎∴A、C恰好是双曲线的左右焦点，焦距|AC|=8‎ 根据双曲线的定义，得||AB|﹣|CB||=2a=6，‎ ‎∵顶点B在双曲线的右支上，‎ ‎∴|AB|﹣|CB|=6，‎ ‎△ABC中，根据正弦定理，得 故.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.‎ ‎（1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.‎ ‎（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）从盒中任取两球的基本事件有 六种情况.其中满足编号之和大于5的事件有两种情况，根据古典概型的概率公式即可求出结果；（2）有放回的连续去球有共16个基本事件，而满足的共6个基本事件，根据古典概型的概率公式即可求出结果.‎ 试题解析：‎ 解：（1）从盒中任取两球的基本事件有 六种情况.‎ 编号之和大于5的事件有两种情况，‎ 故编号之和大于5的概率为.‎ ‎（2）有放回的连续去球有 共16个基本事件，而包含 ，共6个基本事件，所以得概率为.‎ ‎18．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示（把频率当作概率）．‎ ‎（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数；‎ ‎（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？‎ ‎【答案】（1）， ， ， ．‎ ‎（2）派甲参加比较合适．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据平均数以及中位数计算公式分别求得平均数和中位数；（2）由于两人平均数一样，所以比较两人方差，确定两人稳定性，根据方差公式可得甲的方差比乙小，即甲稳定，所以选甲 试题解析：解：（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为 ‎，‎ ‎，‎ 甲、乙两人成绩的中位数为 ‎， ．‎ ‎（2）派甲参加比较合适，理由如下：‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．‎ ‎19．某中学随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题．‎ ‎（）求的值及样本中男生身高在（单位：）的人数．‎ ‎（）假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高．‎ ‎（）在样本中，从身高在和（单位：）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于的概率．‎ ‎【答案】（1）4；（2）0.4‎ ‎【解析】试题分析：（）由题意，根据频率分布直方图各个矩形的面积之和为，即可求解的值，进而得到身高在的频率和人数为；‎ ‎（）根据平均数的计算公式，即可求解全校男生的平均身高；‎ ‎（）根据频率分布直方图，可得身高在和内的男生的人数，再利用古典概型的概率计算公式，即可求解相应的概率.‎ 试题解析：‎ ‎（）由题意：，‎ 身高在的频率为，人数为．‎ ‎（）设样本中男生身高的平均值为，则：‎ ‎，‎ 所以，估计该校全体男生的平均身高为．‎ ‎（）在样本中，身高在和（单位：）内的男生分别由人，人，从身高在和（单位：）内的男生中任选两人，有种，这两人的身高都不低于，有种，所以所求概率为．‎ ‎20．在某次试验中,有两个试验数据，统计的结果如下面的表格1. ‎ ‎（1）在给出的坐标系中画出的散点图; 并判断正负相关；‎ ‎（2）填写表格2,然后根据表格2的内容和公式求出对的回归直线方程，并估计当为10时的值是多少？（公式：，） ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ 表1 ‎ ‎ ‎ 表格2‎ 序号 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 3‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 4‎ ‎ 4‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 5‎ ‎ 5‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表格一中数据，描点可得x，y的散点图,根据图象判断正负相关性即可；‎ ‎（2）由（1）中数据，列表后，分别求出3，3.6，可得回归直线方程，进而将x＝10代入可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，正相关 ‎ ‎（2）表格如下 序号 x y x2‎ xy ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎∑‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎55‎ ‎61‎ ‎，，， ‎ ‎， ‎ 所以回归直线方程为： ‎ 当时，估计 ‎【点睛】‎ 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎21．设椭圆过点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长及中点坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；‎ ‎（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C所截线段的长度．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，又因为，解得，‎ 椭圆的方程为. ‎ ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线被椭圆所截线段的端点为，中点为，‎ 与联立消元得：，恒成立，‎ 方程两个不等根为，，‎ 所以，直线被椭圆所截线段中点坐标为； ‎ ‎,‎ 直线被椭圆所截线段长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎22．已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点 ‎（1）分别过A，C两点作抛物线E的切线，求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直；‎ ‎（2）过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线l的方程与抛物线联立，利用韦达定理及导数求得斜率相乘为﹣1即可；‎ ‎（2）用弦长公式求出弦长|AC|和|BD|，再算出面积后，用基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设过点F（0，1）的直线方程为：y＝kx+1，‎ 由，得x2﹣4kx﹣4＝0，‎ 设A（x1，y1），C（x2，y2），‎ 则，‎ ‎∵yx2，∴y′x，‎ 设抛物线E在点A、C两点处的切线的斜率分别为k1，k2，‎ 则k1•k2x1•x2x1x2＝﹣1，‎ 故抛物线E在A，C两点处的切线互相垂直．‎ ‎（2）由（1）知|AC|4（k2+1）‎ 同理|BD|＝4（1）‎ ‎∴S四边形ABCD|AC||BD|＝8（k2+1）（1）‎ ‎＝8（1+k21）‎ ‎≥8（2+2）‎ ‎＝32，‎ ‎∴四边形ABCD的面积的最小值为32．‎ ‎【点睛】‎ 在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎