2019-2020学年安徽省滁州市九校高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省滁州市九校高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省滁州市九校高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设命题，，则命题的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】全称命题的否定是特称命题 ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题 所以命题的否定是，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查的是全称命题的否定，较简单 ‎2．某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果 ‎【详解】‎ 设样本中的老年教师人数为人，由分层抽样的特点得：，所以，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础 ‎3．设直线的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】等价于与垂直,分析选项即可得解.‎ ‎【详解】‎ A中，所以，故．‎ 其他答案 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查的是空间向量的应用，较简单.‎ ‎4．在区间（0，1）上随机地取一个数a，则事件“2”发生的概率为（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据2解出a的范围，再利用几何概型即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，因此。‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数不等式以及几何概型，属于基础题。‎ ‎5．若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则（ ）‎ A．31 B．28 C．25 D．23‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆定义，用m表示出和，再根据离心率求得m的值。‎ ‎【详解】‎ 焦点在x轴上，所以 ‎ 所以 离心率 ，所以 ‎ 解方程得m=23‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题。‎ ‎6．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：‎ 得分 ‎8‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎28‎ ‎33‎ ‎37‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这15场得分的中位数和众数分别为（ ）‎ A．22，18 B．18，18 C．22，22 D．20，18‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据频数分布表列出的数据，找出出现次数最多的数字为众数；这组数据有15个，这组数据的中位数是排序后最中间的数字．‎ ‎【详解】‎ 解：根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，‎ 将得分按从小到大顺序排序，‎ 排在中间位置的为18，故中位数为18，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数分布表，考查众数、中位数，对于一组数据这两个特征数是经常考查的，本题是基础题．‎ ‎7．下列说法：①若线性回归方程为，则当变量增加一个单位时，一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程必过点；④抽签法属于简单随机抽样；其中错误的说法是（ ）‎ A．①③ B．②③④ C．① D．①②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线性回归方程与方差的求法，随机抽样的知识，对选项中的命题判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于①，回归方程中，变量增加1个单位时，平均增加3个单位，不是一定增加，①错误；‎ 对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，②正确；‎ 对于③，线性回归方程必经过样本中心点，③正确；‎ 对于④，抽签法属于简单随机抽样；④正确．‎ 综上，错误的命题是①．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程与的应用问题，是基础题．‎ ‎8．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数．将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a＝75，则I（a）＝57，D（a）＝75）．执行如图所示的程序框图，若输人的a＝51，则输出的b＝（　 　）‎ A．30 B．35 C．40 D．45‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据程序框图输入a＝51即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得: ‎ ‎45为5的倍数，所以输出45‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了读程序框图，属于基础题。‎ ‎9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】连结，由于，可知是三角形的中位线，得到，然后利用双曲线的性质求出即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以为的中点，‎ ‎(如下图)连结，则是三角形的中位线，‎ 所以，‎ 由双曲线方程可得，，，‎ 所以，，‎ 而，，‎ 所以或者18，‎ 因为，所以舍去，‎ 故18，则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义及性质，平面向量的线性运算，属于中档题。‎ ‎10．“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求出方程为椭圆时的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。‎ ‎【详解】‎ 若方程表示的曲线为椭圆，‎ 则，解得且，‎ 则“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件。‎ ‎【点睛】‎ 方程，若，则方程表示的曲线为圆；若，，且，则方程表示的曲线为椭圆；若，则方程表示的曲线为双曲线。‎ ‎11．过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为，则|MF|＝（ ）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的焦点坐标，则，‎ 直线的斜率为，可得，‎ 则抛物线可得：，解得，所以，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=( )‎ A．2‎ B．4‎ C．4‎ D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据离心率求得的值，由此求得线段所在直线方程，设出点的坐标，代入，利用二次函数求最值的方法求得取得最小值和最大值时对应的点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.‎ ‎【详解】‎ 由于双曲线的离心率为，故.所以直线的方程为，设，焦点坐标为 ‎，将坐标代入并化简得，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.故.所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的离心率，考查平面向量的数量积，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx，虚轴长为6，则实轴长为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】可设双曲线的方程设为，由渐近线方程可得，由题意可得，求得，可得实轴长．‎ ‎【详解】‎ 解：焦点在轴上的双曲线的方程设为，‎ 由渐近线方程为，可得，即，‎ 虚轴长为，即，，可得，‎ 则实轴长为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，y1），B（，y2）分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|＝10，则|y1﹣y2|＝_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】由已知根据焦半径公式求得，得到抛物线方程，进一步求得、的坐标，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 则抛物线的方程为，‎ 把代入方程，得 舍去），即，‎ 把代入方程，得 舍去），即，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．‎ ‎15．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________．（该年为366天）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用茎叶图性质和等可能事件概率计算公式能求出该样本中空气质量优或良的频率，从而能估计该年空气质量优或良的天数．‎ ‎【详解】‎ 从茎叶图中可发现该样本中空气质量优或良为10天 故该样本中空气质量优或良的频率为，‎ 从而估计该年气质量优或良的天数为天 ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，用频率去估计概率，从而解决问题，属基础题，‎ ‎16．在正方体中，，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立空间直角坐标系，算出和的坐标，然后即可算出 ‎【详解】‎ 如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴 建立空间直角坐标系，令 则，，，‎ 故，‎ 所以 故异面直线与所成角的余弦值为． ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 求空间中的线线角、线面角、面面角常采用向量方法.‎ 三、解答题 ‎17．为了解某校高一1000名学生的物理成绩，随机抽查了部分学生的期中考试成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；‎ ‎（2）若在本次考试中，规定物理成绩在m分以上（包括m分）的为优秀，该校学生物理成绩的优秀率大约为18%，求m的值．‎ ‎【答案】（1）540人；（2）92.5．‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图求出该校高一学生物理成绩不低于80分的频率，由此能求出该校高一学生物理成绩不低于80分的人数．‎ ‎（2）由，得，由此列方程能求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由频率分布直方图得：‎ 该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为：‎ ‎，‎ 该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为：人．‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数的求法，考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；‎ ‎（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为和，求的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1） 从袋中随机取两个球， 利用列举法求出所有的基本事件个数， 再用列举法求出取出的编号之和为6 包含的基本事件有个数， 由此能求出取出的球的编号之和为6概率 ．‎ ‎（2） 基本事件总数，再用列举法求出包含的基本事件的个数， 由此能求出的概率 ．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，‎ 取出球的编号之和为6的有，，共2种取法，‎ 故所求概率.‎ ‎（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，‎ 两次取的球的编号之和大于5的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共26种取法，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意列举法的合理运用 ．‎ ‎19．求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：‎ ‎（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；‎ ‎（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设出椭圆的标准方程，根据下焦点即可得知上焦点坐标，由椭圆定义即可求得a，结合焦距即可求得b，进而得到椭圆的标准方程．‎ ‎（2）因为过右焦点F作垂直，即可表示出A、B两点的坐标及长度，进而根据求得a、b的关系，结合双曲线中a、b、c的关系即可求得a、b的值，进而求得双曲线的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆的标准方程为， ‎ 上焦点为，下焦点为， ‎ 根据椭圆的定义知，，即， ‎ 所以，‎ 因此，椭圆的标准方程为 ‎（2）设双曲线的标准方程为， ‎ 把带入双曲线方程，得，所以. ‎ 由，得. ‎ 所以， ‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的定义及标准方程的求法，属于基础题．‎ ‎20．已知直线与抛物线交于，两点，已知弦的中点的纵坐标为2．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）直线与抛物线交于，两点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）联立与的方程，得出即可 ‎（2）联立与的方程得出，两点的横坐标之和，然后用表示出，运用函数的知识求出范围即可 ‎【详解】‎ 解：（1）设，，‎ 联立与的方程得，‎ 则，‎ 即．‎ ‎（2）直线经过的焦点（4，0），‎ 设，，则．‎ 联立，得，‎ 则．‎ 因为，且，所以．‎ 所以．‎ 从而的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 要注意，比用弦长公式求计算量要小些.‎ ‎21．如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为，且平面平面.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】(1) 因为四边形是矩形，所以,再由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系得到各个面的法向量，进而得到夹角的余弦值，再求正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：因为四边形是矩形，所以.‎ 因为平面平面，且平面平面，‎ 所以平面.‎ 又平面，所以.‎ ‎(2)解：设与的交点为，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为菱形的边长为4，且，所以.‎ 因为矩形的面积为8，所以.‎ 则，，，，‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，，所以.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 令，则，，所以.‎ 所以，所以.‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，或者建系来做．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）解出即可 ‎（2）设出、的方程，分别与椭圆的方程联立消元，求出的坐标，然后表示出直线 ‎【详解】‎ ‎（l）解：由题意知解得 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）证明：易知，，‎ 则直线的方程为，直线的方程为．‎ 联立得．‎ 于是，．‎ 同理可得，‎ 所以直线的斜率．‎ 所以直线的方程为．‎ 即，‎ 所以直线过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是椭圆的综合知识，计算量较大，属于较难题.‎