2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（文）试题
一、单选题
1．设集合则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1
0}∪{x|－1－1}，故选C．
2．设，则=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】试题分析：因，故，所以应选B.
【考点】复数及模的计算．
3．已知，，，…，依此规律可以得到的第个式子为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据已知中的等式：，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．
【详解】
观察已知中等式：
，
，
，
…，
则第n个等式左侧第一项为n，
且共有2n-1项，则最后一项为：，
据此可得第n个式子为：
故选：D．
【点睛】
本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．
4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】2014年8月到9月接待游客下降，所以A错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A.
5．用反证法证明命题“已知为非零实数，且，，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）
A．中至少有两个为负数 B．中至多有一个为负数
C．中至多有两个为正数 D．中至多有两个为负数
【答案】A
【解析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论．
详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“中至少有二个为正数”的否定为：“中至少有二个为负数”．
故选A．
点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．
6．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数 B．模型2的相关指数
C．模型3的相关指数 D．模型4的相关指数
【答案】D
【解析】根据两个变量与的回归模型中，相关指数的绝对值越接近1，其拟合效果越好，由此得出正确的答案．
【详解】
根据两个变量与的回归模型中，相关指数的绝对值越接近1，其拟合效果越好， 选项D中相关指数R最接近1，其模拟效果最好．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用相关指数描述两个变量之间的回归模型的应用问题，是基础题目．
7．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
8．已知函数的定义域为，当时，；当时,；当时，,则（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】由题意结合函数的奇偶性、函数的周期性和函数在给定区间的解析式即可确定的值.
【详解】
∵当时，，
∴当时，，即周期为1．
∴，
∵当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意可知恒成立，当时恒成立；当时需满足，代入解不等式可得，综上可知实数的取值范围是
【考点】函数定义域
10．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间上的单调性，然后脱去f符号求解不等式即可.
【详解】
∵函数为偶函数，
且在时，，
导数为，
即有函数在[0，+∞）单调递增，
∴等价为，
即，
平方得，
解得：，
所求的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．
11．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】
的定义域是（0，+∞），
，
若函数有两个不同的极值点，
则在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故，解得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
12．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确.
【详解】
是函数定义在（0，+∞）上的导函数，满足，
可得，
令，则，
∴函数在（0，+∞）上单调递增．
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数与导数的应用，正确构造函数，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
二、填空题
13．若不等式的解集是，则不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．
【详解】
的解集为（-1，2），则，且对应方程的为-1和2，
∴，
，且，
不等式可化为，
即，
解得或．
故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．
14．如果函数满足对任意的，都有成立，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知可知在上单调递增，结合分段函数的性质即可求解．
【详解】
∵满足对任意的，都有成立，
∴在上单调递增，
根据分段函数的单调性可知，，
解可得，，
故答案为：[2，3）．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用，解题的关键是注意对端点值的处理．
15．设函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】首先求得函数在区间上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数的取值范围.
【详解】
∵在上恒成立，
∴当时，取最大值1，
∵对任意的，都有成立，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
∵在上恒成立，∴在上为减函数，
∵当时，，故当时，取最大值1，
故，
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
三、解答题
17．已知复数.
（1）求复数z的模；
（2）若复数z是方程的一个根，求实数的值.
【答案】（1）;（2）
【解析】【详解】试题分析：（1）将复数化简成，
；（2）将（1）得到的代入方程中的，得，所以，解出．
试题解析：解：（1）
∴
（2）∵复数z是方程的一个根
∴
由复数相等的定义，得：
解得：
【考点】1．复数的代数运算；2．模的计算．
18．（1）用分析法证明；
（2）已知为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出14＜18，即可证明结果．
（2）利用反证法假设结论不成立，则，，推出矛盾结论，即可证得题中的结论．
【详解】
（1）要证，
只需证，
即证，
即证，
即证14＜18，
而14＜18是成立的，，
（2）假设结论不成立，则，
，
即，
即.
即，
矛盾！故假设不成立，
与中至少有一个不小于2．
【点睛】
本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；
（2）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（3）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
附：（其中为样本容量）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）由题意得到关于中位数的方程，解方程可得乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；
（2）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；
（3）计算可得的近似值，结合参考数值可得结论．
【详解】
（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，
因为，
则，
解得.
（2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为；
（3）2×2列联表：
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
35
40
75
不合格品
15
10
25
合计
50
50
100
则，
因为1.3＜2.072，
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图计算中位数的方法，独立性检验的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
【答案】(1) (2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f(5)＝－ln 5.无极大值．
【解析】试题分析：（1）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线可得，可求出a的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
试题解析：（1）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得．
（2）由（1）知，则，
令，解得或．因为不在的定义域内，故舍去．
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数．
由此知函数在时取得极小值，．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
21．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若对于区间上的任意两个实数，且，都有成立，求实数的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）.
【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（2）根据题意可得f（x2）-x22）＜f（x1）-x12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．
【详解】
（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，
m≥0时，f′（x）＞0， 故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；
m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为： △=m2-4m＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；
（2）由（1）知，当m＞0时，函数f（x）在（0，+∞）递增，
又[1，2]（0，+∞），故f（x）在[1，2]递增；
对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）， 故f（x2）-f（x1）＞0，
由题意得：f（x2）-f（x1）＜， 整理得：f（x2）-＜f（x1）-，
令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx， 则F（x）在[1，2]递减， 故F′（x）=，
当x∈[1，2]时，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤，
令h（x）=，则h′（x）＞0， 故h（x）在[1，2]递增，
故h（x）∈[，］， 故m≤．
实数的最大值为.
【点睛】
本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系，通过构造函数，利用函数单调性转化为导函数小于等于0恒成立来求参数范围，考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题.
22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为
参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为点的极坐标分别为.
（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）点是圆上任一点，求面积的最小值．
【答案】（1），；（2）4．
【解析】试题分析：（1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据转化为直角坐标方程即可；（2）将A与B的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．
试题解析：
（1）由消去参数t，得，
所以圆C的普通方程为．
由，得，换成直角坐标系为，
所以直线l的直角坐标方程为
（2）化为直角坐标为在直线l上，
并且，设P点的坐标为，
则P点到直线l的距离为，
，所经面积的最小值是
23．设函数
（1）解不等式；
（2）若存在不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（1）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【详解】
（1）∵
综上，不等式的解集为：
（2）存在使不等式成立
由（Ⅰ）知，时，
时，
∴实数的取值范围为
【点睛】
本题考察了绝对值不等式的解法，不等式有解问题，考察转化思想，是一道中档题．
