数学卷·2018届江西省上饶市德兴一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届江西省上饶市德兴一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省上饶市德兴一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）‎ A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2‎ C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2‎ ‎2．“x＞1”是“（x+2）＜0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f2015（0）=（　　）‎ A．﹣2015 B．2015 C． D．﹣‎ ‎4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是61，则m的值是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎5．某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（　　）‎ A．474种 B．77种 C．462种 D．79种 ‎6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎7．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+…+a11的值为（　　）‎ A．0 B．2 C．255 D．﹣2‎ ‎9．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎11．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎12．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院，丙、丁两名医生也不安排在同一医院，则不同的分配方法总数为（　　）‎ A．36 B．72 C．84 D．108‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为　　．‎ ‎14．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎16．若n是7777﹣10除以19的余数，则的展开式中的常数项为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题包括6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．‎ ‎（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？‎ ‎（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎19．设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n．‎ ‎（1）当m=n=5时，若，求a0+a2+a4的值；‎ ‎（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．‎ ‎20．如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：‎ ‎①从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止 ‎②每次只向右或向下按路线运行 ‎③在每个路口向下的概率 ‎④到达P时只向下，到达Q点只向右 ‎（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率，求海宝过点从A经过N到点C的概率；‎ ‎（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望．‎ ‎21．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）‎ ‎（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．‎ ‎（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）当x≥1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省上饶市德兴一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）‎ A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2‎ C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．“x＞1”是“（x+2）＜0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】充要条件．‎ ‎【分析】解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：由“（x+2）＜0”‎ 得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，‎ 故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn ‎（x）]′，n∈N．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f2015（0）=（　　）‎ A．﹣2015 B．2015 C． D．﹣‎ ‎【考点】归纳推理；导数的运算．‎ ‎【分析】根据归纳推理进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f1（x）=，‎ f2（x）=，‎ f3（x）=，‎ ‎…，‎ 照此规律，‎ f2015（x）=，‎ 则f2015（x）==2015，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是61，则m的值是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是61时，m的值．‎ ‎【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=‎ 个，‎ ‎61是从3开始的第30个奇数 当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个 当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个 所以m=8‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（　　）‎ A．474种 B．77种 C．462种 D．79种 ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案．‎ ‎【解答】解：使用间接法，‎ 首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A93=504种排法，‎ 其中上午连排3节的有3A33=18种，‎ 下午连排3节的有2A33=12种，‎ 则这位教师一天的课表的所有排法有504﹣18﹣12=474种，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ K S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4‎ 故答案选A．‎ ‎　‎ ‎7．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求得正方形的面积，则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH ‎，根据几何概率概率公式可知：P（M）=，即可求得满足|PH|＜的概率．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．‎ 设“满足|PH|＞的正方形内部的点P的集合”为事件M，‎ 则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2××1×1+×××=1+，‎ ‎∴P（M）==+．‎ 故满足|PH|＜的概率为+．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+…+a11的值为（　　）‎ A．0 B．2 C．255 D．﹣2‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】用赋值法，在所给的等式中，分别令x=1和2，即可求出对应的值．‎ ‎【解答】解：在（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11中，‎ 令x=1，得（1+1）×（1﹣2）9=a0，即a0=﹣2；‎ 令x=2，得a0+a1+a2+…+a11=0，‎ ‎∴a1+a2+a3…+a11=2‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．‎ ‎【解答】解：作出平面区域如图所示：‎ ‎∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．‎ 联立方程组，解得A（2，1），‎ 联立方程组，解得B（1，2）．‎ 两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．‎ ‎∴平行线间的距离为d==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=‎ 为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，‎ 又∵g（﹣x）====g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0，‎ ‎∴函数g（x）的图象性质类似如图：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1，4]，求出f（x）=﹣x在x∈[1，4]的最大值即可．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，‎ 等价于a＜，x∈[1，4]；‎ 设f（x）=﹣x，x∈[1，4]，‎ 则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，‎ 且当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=1；‎ 所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院，丙、丁两名医生也不安排在同一医院，则不同的分配方法总数为（　　）‎ A．36 B．72 C．84 D．108‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，名医生可以分为（2，2，1）和（3，1，1）两种分法，根据分类计数原理可得 ‎【解答】解：①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有： =90种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有+4=30种；故不同的分配方法是90﹣30=60种 ‎②有二所医院分1人另一所医院分3人．有=24种．‎ 根据分类计数原理得，故不同的分配方法总数60+24=84．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为　3　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据系统抽样的特点，求出组距是20，再计算样本数据落入区间[61，120]的人数．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样的特点，得；‎ 组距应为840÷42=20，‎ ‎∴抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为 ‎÷20=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　8　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．‎ ‎【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，‎ 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，‎ 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．‎ 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，‎ 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，‎ 得ax2+ax+2=0，‎ 又a≠0，两线相切有一切点，‎ 所以有△=a2﹣8a=0，‎ 解得a=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，‎ 对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，‎ 即，解得﹣＜m＜0，‎ 故答案为：（﹣，0）．‎ ‎　‎ ‎16．若n是7777﹣10除以19的余数，则的展开式中的常数项为　　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】利用二项式定理求得7777﹣10除以19的余数为n=10，再在的展开式的通项共公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．‎ ‎【解答】解：又由7777﹣10=（76+1）77﹣10=C7707677+C7717676+C7727675+…+C777676+1﹣10，‎ 故7777﹣10除以19的余数为﹣9，即7777﹣10除以19的余数为10，可得n=10．‎ ‎∴则=的展开式的通项共公式为Tr+1=•（﹣1）‎ r••，‎ 令﹣10=0，求得r=6，∴展开式中的常数项为•=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题包括6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；‎ ‎（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，‎ 根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，‎ 也就是1﹣a≥0，解得a≤1，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]； ‎ ‎（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，‎ 命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．‎ ‎∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，‎ ‎∴命题p与命题q必然一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假时，，‎ 当命题p为假，命题q为真时，，‎ 综上：a＞1或﹣2＜a＜1．‎ ‎　‎ ‎18．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．‎ ‎（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？‎ ‎（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）为保证“恰有一个盒内不放球”，先选一个盒子，再将4个球分成2，1，1三组，然后全排列，由分步乘法计数原理，可得结论；‎ ‎（2）“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，由此可得结论；‎ ‎（3）先从四个盒子中任意拿走两个，有种方法．然后问题转化为：“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有几种放法？”从放球数目，进行分类讨论，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）为保证“恰有一个盒内不放球”，先选一个盒子，有种方法；再将4个球分成2，1，1三组，有种分法，然后全排列，由分步乘法计数原理，共有种放法，故共有=144种放法；‎ ‎（2）“恰有一个盒内有2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，共有=144种放法；‎ ‎（3）先从四个盒子中任意拿走两个，有种方法．然后问题转化为：“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为3，1和2，2两类：‎ 第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；‎ 第二类：有种放法．‎ 由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有（+）=84放法．‎ ‎　‎ ‎19．设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n．‎ ‎（1）当m=n=5时，若，求a0+a2+a4的值；‎ ‎（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5，令x=0时，x=2时，代入相加即可得出．‎ ‎（2）由题意可得： =m+n=9．x2系数===+．利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5，令x=0时，f（0）=a5+a4+…+a1+a0=2，‎ 令x=2时，f（0）=﹣a5+a4+…﹣a1+a0=2×35，‎ 相加可得：a0+a2+a4==244．‎ ‎（2）由题意可得： =m+n=9．‎ x2系数=====+．‎ 又m，n∈N，∴m=4或5，其最小值为16．‎ 即或时，x2系数的最小值为16．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：‎ ‎①从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止 ‎②每次只向右或向下按路线运行 ‎③在每个路口向下的概率 ‎④到达P时只向下，到达Q点只向右 ‎（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率，求海宝过点从A经过N到点C的概率；‎ ‎（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）由题意，向下概率为，则向右概率为1﹣=．从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，可求其概率，同理可求海宝过点从A经过N到点C的概率；‎ ‎（2）求出X=1，X=2，X=3相应的概率，从而可求随机变量X的分布列及期望．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，向下概率为，则向右概率为1﹣=．‎ 从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，其概率为；‎ 从A过N到C，概率为 ‎（2）P（X=1）=（）3+（）2×==；P（X=2）=（）2（）2=；P（X=3）=（）3+（）2×==，‎ ‎∴E（X）=+×2+×3==‎ ‎　‎ ‎21．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）‎ ‎（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．‎ ‎（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图进行求解即可．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．‎ ‎（Ⅲ）利用独立性检验进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间 超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）当x≥1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求导数得f′（x）=+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=，且f（1）=，联立方程组，求出a，b的值即可．‎ ‎（2）由（1）知，不等式等价于lnx﹣+＜0，参变分离为k＜﹣xlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=+b．‎ ‎∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为，且曲线y=f（x）过点（1，f（1）），‎ ‎∴即，‎ 解得a=1，b=﹣； ‎ ‎（2）由（1）得当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，‎ 即lnx﹣+＜0，等价于k＜﹣xlnx．‎ 令g（x）=﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．‎ 令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=1﹣，‎ 当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．‎ 从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 故g（x）＞g（1）=，‎ 因此，当x＞1时，k＜﹣xlnx恒成立，则k≤‎ ‎∴k的取值范围是（﹣∞，]．‎ ‎　‎ ‎2017年1月25日