2020届二轮复习离散型随机变量学案（全国通用）
离散型随机变量
把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，如果随机变量所有取值可以一一列出，则称离散型随机变量．我们可以通过离散型随机变量的分布列及均值、方差等来研究随机现象，从而解决一些简单的实际问题．
离散型随机变量的概念
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable）．
随机变量常用字母 X，Y， ξ，η ， ⋯ 表示．如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．
独立重复试验与二项分布
· 独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验，称为 n 次独立重复试验（independent and repeated trials）．
· 二项分布
一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则
PX=k=Cnkpk1-pn-k,k=0,1,2,⋯,n.
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X∼Bn,p，并称 p 为成功概率．
离散型随机变量的分布列
· 离散型随机变量的分布列的概念
一般地，若离散型随机变量 ξ 可能取的不同值为 x1，x2，⋯， xi，⋯，xn，X 取每一个值 xi（i=1，2 ，⋯，n ）的概率 PX=xi=pi，以表格的形式表示如下：
Xx1x2⋯xi⋯xnPp1p2⋯pi⋯pn
上表称为离散型随机变量 X 的概率分布列（probability distribution series），简称为 X 的分布列（distribution series）．有时为了简单起见，也用等式 PX=xi=pi ， i=1，2 ， ⋯，n 表示 X 的分布列．
· 离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）pi⩾0, i=1,2,⋯,n；
（2）i=1npi=1．
· 两点分布
X01P1-pp
若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布（two-point distribution），并称 p=PX=1 为成功概率．
· 超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则
PX=k=CMkCN-Mn-kCNn,k=0,1,2,⋯,l,
即
X01⋯lPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNn⋯CMlCN-Mn-lCNn
其中 l=minM,n，且 n⩽N，M⩽N，n，M，N∈N*．如果随机变量 X 的分布列具有上表形式，则称随机变量 X 服从超几何分布（hypergeometric distribution）．
离散型随机变量的数字特征
· 离散型随机变量的均值
①一般地，若离散型随机变量的分布列为
Xx1x2⋯xi⋯xnPp1p2⋯pi⋯pn
则称
EX=x1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpn
为随机变量 X 的均值（mean）或数学期望（mathematical expectation）．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．②若 Y=aX+b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量．因为
PY=axi+b=PX=xi,i=1,2,⋯,n,
所以， Y 的分布列为
Yax1+bax2+b⋯axi+b⋯axn+bPp1p2⋯pi⋯pn
于是，
EX=ax1+bp1+ax2+bp2+⋯+axi+bpi+⋯+axn+bpn=ax1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpn+bp1+p2+⋯+pn=aEX+b.
即
EaX+b=aEX+b.
③一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 EX=p；如果 X∼Bn,p，那么 EX=np．
· 离散型随机变量的方差
① 设离散型随机变量 X 的分布列为
Xx1x2⋯xi⋯xnPp1p2⋯pi⋯pn
则 xi-EX2 描述了 xi（ i=1，2，⋯，n）相对于均值 EX 的偏离程度．而
DX=i=1nxi-EX2pi
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度．我们称 DX 为随机变量 X 的方差（variance），并称其算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差（standard deviation）．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程
度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．② 若 X 服从两点分布，则 DX=p1-p；若 X∼Bn,p，则 DX=np1-p．③ DaX+b=a2DX．
精选例题
离散型随机变量
1. 马老师从课本上抄录了一个随机变量的概率分布列如下表，请小牛同学计算数学期望．尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案 Eɛ= ．
x123Pɛ=x?!?
【答案】 2
2. 设非零常数 d 是等差数列 x1，x2，⋯，x19 的公差，随机变量 ξ 等可能地取值 x1，x2，⋯，x19，则方差 Dξ= ．
【答案】 30d2
3. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c，且 a,b,c∈0,1，已知他投篮一次得分的数学期望为 1（不计其他得分情况），则 ab 的最大值为 ．
【答案】 124
【分析】 由已知 3a+2b+0×c=1，得 3a+2b=1，
则 ab=16⋅3a⋅2b⩽16×3a+2b24=124，
当且仅当 a=16，b=14 时等号成立．
4. 离散型随机变量 X 的概率分布规律为 PX=n=ann+1n=1,2,3,4，其中 a 是常数，则 P12
2=0.5;
X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务
所需的时间超过 1 分钟或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟，所以
PX=1=PY=1PY>1+PY=2=0.1×0.9+0.4=0.49;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以
PX=2=PY=1PY=1=0.1×0.1=0.01,
所以 X 的分布列为
X012P0.50.490.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
解法二：X 所有可能的取值为 0,1,2．
X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以
PX=0=PY>2=0.5;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以
PX=2=PY=1PY=1=0.1×0.1=0.01;PX=1=1-PX=0-PX=2=0.49,
所以 X 的分布列为
X012P0.50.490.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
20. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．
(1)求这 4 个人中恰有 2 个人去参加甲游戏的概率；
【解】 每个人参加甲游戏的概率为 13，参加乙游戏的概率为 23，
设“ 4 个人中恰有 2 个人去参加甲游戏”为事件 A，
则 PA=C42132232=827．
所以这 4 个人中恰有 2 个人去参加甲游戏的概率为 827．
(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
【解】 设“ 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，
其中包含事件 B1：“ 3 人参加甲游戏，1 个人参加乙游戏”和事件 B2：“ 4 个人均参加甲游戏”，
B1 和 B2 互斥．
PB=PB1+PB2=C43133⋅231+C44134230=19．
所以 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 19．
离散型随机变量的概念
1. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设所选 3 人中女生人数为 X，则 x⩽1 的概率是 ．
【答案】 45
2. 在 10 件产品中有 8 件正品，每次取 1 件，取后放回，共取 3 次，设取到的正品个数为 ξ，则 ξ 的可能取值有 ．
【答案】 0，1，2，3
3. 在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，则 PX=4= ．（用数字表示）
【答案】 140429
【分析】 PX=4=C74C86C1510=140429
4. 投掷两颗骰子，所得点数之和记为 ξ ，则 ξ=6 表示的试验结果是 ．
【答案】 一颗 1 点，另一颗 5 点；一颗 2 点，另一颗 4 点；两颗都是 3 点
5. 已知 Y=2X 为离散型随机变量，Y 的取值范围为 1,2,3,4,⋯,10，则 X 的取值范围为 ．
【答案】 12,1,32,2,52,3,72,4,92,5
【分析】 由 Y=2X，得 X=Y2，依次代入 Y 值可得 X 值．
6. 投掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为 X．写出随机变量 X 的可能取值的集合，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
【解】 X 的可能取值的集合为 2,3,4,⋯,12．
若以 i,j 表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得 i 点、骰子乙得 j 点，则
X=2 表示 1,1；
X=3 表示 1,2，2,1；
X=4 表示 1,3，2,2，3,1；
⋯；
X=12 表示 6,6．
其中 i=1,2,3,4,5,6，j=1,2,3,4,5,6．
7. 写出下列各随机变量可能的取值．
(1)小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为 100 元、 260 元
和 600 元，记他的旅费为 X ；
【解】 X=100,260,600;
(2)正方体的骰子，各面分别刻着 1,2,3,4,5,6 ，随意掷两次，所得的点数之和 X ．
【解】 X=2,3,4,⋯,12 ．
8. 一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，每抽到一个白球加 5 分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上 6 分，求最终得分 Y 的可能取值，并判定 Y 的随机变量类型．
【解】 记任取 3 次，取到白球的次数为 X，由题意可得 Y=5X+6，而 X 的可能取值为 0，1，2，3，
所以 Y 对应的各值为 5×0+6，5×1+6，5×2+6，5×3+6．
故 Y 的可能取值为 6，11，16，21．显然，Y 为离散型随机变量．
9. 摇奖器中有 10 个小球，其中 8 个小球上标有数字 2，2 个小球上标有数字 5，现摇出 3 个小球，规定所得奖金（元）为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能奖金数及相应的概率．
【解】 设此次摇奖的奖金数额为 ξ 元，ξ 取值为 6,9,12．
所以可能获得奖金数分别为 6,9,12 元．
当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时，ξ=6；
当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2，1 个标有数字 5 时，ξ=9；
当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2，2 个标有数字 5 时，ξ=12．
所以 Pξ=6=C83C103=715；
Pξ=9=C82C21C103=715；
Pξ=12=C81C22C103=115．
10. 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)盒中装有 6 支白粉笔和 2 支红粉笔，从中任意取出 3 支，其中所含白粉笔的支数为 ξ，所含红粉笔的支数为 η；
【解】 ξ 可取 1，2，3．
ξ=i 表示取出 i 支白粉笔，3-i 支红粉笔，其中 i=1,2,3．
η 可取 0,1,2．
η=i 表示取出 i 支红粉笔，3-i 支白粉笔，其中 i=0,1,2．
(2)从 4 张已编号（1号∼4号）的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片号数之和为 ξ；
【解】 ξ 可取 3，4，5，6，7．其中，
ξ=3 表示取出分别标有 1，2 的两张卡片；
ξ=4 表示取出分别标有 1，3 的两张卡片；
ξ=5 表示取出分别标有 1，4，或 2，3 的两张卡片；
ξ=6 表示取出分别标有 2，4 的两张卡片；
ξ=7 表示取出分别标有 3，4 的两张卡片．
(3)离开天安门的距离 η；
【解】 η 可取 0,+∞ 中的数．
η=k 表示离开天安门的距离为 kkm．
(4)袋中有大小完全相同的红球 5 个，白球 4 个，从袋中任意取出一个球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数 ξ．
【解】 ξ 可取所有的正整数．
ξ=i 表示前 i-1 次取出红球，而第 i 次取出白球，这里 i=1,2,3,⋯．
独立重复试验与二项分布
1. 将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 ．
【答案】 1132
【解】 依题意得，所求的概率等于
C64⋅126+C65⋅126+C66⋅126=1132.
2. 设 3 次独立重复试验中，事件 A 发生的概率相等，若已知 A 至少发生一次的概率等于 1927，则事件 A 在一次试验中发生的概率是 ．
【答案】 13
3. 设一射手平均每射击 10 次中靶 4 次，在 5 次射击中击中 1 次的概率是 ；第二次击中的概率是 ；击中两次的概率是 ．
【答案】 0.2592；0.4；0.3456．
【分析】 P51=C510.4×0.64=0.2592；0.4；P52=C520.42×0.63=0.3456．
4. 某气象站天气预报的准确率为 80%，则 3 次预报中恰有 2 次准确，并且第二次预报准确的概率为 ．
【答案】 0.256
5. 设随机变量 ξ 服从二项分布，即 ξ∼Bn,p，且 Eξ=3，p=17，则 n= ，Dξ= ．
【答案】 21；187
6. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；
【解】 记事件 A1=从甲箱中摸出的1个球是红球，A2=从乙箱中摸出的1个球是红球，B1=顾客抽奖1次获一等奖，B2=顾客抽奖1次获二等奖，C=顾客抽奖1次能获奖．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1A2 与 A1A2 互斥，B1 与 B2 互斥，且 B1=A1A2，B2=A1A2+A1A2，C=B1+B2．
因 PA1=410=25，PA2=510=12，
所以 PB1=PA1A2=PA1PA2=25×12=15，
PB2=PA1A2+A1A2=PA1A2+PA1A2=PA11-PA2+1-PA1PA2=25×1-12+1-25×12=12,
故所求概率为 PC=PB1+B2=PB1+PB2=710．
(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X⩾2 的概率．
【解】 顾客抽奖 3 次独立重复实验，由（1）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 15，
所以 X∼B3,15．
则 PX⩾2=PX=2+PX=3=C32152451+C33153450=12125+1125=13125．
7. 某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25 ，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ，至少应射击几次？
【解】 设使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ，应射击 n 次．
记事件 A= "射击一次，击中目标"，则 PA=0.25 ．
因为射击 n 次相当于 n 次独立重复试验，
所以事件 A 至少发生 1 次的概率为
P=1-Pn0=1-0.75n.
由题意，令 1-0.75n⩾0.75 ，得
34n⩽14.
所以 n⩾lg14lg34≈4.82 ，所以 n 至少取 5 ．
答：使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ，至少应射击 5 次．
8. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7，0.6 和 0.5．
(1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
【解】 设 Ak 表示“第 k 人命中目标”，k=1,2,3．
这里，A1，A2，A3 独立，且 PA1=0.7，PA2=0.6，PA3=0.5．
从而，至少有一人命中目标的概率为
1-PA1⋅A2⋅A3=1-PA2PA2PA3=1-0.3×0.4×0.5=0.94.
恰有两人命中目标的概率为
PA1⋅A2⋅A3+A1⋅A2⋅A3+A1⋅A2⋅A3=PA1⋅A2⋅A3+PA1⋅A2⋅A3+PA1⋅A2⋅A3=PA1PA2PA3+PA1PA2PA3+PA1PA2PA3=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44.
所以至少有一人命中目标的概率为 0.94，恰有两人命中目标的概率为 0.44．
(2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
【解】 设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次独立重复试验．
又已知在每次试验中事件"命中目标"发生的概率为 0.7，故所求概率为
P32=C320.720.3=0.441.
所以他恰好命中两次的概率为 0.441．
9. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A=a1a2a3a4a5 ，其中 A 的各位数中， a1=1 ， akk=2,3,4,5 出现 0 的概率为 13 ，出现 1 的概率为 23 ．记 ξ=a1+a2+a3+a4+a5 ，当程序运行一次时，
(1)求 ξ=3 的概率；
【解】 已知 a1=1 ，要使 ξ=3 ，只需后四位中出现 2 个 1 和 2 个 0 ．
所以Pξ=3=C42232132=827 ．
(2)求 ξ 的分布列．
【解】 令 η=a2+a3+a4+a5 ，所以 η=0,1,2,3,4 ．
易知 η∼B4,23 ， ξ=n+1 ，
所以ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5 ．
Pξ=1=Pη=0=C40230134=181.Pξ=2=Pη=1=C41231133=881.Pξ=3=Pη=2=C42232132=827.Pξ=4=Pη=3=C43233131=3281.Pξ=5=Pη=4=C44234130=1681.
所以ξ 的分布列为
ξ12345P18188188132811681
10. 排球比赛的规则是 5 局 3 胜制，A、B 两队每局比赛获胜的概率分别为 23 和 13．
(1)前 2 局中 B 队以 2∶0 领先，求最后 A、B 队各自获胜的概率；
【解】 设最后 A 队获胜的概率为 P1，最后 B 队获胜的概率为 P2．则 P1=C33233=827．
P2=13+23×13+23×23×13=1927（或 P2=1-P1=1927）．
(2)求 B 队以 3∶2 获胜的概率．
【解】 设 B 队以 3∶2 获胜的概率为 P3，则
P3=C42232132×13=881．
离散型随机变量的分布列
1. 已知某随机变量 ξ 的分布列为
ξ0123P0.1ab0.1
且 Eξ=1.5，则 a= ，b= ．
【答案】 0.4；0.4
2. 设随机变量 ξ 只能取 x1,x2 两个值，又知道 ξ 取 x1 的概率是取 x2 的概率的 3 倍，则 Pξ=x1= ．
【答案】 0.75
3. 若随机变量 X 的分布列如下表：
X-101Pabc
其中 a，b，c 成等差数列，则 P∣X∣=1= ．
【答案】 23
4. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 23，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 X 为该毕业生得到面试的公司个数．若 PX=0=112，则随机变量 X 的数学期望 EX= ．
【答案】 53
【解】 因为 PX=0=112，所以
13(1-p)2=112,
解得 p=12．所以随机变量 X 的分布列为
X0123P1121351216
所以 EX=53．
5. 某离散型随机变量 ξ 的所有可能值为 1,2,3,4,5,6，且 Pξ=k=ak，k=1,2,3,4,5,6，若 Pξ=b=27，则 b= ．
【答案】 6
6. 设 10 件产品中有 3 件次品，7 件正品，现从中抽取 5 件，求抽得次品件数 ξ 的分布列．
【解】 ξ 的可能取值有 0，1，2，3．
ξ=0 表示取出的 5 件产品全是正品．，
Pξ=0=C75C105=112；
ξ=1 表示取出的 5 件产品中 4 件是正品 1 件是次品，
Pξ=1=C31C74C105=512；
ξ=2 表示取出的 5 件产品中 3 件是正品 2 件是次品，
Pξ=2=C32C73C105=512；
ξ=3 表示取出的 5 件产品中 2 件是正品 3 件是次品，
Pξ=3=C33C72C105=112；
所以，ξ 的分布列为：
ξ0123P112512512112
7. 设随机变量 ξ 所有可能取值为 1,2,3,4，且已知概率 Pξ=k 与 k 成正比，求 ξ 的分布列．
【解】 Pξ=k=ak（a 为常数），由分布列的性质有
a+2a+3a+4a=1,
解得 a=110，Pξ=k=k10.
因此 ξ 的分布列为：
ξ1234Pξ=k1101531025
8. 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得 1 分，取出黄球得 0 分，取出绿球得 -1 分，试写出从该盒中取出一球所得分数 X 的分布列，并求出所得分数不为 0 的概率．
【解】 欲写出 X 的分布列，要先求出 X 的所有取值，以及 X 取每一值时的概率．
设黄球的个数为 n ，由题意知
绿球个数为 2n ，红球个数为 4n ，盒中的总数为 7n ．
∴ PX=1=4n7n=47 ，
PX=0=n7n=17 ，
PX=-1=2n7n=27 ．
所以，从该盒中随机取出一球所得分数 X 的分布列为
X10-1P471727
所得分数不为 0 的概率 PX≠0=PX=1+PX=-1=67 ．
9. 从一批有 13 只正品、 2 只次品的产品中，不放回的抽取 3 次，每次抽取 1 只，设抽得次品数为 ξ，求 ξ 的分布列．
【解】 抽得次品数 ξ 服从参数 N=15，M=2，n=3 的超几何分布，ξ 的取值为 0，1，2 且
Pξ=0=C20C133C153=2235,Pξ=1=C21C132C153=1235,Pξ=2=C22C131C153=135.
所以 ξ 的分布列为
ξ012P22351235135
10. 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布列．
【解】 以 ξ 表示在取得合格品以前取出的废品数，则 ξ 是一随机变量，它能取的可能值是 0，1，2，3．
它取得这些数值的概率分别是
Pξ=0=912=34，
Pξ=1=312×911=944，
Pξ=2=312×211×910=9220，
Pξ=3=312×211×110=1220．
分布列为：
ξ0123P3494492201220
离散型随机变量的数字特征
1. 已知随机变量 ξ 的分布列为
ξ12345P0.10.20.40.20.1
则 Eξ= ，Dξ= ．
【答案】 3；1.2
【分析】 Eξ=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.1=3，
Dξ=1-32×0.1+2-32×0.2+3-32×0.4+4-32×0.2+5-32×0.1=1.2．
2. 已知一盒子中有散落的围棋棋子 10 粒，其中 7 粒黑子，3 粒白子，从中任意取出 2 粒，若 ξ 表示取得白子的个数，则 Eξ 等于 ．
【答案】 0.6
【分析】 含有 3 粒白子的 10 粒棋子中，任取 2 粒棋子，则取得白子的个数 ξ 服从超几何分布，即 ξ∼Hn,M,N，其中 N=10，M=3，n=2，因此
Eξ=n×MN=2×310=0.6.
3. 从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ．
【答案】 353
4. 已知某随机变量 X 的分布列如下 a∈R：
X123P1213a
则随机变量 X 的数学期望 EX= ，方差 DX= ．
【答案】 53；59
5. 随机变量 X 服从参数为 13 的二点分布，则 EX= ，DX= ．
【答案】 13；29
6. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X 和 Y，且 X,Y 的分布列分别为：
X123Pa0.10.6
Y123P0.3b0.3
(1)求 a，b 的值；
【解】 根据分布列的性质，a=0.3，b=0.4．
(2)计算 X，Y 的期望与方差，并据此分析甲、乙二人的技术状况．
【解】 随机变量 X 的期望和方差分别为
EX=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3，
DX=1-2.32×0.3+2-2.32×0.1+3-2.32×0.6=0.81．
随机变量 Y 的期望和方差分别为
EY=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2，
DY=1-22×0.3+2-22×0.4+3-22×0.3=0.6．
根据计算结果 EX>EY，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高；
但 DX>DY，说明甲得分的稳定性不如乙，
因此，两人的技术都不够全面．
7. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标以数 2．将这个小正方体抛掷两次，求向上的数之积的数学期望．
【解】 设向上的数之积为 ξ，则 ξ 可能的取值为 0,1,2,4．
将这个小正方体抛掷一次，向上的数是 0 的概率为 36=12，是 1 的概率为 26=13，是 2 的概率为 16，
∴Pξ=0=1-1-121-12=34，
Pξ=1=13×13=19，
Pξ=2=13×16+16×13=19，
Pξ=4=16×16=136．
∴Eξ=0×34+1×19+2×19+4×136=49．
8. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A 、 B 、 C 、 D 四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A 、 B 、 C 、 D 分别加 1 分、 2 分、 3 分、 6 分，答错任一题减 2 分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题 A 、 B 、 C 、 D 顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题 A 、 B 、 C 、 D 回答正确的概率依次为 34,12,13,14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；
【答案】 甲同学能进入下一轮的概率为 14．
【分析】 甲同学能进入下一轮的情况有：答对前三道（不需要答第四道题了）、只答错第一道、只答错第二道、只答错第三道以及答错第一、三道答对二、四道题这五种情况．
【解】 设 A 、 B 、 C 、 D 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，A 、 B 、 C 、 D 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：
PA=34,PB=12,PC=13,PD=14,
所以
PA=14,PB=12,PC=23,PD=34.
记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q．则
Q=ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.
因为每题结果相互独立．所以
PQ=PABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=PAPBPC+PAPBPCPD+PAPB⋅PCPD+PAPBPCPD+PAPBPC⋅PD=34×12×13+34×12×13×14+34×12×23×14+14×12×13×14+14×12×23×14=14.
(2)用 ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ．
【答案】 ξ 的分布列为
ξ234P183812
数学期望
Eξ=278.
【分析】 考查随机变量的分布列和数学期望．
【解】 由题意知，随机变量 ξ 的可能取值为：2,3,4 ，则
Pξ=2=PAB=14×12=18,Pξ=3=PABC+ABC=34×12×13+34×12×23=38,Pξ=4=1-Pξ=2-Pξ=3=1-18-38=12.
因此 ξ 的分布列为
ξ234P183812
所以
Eξ=[a]2×18+3×38+4×12=278.
（推导中用的 [a] ．）
9. 甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测 5 个零件，结果分别如下：
ξ甲2829303132P0.10.150.500.150.10
ξ乙2829303132P0.130.170.400.170.13
试比较他们的加工水平．
【解】 不难求得 Eξ甲=30,Eξ乙=30，可见他们的平均值（期望）相同．谁的质量更好些呢？下面计算他们的方差
Dξ甲=28-302×0.1+29-302×0.15+30-302×0.5+31-302×0.15+32-302×0.10=1.1;Dξ乙=28-302×0.13+29-302×0.17+30-302×0.40+31-302×0.17+32-302×0.13=1.38.
由 Dξ甲0，解得 p<8725．
所以当 04 ”表示的试验结果是 ．
7. A 、 B 两工人在同样条件下每天生产的产品件数相同，而两人生产出的次品个数分布列分别为
A:ξA01234P0.40.20.20.10.1
B:ξB0123P0.30.30.20.2
根据优胜劣汰，竞争上岗的原则，A 、 B 中已经有一个待岗了，你认为应该是 ．
8. 下列关于随机变量的说法正确的是 ．
① 随机变量是随机试验结果到实数的映射；
② 随机变量是将随机试验的结果数量化；
③ 随机变量作为一个变量，是没有取值范围的；
④ 随机变量 X 取每个值 xi 的概率 PX=xi 等于其相应随机事件 Ai 发生的概率 PAi．
9. 掷两颗骰子，当至少有一个 1 点或 2 点出现时，称这次试验成功．ξ 表示 20 次试验中成功的次数，则 Eξ= ；Dξ= ．
10. 某同学进行了 2 次投篮(假定这两次投篮互不影响)，每次投中的概率都为 pp≠0 ，如果最多投中 1 次的概率不小于至少投中 1 次的概率，则 p 的取值范围为 ．
11. 巳知随机变量 X 的分布列为 PX=k=12k ,k=1,2,⋯，则 P24 ”表示的试验结果是 ．
15. 某人连续投篮，首次投中时的投篮次数 ξ 可能取的值是 ．
16. 设随机变量 ξ∼B3,13，则 Pξ=1=
17. 某车间的 5 台机床在 1 h 内需要工人照管的概率都是 14，则 1 h 内 5 台机床中至少有 2 台需要工人照管的概率是 ．
18. 甲乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方 1 号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜．假设每个队员的实力相当，则甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是 ．
19. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中任意地连续取出 2 件，其中次品 ξ 的概率分布是 ．
20. 某城市小汽车的普及率为 40%，即平均 10 个家庭中有 4 个家庭有小汽车，若从这个城市中任意选出 5 个家庭，则 2 个以上（含 2 个）的家庭有小汽车的概率为 ．
21. 设随机变量 ξ 的概率分布列为 Pξ=k=c2k，k=1，2，3，⋯，6，其中 c 为常数，则 Pξ⩽2 的值为 ．
22. 随机变量 ξ 的分布列为
ξ012345P192157458451529
则 ξ 为偶数的概率等于 ．
23. 设随机变量的分布列为 Pξ=k=k10k=1,2,3,4，则有 P12⩽ξ⩽52= ．
24. 随机变量 ξ 的概率分布规律为 Pξ=n=ann+1n=1,2,3,4，其中 a 是常数，则 P12<ξ<52 的值为 ．
25. 离散型随机变量 X 服从超几何分布，分布列为
X0123PC60C43C103C61C42C103C62C41C103C63C40C103
结合定义可得 N= ，n= ，M= ，PX⩾2= ．
26. 随机变量 ξ 的概率分布由下表给出：
x78910Pξ=x0.30.350.20.15
则该随机变量 ξ 的均值是 ．
27. 已知随机变量 ξ 的分布列为
ξ-101P121613
那么 ξ 的数学期望 Eξ= ，设 η=2ξ+1，则 η 的数学期望 Eη= ．
28. 已知离散型随机变量 X 的分布列如表：
X-1012Pabc112
若 EX=0，DX=1，则 a= ，b= ．
29. 下面说法中正确的是 ．
①离散型随机变量 ξ 的期望 Eξ 反映了 ξ 取值的平均水平；
②离散型随机变量 ξ 的方差 Dξ 反映了 ξ 取值的平均水平；
③离散型随机变量 ξ 的期望 Eξ 反映了 ξ 取值的波动水平；
④离散型随机变量 ξ 的方差 Dξ 反映了 ξ 取值的波动水平．
30. 某渔船要对下月是否出海作出决策．如出海后遇到好天气，可得收益 6000 元；如出海后天气变坏，将损失 8000 元；若不出海，无论天气如何都将承担 1000 元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率是 0.6，天气变坏的概率是 0.4，则该渔船选择 （填"出海"或 "不出海"）．
31. 分别写出下列各随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数为 ξ；
(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为 X，所得最大点数为 Y．
32. 下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生 50 人，成绩分为 1∼5 五个档次．例如表中所示英语成绩为 4 分且数学成绩为 2 分的学生共 5 人（设 x，y 分别表示英语成绩和数学成绩）．
(1)y=5 的概率是多少；x=4 且 y=3 的概率是多少；x⩾3 的概率是多少；
(2)x=2 的概率是多少；a+b 的值是多少；
(3)写出随机变量 X 的分布列，并求出期望．
33. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 110 和 p．
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4950，求 p 的值；
(2)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
34. 设 S 是不等式 x2-x-6⩽0 的解集，整数 m,n∈S ．
(1)记使得“ m+n=0 成立的有序数组 m,n ”为事件 A ，试列举 A 包含的基本事件；
(2)设 ξ=m2 ，求 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ ．
35. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令 ξ 表示走出迷宫所需的时间．
(1)求 ξ 的分布列；
(2)求 ξ 的数学期望．
36. A,B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 23，服用 B 有效的概率为 12．
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 ξ 的分布列和数学期望．
37. 在 12 个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以 ξ 和 η 分别表示取出次品和正品的个数．求 ξ 和 η 的期望值及方差．
38. 一个盒子中装有 5 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是 1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若从盒子中有放回地抽取 3 次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；
(2)若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数 X 的分布列和期望．
39. 甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往的比赛状况，每一局甲获胜的概率是 0.6，乙获胜的概率是 0.4，如果比赛采用三局两胜或五局三胜两种赛制，求在哪种赛制下，甲获胜的概率较大．
40. 甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X10123P0.30.30.20.2
乙保护区：
X2012P0.10.50.4
试评定这两个保护区的管理水平．
41. 写出下列随机变量的可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有数字 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中任取两张，所取卡片上的数字之和．
42. 某次产品要进行检验，在可能含有 5 件次品的 100 件产品中任意抽取 5 件，那么设其中含有次品的件数为 X，求 X 的可能取值及其意义．
43. 将一颗均匀正四面体的四个表面分别涂上黑、白、红、蓝四种不同的颜色，随机抛掷这个正四面体．
(1)考虑朝下一面的颜色，将所有可能的基本事件用随机变量表示；
(2)试确定这个随机变量的分布列，并用图象来表示；
44. 某省实验中学共有特级教师 10 名，其中男性 6 名，女性 4 名，现在要从中抽调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．
(1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且 4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女教师的概率；
(2)若抽到的女教师的人数为 ξ，求 Pξ⩽2．
45. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 13，从 B 中摸出一个红球的概率为 p．
(1)从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．（i）求恰好摸 5 次停止的概率；（ii）记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ．
(2)若 A 、 B 两个袋子中的球数之比为 1:2，将 A 、 B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 25，求 p 的值．
46. 有 A，B，C，D，E 共 5 个口袋，每个口袋装有大小和质量均相同的 4 个红球和 2 个黑球，现每次从其中一个口袋中摸出 3 个球，规定：若摸出的 3 个球恰为 2 个红球和 1 个黑球，则称为最佳摸球组合．
(1)求从口袋 A 中摸出的 3 个球为最佳摸球组合的概率；
(2)现从每个口袋中摸出 3 个球，求恰有 3 个口袋中摸出的球是最佳摸球组合的概率．
47. 袋中有大小相同的 4 个红球与 2 个白球，
(1)若从袋中不放回的依次取出一个球求第三次取出白球的概率；
(2)若从中有放回的依次取出一个球，记 6 次取球中取出红球的次数为 ξ，求 Pξ⩽4．
48. 已知一个袋子中有 3 个白球和 3 个红球，这些球除颜色外完全相同．
(1)每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数 ζ 的分布列和数学期望 Eζ；
(2)每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取 3 次，求取出红球次数 η 的数学期望 Eη．
49. 甲、乙两个篮球运动员投篮的命中率分别是 0.5 与 0.8，如果每人投篮 2 次．
(1)求甲投进两球且乙投进一球的概率；
(2)若投进一球得 1 分，未投进球得 0 分，求甲、乙得分相等的概率．
50. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%．生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元．设生产各种产品相互独立．
(1)记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；
(2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率．
51. 在超负载的工作状况下试验某种产品的质量，每件产品通过试验的概率为 0.8 且相互独立，试验中当遇到有经不住试验的产品时，立即停止试验，求试验次数的分布列．
52. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 ξ 的分布列．
53. 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，现连续射击 4 次，求击中目标次数 X 的分布列．
54. 某网店营销部门为了统计某市猴年春节期间在某网店购物情况，随机抽查了该市除夕当天 60 名网络购物金额情况，得到如下数据统计表（如图 1）．若购物金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 2 千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3:2．
网购金额单位:千元频数频率0,0.530.050.5,1xp1,1.590.151.5,2150.252,2.5180.302.5,3yq合计601
1
(1)试确定 x，y，p，q 的值并完成图 2；
(2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查．设 ξ 为选取的 3 人中“网购达人”的人数，求 ξ 的分布列和数学期望．
55. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A 、 B 、 C 进行围棋比赛，甲对 A 、乙对 B 、丙对 C 各一盘．已知甲胜 A 、乙胜 B 、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数，求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ．
56. 设 ξ 是离散型随机变量，其分布列如下表所示：
ξ-101P0.51-2qq2
求 q 的值，并求 Eξ．
57. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)写出 a，b，x，y 的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率；
(3)在（2）的条件下，设 ξ 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数，求 ξ 的分布列及其数学期望．
58. 某单位从一所学校招收某类特殊人才．对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人．由于部分数据丢失，只知道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 25．
(1)求 a，b 的值；
(2)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(3)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ．
59. 在 A 、 B 两只口袋中均有 2 个红球和 2 个白球，先从 A 袋中任取 2 个球转放到 B 袋中，再从 B 袋中任取 1 个球转放到 A 袋中，结果 A 袋中恰有 ξ 个红球．
(1)求 ξ=1 时的概率；
(2)求随机变量 ξ 的分布列及期望．
