重庆市2020届高三5月调研（二诊）考试数学（理）试题（含解析）

重庆市2020届高三5月调研（二诊）考试数学（理）试题（含解析）

5 月调研测试卷（理科数学）第 1页 共 8 页 2 0( )P K k≥ 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 6.635 7.879 10.828 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 理科数学 理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1． 已知集合 {2 3 5 7}A  ， ， ， ， 2{ | log ( 2) 1}B x x   ，则 A B  A．{2} B．{3} C．{2 3}， D．{3 5}， 2． 若复数 z 满足 ( i)i 2 iz    ，则| |z  A． 2 B． 2 C． 10 D．10 3． 下列说法正确的是 A．“若 2a  ，则 2 4a  ”的否命题为“若 2a  ，则 2 4a ≤ ” B．命题 p q 与 ( )p q  至少有一个为真命题 C．“ 20 2 2 0x x x   ， ≥ ”的否定为“ 20 2 2 0x x x    ， ” D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题 4． 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了 100 位英语学习者进行调查，经 过计算 2K 的观测值为 7 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是 附： A．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关 B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 D．在犯错误的概率不超过1% 的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5． 斐波那契数列，指的是这样一个数列：1 1 2 3 5 8 13 21 ， ， ， ， ， ， ， ， ，在数学上，斐波那契数列{ }na 定义如 下： 1 2 1 21 ( 3 )n n na a a a a n n Z     ， ≥ ， ．随着 n 的增大， 1 n n a a  越来越逼近黄金分割 5 1 0.6182   ， 故此数列也称黄金分割数列，而以 1na  、 na 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形” 的面积约为336 平方分米，则该长方形的长应该是 A．144厘米 B． 233厘米 C． 250 厘米 D．377 厘米 5 月调研测试卷（理科数学）第 2页 共 8 页 6． 在 3 101( )x x x  的展开式中，常数项为 A． 252 B． 45 C． 45 D． 252 7． 已知 0a b ， ， 2 2a b  ，则 1b a b  的取值范围是 A． (0 ) ， B．[2 ) ， C．[ 2 1 )  ， D．[2 2 ) ， 8． 函数 | |e x xy  的部分图象是 9． 定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足： 3 3( ) ( )4 4f x f x   ，且当 3(0 )4x ， 时， 2( ) log ( 1)f x x m   ，若 2(100) log 3f  ，则实数 m 的值为 A． 2 B．1 C． 0 D． 1 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p  的焦点为 F ，以 F 为圆心、 3p 为半径的圆交抛物线 E 于 P Q， 两点，以 线段 PF 为直径的圆经过点 (0 1)， ，则点 F 到直线 PQ 的距离为 A． 2 5 5 B． 2 3 3 C． 4 5 5 D． 2 3 11．已知 ABC 的面积为1，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，若 sin sin 2 sin sina A b B c B c C   ， 3 2cos cos 5B C  ，则 a  A． 5 2 B． 10 2 C． 5 D． 10 12．已知 A，B，C，D 四点均在球 O 的球面上， ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 D 在平面 ABC 上的射影 为 ABC 的中心， E 为线段 AD 的中点，若 BD  CE ，则球 O 的表面积为 A．36 B． 42 C．54 D． 24 6 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分橙子辅导。 13．已知向量 a  (2 m)  ， ， (1 2)a b   ， ，若 // ( 3 )a a b   ， 则实数 m  _________． 14．已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格 是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_________． O x y O x y O x y O x y A B C D 5 月调研测试卷（理科数学）第 3页 共 8 页 15．已知公差不为 0 的等差数列{ }na 中， 2 4 8a a a， ， 依次成等比数列，若 1 23 6 nb b ba a a a a ， ， ， ， ， ， 成等比数 列，则bn  ． 16. 若曲线 y  ax  2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答橙子辅导。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 已知函数 ( ) cos( 2 ) 2 3 cos 2 32f x x x    ． （1）求函数 ( )f x 的单调性； （2）在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ，且 ( ) 32 Af  ， 3a  ， 1c  ，求 ABC 的面积． 18．（12 分） 国庆 70 周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队， 筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[165 175]， 内．现从全体受阅女兵中随机抽取 200 人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165 167)， ，[167 169)， ，[169 171)， ，[171 173)， ，[173 175]， 五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为 75，最后三组的频率之和为 0.7 ． （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数 x 和方差 2s （同一组中的数据用该组区间 的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高 X (cm )近似服从正态分布 2( )N  ， ， 其中  近似为样本平均数 x ， 2 近似 为样本方差 2s ． （ⅰ）求 (167.86 174.28)P X  ； （ⅱ）若从全体受阅女兵中随机抽取10 人，求这10人中至少有1人的身高在174.28 cm 以上的概率． 参考数据：若 X ～ 2( , )N   ，则 ( ) 0.6826P X        ， ( 2 2 ) 0.9544P X        ， 115 10.7 ， 100.9544 0.63 ， 90.9772 0.81 ， 100.9772 0.79 ． 5 月调研测试卷（理科数学）第 4页 共 8 页 19．（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， //AB CD ， AB AP ， 3 4 5 6AB AD BC CD   ， ， ， ．过直线 AB 的平面分别交棱 PD PC， 于 E F， 两点． （1）求证： PD EF ； （2）若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 π 3 ，且 PA PD ， EF AB ， 求二面角 A BD F  的余弦值． 20．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 3 ，且点 2 3(1 )3 ， 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点 F 作斜率为1的直线与椭圆 C 交于 M N， 两点，点 P 满足 2OP OM （O 为坐标 原点），直线 NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若 NQ NP  ，求  的值． 21．（12 分） 已知函数 21( ) ln 2f x x ax  ， a R ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若不等式 1( ) e e 2 xf x a   对 (1 )x   ， 恒成立，求 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos 3 2sin x y        （ 为参数），以原点 O 为极点， x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (4sin 3cos ) a    ，且直线 l 与曲线C 有两个不同的交点． （1）求实数 a 的取值范围； （2）已知 M 为曲线 C 上一点，且曲线C 在点 M 处的切线与直线 l 垂直，求点 M 的直角坐标． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) 2| | | 2|f x x x   的最小值为 m ． （1）求 m 的值； （2）若实数 a b， 满足 2 2a b m  ，求 2 2 1 1 1 2a b   的最小值． P F C BA D E 5 月调研测试卷（理科数学）第 5页 共 8 页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 理科数学 参考答案 一、选择题 1～6 BCBDBC 7～12 CABCDC 第 7 题提示：由题知， 2 1 2 1 2 12 2 2 b a b b a b a a b a b a b        ≥ ，当且仅当 2 b a a b  即 2 2 2 2 2a b   ， 时等号成立，故选 C． 第 8 题提示：由 | |x xy e  为奇函数可排除 C 选项，当 0x  时， 1 x xy e   ，故 x xy e  在 (0 1)， 上单增，(1 ) ， 上单减，故选 A． 第 9 题提示：由 ( )f x 为奇函数知 3 3( ) ( )4 4f x f x    ， 3 3( ) ( )4 4f x f x     ，即 3( ) ( )2f x f x   ， 3( 3) ( ) ( )2f x f x f x      ， ( )f x 是周期为3 的周期函数， 故 2 1 3(100) (1) ( ) log2 2f f f m    ，即 2 2 3log log 32 m  ， 1m  ，故选 B． 第 10 题提示：由题知| | 32P pFP x p   ， 5 2Px p  ，设点 (0 1)A ， ，由题知 AP AF ，即 11 = 15 2 2 Py p p  - ， 5Py p - ， 2 5 5p  ，故所求距离为 5 4 5 2 2 5 p p  ，故选 C． 第 11 题提示：由 sin sin 2 sin sina A b B c B c C   得 2 2 22a b cb c   ，则 2 2 2 2cos 2 2 b c aA bc     ， 故 3 4A  ，由 cos cos( ) sin sin cos cosA B C B C B C     得 2sin sin 10B C  ， 由正弦定理知 2sin sin b c aB C   ，即 2 sin 2 sinb a B c a C ， ， 2 21 1 2 1sin 2 sin sin2 2 2 10S bc A a B C a      ， 所以 10a  ，故选 D． 第 12 题提示：设 ABC 的中心为G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ． 由题知 DG  平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ， 又 BD CE ， BD  平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥， DA DB DC ， ， 两两垂直， 故三棱锥 D ABC 可看作以 DA DB DC， ， 为棱的正方体的一部分， 二者有共同的外接球，由 6AB  得 3 2DA  ， 故正方体外接球直径为3 2 3 3 6  ， 所以球O 的表面积为 24 54R  ，故选 C． 二、填空题 13． 4 14． 945 2  15． 13 2n 16．[ 3 3] ， 5 月调研测试卷（理科数学）第 6页 共 8 页 第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 1 8 球， 如图所示， 31 4 93 3 5 3 458 3 2V           ． 第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 2 4 4 4( 2 )( 4 )a a d a d   ， 即 4 4a d ，故 1a d ， na nd  ， 3 63 6a d a d ， ， 故此等比数列首项为3d 、公比为 2 ， 因此 13 2n n ba d   ，故 13 2n nb   ． 第 16 题提示： 2sin [ 2 2]y a x a a     ， ，由题知在区间[ 2 2]a a ， 内存在两数之积为 1 ， 故只需 ( 2)( 2) 1a a  ≤ ，即 3 3a- ≤ ≤ ． 三、解答题 17．（12 分） 解：（1） ( ) sin 2 3(1 cos2 ) 3 2sin(2 )3f x x x x       ，……2 分 由 2 2 22 3 2k x k     ≤ ≤ 得 5 12 12k x k   ≤ ≤ ，……4 分 故 ( )f x 在 5[ ]12 12k k   ， 上单增，在 5 11[ ]12 12k k   ， 上单减， k Z ；……6 分 （2） ( ) 2sin( ) 32 3 Af A    ，则 3sin( )3 2A   ， (0 )A  ， ， 3 3A     ，即 2 3A  ，……8 分 由正弦定理得 1 3 sin 3 2 C  ， 1sin 2C  ， 6C   ，故 6B  ， 1 3sin2 4ABCS ac B   . ……12 分 18．（12 分） 解：（1）由题知五组频率依次为 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075， ， ， ， ， 故 0.1 166 0.2 168 0.375 170 0.25 172 0.075 174 170x            ， ……2 分 2 2 2 2 2(170 166) 0.1 (170 168) 0.2 (170 172) 0.25 (170 17 4) 0.075 4.6s              ；…4 分 （2）由题知 115170 4.6 2.145    ， = ， ……5 分 （ⅰ） 0.9544 0.6826(167.86 174.28) ( 2 ) 0.6826 0.81852P X P X              ， ……8 分 （ⅱ） 1 0.9544( 174.28) 0.02282P X    ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 10 101 (1 0.0228) 1 0.9772 1 0.79 0.21P         . ……12 分 19．（12 分） 解：（1） / /AB DC ， AB  平面 PDC ， //AB 平面 PDC ， 又面 ABFE  面 PDC EF ， / /AB EF ， 取 DC 中点G ，连接 BG ，则 ABGD 为平行四边形， 4BG  ，又 3 5GC BC ， ，故 90BGC   ， AD DC  ， AB AD  ，又 AB AP ， AB  平面 PAD ， EF  平面 PAD ， EF PD  ； ……6 分 y x O z G 5 月调研测试卷（理科数学）第 7页 共 8 页 （2）由（1）知CD  平面 PAD ， CPD 即为直线 PC 与平面 PAD 所成角， 3CPD   ， 6 3PD   ，即 2 3PD  ，又 1 2EF AB DC  ， E F ， 分别为 PD PC， 的中点，取 AD 中点O ，连接 PO ，则 PO AD ， 由CD  平面 PAD 可得CD PO ，故 PO  平面 ABCD ， ……7 分 以O 为原点，OA AB OP   ， ， 分别为 x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 (2 0 0) ( 2 0 0) (2 3 0)A D B， ， ， ， ， ， ， ， ， ( 2 6 0) (0 0 2 2)C P ， ， ， ， ， ， 故 ( 1 3 2) (4 3 0) (1 3 2)F DB DF   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 DBF 的法向量为 ( )m x y z ， ， ，则 4 3 0 3 2 0 x y x y z      ， 令 3x  得 9 2(3 4 )2m   ， ， ，……9 分 显然 (0 0 1)n  ， ， 是平面 ABD 的一个法向量， 9 2 92cos 131 131 2 m n    ， ， ……11 分 由题知二面角 A BD F  的余弦值为 9 131 131  ． ……12 分 20．（12 分） 解：（1）由题知 3 3 c a  ，故 2 2 2 3 b a  ，又 2 2 1 4 13a b   ， 2 3a  ， 2 2b  ， 所以椭圆C 的方程为 2 2 13 2 x y  ； ……4 分 （2）设 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y， ， ， ，由 2OP OM  得 1 1(2 2 )P x y， ， 由 NQ NP  得 2 2( )Q Qx x y y  ， 1 2 1 2(2 2 )x x y y  ， ， 1 2 1 22 (1 ) 2 (1 )Q Qx x x y y y         ， ，又点 Q 在椭圆C 上， 故 2 2 1 2 1 2[2 (1 ) ] [2 (1 ) ] 13 2 x x y y        ， 即 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 ( ) (1 ) ( ) 4 (1 )( ) 13 2 3 2 3 2 x y x y x x y y           ， 2 2 1 2 1 24 (1 ) 4 (1 )( ) 13 2 x x y y          ， ……8 分 由题知直线 : 1MN y x  ，与椭圆C 的方程联立得 25 6 3 0x x   ，则 1 2 1 2 6 3 5 5x x x x   ， ， 1 2 1 2 1 2 1 2 3 6 4( 1)( 1) ( ) 1 15 5 5y y x x x x x x              ，……10 分 2 1 25 2 4 (1 )( ) 05 5           ，解得 22 37   或 0 ， 又 N Q， 不重合， 0  ，故 22 37   . …12 分 5 月调研测试卷（理科数学）第 8页 共 8 页 21．（12 分） 解：（1） 21 1( ) axf x axx x     （ 0x  ），当 0a≥ 时 ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0 ) ， 上单增， 当 0a  时 1( ) 0 0f x x a       ， ( )f x 在 1(0 ) a ， 上单增，在 1( ) a    ， 上单减；……4 分 （2） 2 21 1 1 1ln ln 02 2 2 2 x xx ax e e a e ax x e a          ，令 21 1( ) ln2 2 xg x e ax x e a     ， (1) 0g  ， 1( ) xg x e ax x     ，若 (1) 0g  即 1a e  ，则存在 0 1x  使得当 0(1 ]x x ， 时 ( ) 0g x  ， ( )g x 单减， 0( ) (1) 0g x g   ，与题意矛盾，故 1a e ≤ ， ……7 分 当 1a e ≤ 时 ，  (1 )x  ， ， 2 1( ) 1 2xg x e a e ax        ≥ ， ( )g x 单 增 ， ( ) (1) 0g x g   ≥ ， ( )g x 单增， ( ) (1) 0g x g   ，符合题意， 1a e ≤ . ……12 分 22．（10 分） 解：（1）曲线C 的普通方程为 2 2( 2) ( 3) 4x y    ，直线l 的直角坐标方程为 4 3y x a  ，由直线l 与圆C 有 两个交点知 | 6 12 | 25 a   ，解得8 28a  ； ……5 分 （2）设圆C 的圆心为 1O ，由圆C 的参数方程可设点 0 0(2 2cos 3 2sin )M   ， ，由题知 1 / /O M l ， 0 0 4 3cos sin5 5     ， ，或 0 0 4 3cos sin5 5    ， ，故点 2 21( )5 5M ， ，或 18 9( )5 5 ， . ……10 分 23．（10 分） 解：（1） ( ) | | | | | 2 | | | | ( 2) | | | 2 2f x x x x x x x x        ≥ ≥ ，当且仅当 0x  时等号成立， 故 2m  ；……5 分 （2） 2 2 2a b  ，由柯西不等式得 2 2 2 2 2 1 1( )(1 2 ) (1 1)1 2 a ba b       ≥ ，当且仅当 2 23 1 2 2a b ， 时 等号成立， 2 2 2 2 1 1 4 4 1 2 3 5a b a b       ≥ ，故 2 2 1 1 1 2a b   的最小值为 4 5 . ……10 分