数学理卷·2019届河北省邯郸市永年县第二中学高二上学期10月月考（2017-10）
永年二中高二10月份月考理科数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
2．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.> B.>1
C．a2
0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件， 则( )
A．p假q真 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．p假q真
9．若不等式x2＋ax＋10对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－3
10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2
C. D．1
11．不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
12、我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，。①
第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an。则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于( )
A．n2 B． (n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个。
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________。
4．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为________。
16．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)。
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的通项公式an。
18．(本小题满分12分) 设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．(本小题满分12分)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.【来源：全,品…中&高*考+网】
已知2(tan A＋tan B)＝＋.
(1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值．
【来源：全,品…中&高*考+网】
22．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1,2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和．
【来源：全,品…中&高*考+网】
永年二中高二10月份月考理科数学试题答案
1．【解析】 取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C
2．【解析】 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则<，A错；<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D
3．解析：选C 全称命题的否定为特称命题．
4．【解析】 由题意易知选A.
5．【解析】∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a(an>0)，∴a8·a10·a12＝a＝64.答案 C
6．【解析】 ∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，∴sin B＝.
∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选 A.
【解析】 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅
当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.【答案】 C
8．解析：选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以p为假，q为假．结合各选项知B正确．
9．【解析】 x2＋ax＋10在x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔amax，
∵x＋，∴－－，∴a－.【答案】 C
10．【解析】 由正弦定理得：＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，∴＝.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝.又0＜A＜ð，∴A＝，∴B＝2A＝.∴C＝ð－A－B＝，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝＝2.【答案】 B
11[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
12、【解析】 a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·＝n2＝n2＝n2·＝n(n－1)，故选C。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．2解析：若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c¡ÊR，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题.
14．5【解析】 设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．
15．1 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
16．解析 如图，在¡¡ÂABD中，由正弦定理，得sin¡ÏADB＝＝＝。由题意知0°<¡ÏADB<60°，所以¡ÏADB＝45°，则¡ÏBAD＝180°－¡ÏB－¡ÏADB＝15°，所以¡ÏBAC＝2¡ÏBAD＝30°，所以¡ÏC＝180°－¡ÏBAC－¡ÏB＝30°，所以BC＝AB＝，于是由余弦定理，得AC＝＝＝。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．【解析】(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n¡ÊN*)，bn＝。
所以n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1。
又b1＝＝－，所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列。
(2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋。
18．解析：(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3.
由解得即2＜x≤3.所以q为真时，2＜x≤3.
若p∧q为真，则⇔2＜x＜3，所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，B＝{x|x≤2，或x＞3}，
因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以AB.
所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC
＝162＋102－2×16×10cosC，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②
由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得cosC＝.
∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°.又∠C＝∠D，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，
故AB＝14，即A、B两点的距离为14.
(2)小李的设计使建造费用最低．
理由如下：S△ABD＝AD·BDsinD，S△ABC＝AC·BCsinC.
∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC，∴S△ABD＞S△ABC.
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低．
20．【解】(1)∵函数y＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
②当a≠0时，则解得0a，即0≤a<时，a
查看更多
