数学卷·2018届江苏省扬州中学高二上学期12月月考数学试卷+（解析版）

数学卷·2018届江苏省扬州中学高二上学期12月月考数学试卷+（解析版）

‎2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是　　命题．（填“真”或“假”之一）‎ ‎2．双曲线的两条渐近线方程为　　．‎ ‎3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的　　（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）‎ ‎4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=　　．‎ ‎5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为　　．‎ ‎6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是　　．‎ ‎8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（2，3），则曲线C的方程为　　．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为　　．‎ ‎10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为　　．‎ ‎12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎13．已知函数f（x）=ex﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．设函数f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（14分）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎16．（14分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ ‎17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）‎ ‎（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为 ‎，右焦点到右准线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；‎ ‎（3）求△BCD面积的最大值．‎ ‎19．（16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．‎ ‎（1）请确定入口F的选址范围；‎ ‎（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？‎ ‎20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；‎ ‎（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；‎ ‎（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是　假　命题．（填“真”或“假”之一）‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】先判断原命题的真假性，根据原命题与命题的否定真假相反的原则即可判断命题的否定的真假 ‎【解答】解：∵x2+2≥2‎ ‎∴命题“∀x∈R，x2+2＞0”是真命题 ‎∴原命题的否定是假命题 故答案为：假 ‎【点评】有些命题的真假难以判断时，不防以怀疑的眼光看问题，用正难则反思想走到它的“背后”考虑问题．是个基础题 ‎　‎ ‎2．双曲线的两条渐近线方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 ‎ 而双曲线的渐近线方程为y=±x ‎∴双曲线的渐近线方程为 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 ‎　‎ ‎3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的　充分条件　（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=﹣1时直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．‎ ‎【解答】解：当m=﹣1时，两直线的方程mx+（2m﹣1）y+1=0，与3x+my+3=0，化为﹣x﹣3y+1=0和3x﹣y+3=0，‎ 可得出此两直线是垂直的，‎ 当两直线垂直时，‎ ‎①当m=0时，符合题意，‎ ‎②当m≠0时，两直线的斜率分别是﹣与，由两直线垂直得﹣得m=﹣1，‎ 由上知，“m=﹣1”可得出直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；‎ 由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”可得出m=﹣1或m=0，‎ 所以m=1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件 故答案为：充分条件．‎ ‎【点评】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=　　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），‎ ‎∴f′（x）=2x﹣2f′（1），‎ 令x=﹣1，则 f′（﹣1）=﹣2﹣2f′（﹣1），‎ 则f′（﹣1）=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的导数公式进行求解是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为　1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点为（2，0），由双曲线的a，b，c的关系，可得=2，解方程可得n=1．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），‎ 双曲线﹣=1的右焦点为（，0），‎ 由题意可得， =2，‎ 解得n=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和a，b，c的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　[﹣1，1]　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增 ‎∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，‎ 令cosx=t，t∈[﹣1，1]，‎ 问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，‎ 即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．‎ 故答案为：[﹣1，1]．‎ ‎【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．‎ ‎　‎ ‎7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是　（0，2）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=+2ax﹣（a+2）=，‎ ‎①a≤0时，ax﹣1＜0，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，‎ 故是函数的极小值点，不合题意，‎ ‎②0＜a＜2时，＜，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，‎ 令f′（x）＜0，解得：＜x＜，‎ ‎∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，‎ ‎∴函数f（x）在处取得极大值，符合题意，‎ ‎③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，‎ ‎④a＞2时，＞，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，‎ 令f′（x）＜0，解得：＜x＜，‎ ‎∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，‎ ‎∴函数f（x）在x=处取得极大值，不符合题意，‎ 综上，a∈（0，2），‎ 故答案为：（0，2）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（2，3），则曲线C的方程为　y2﹣x2=5　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），把点P的坐标代入即可得出．‎ ‎【解答】解：∵离心率为，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴双曲线为等轴双曲线，‎ 故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），‎ 又点P（2，3）在双曲线上，则λ=4﹣9=﹣5，‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=﹣5，‎ 即y2﹣x2=5．‎ 故答案为：y2﹣x2=5‎ ‎【点评】本题着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为　﹣3或﹣4　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由题意求导y′=2+，从而求出切线方程，从而求出截距而得到﹣2m+=12，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵y=2x﹣，∴y′=2+；‎ 故当x=1时，y=2﹣m，y′=2+m；‎ 故直线l的方程为y=（2+m）（x﹣1）+2﹣m；‎ 令x=0得，y=﹣（2+m）+2﹣m=﹣2m；‎ 令y=0得，x=+1=；‎ 故﹣2m+=12，‎ 解得，m=﹣3或m=﹣4．‎ 故答案为：﹣3或﹣4．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（0，1）　．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，‎ 画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：‎ g′（x）=，‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，‎ 又∵g（﹣x）====g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0，‎ ‎∴函数g（x）的大致图象如图所示：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ ‎∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为　[﹣，+∞）　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离+2≥3，从而可得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，‎ 即圆心C到直线的距离d+2≥3，‎ 所以+2≥3，‎ 所以k≥﹣．‎ 故答案为：[﹣，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查实数k的取值范围，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为　y=±2x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．‎ ‎【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），‎ 则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，‎ ‎∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），‎ ‎=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），‎ ‎∵AF⊥BF，‎ ‎∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，‎ 整理得：c2=x2，‎ ‎∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，‎ ‎∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴9b2+4a2≠0，‎ ‎∴b2﹣4a2=0，‎ 故b=2a，‎ 双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，‎ 故答案为：y=±2x．‎ ‎【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=ex﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是　[2，3]　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】‎ 求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，‎ 即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+﹣2的范围，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ex﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=ex﹣1+1＞0，‎ f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，‎ 存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，‎ 即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，‎ 即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，‎ 即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，‎ 令t=x+1（1≤t≤3），则t+﹣2在[1，2]递减，[2，3]递增，‎ 可得最小值为2，最大值为3，‎ 则a的取值范围是[2，3]．‎ 故答案为：[2，3]．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．设函数f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是　（﹣，）　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：当x≥2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a，此时为增函数，‎ 当x＜2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a，此时为减函数，‎ 即当x=2a时，函数取得最小值0，‎ 设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），‎ 由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，‎ 即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，‎ ‎∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1•（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1，‎ 则ex1+x2=1，即x1+x2=0，‎ ‎∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，‎ ‎∴2a＜1，解得a＜，‎ 综上﹣＜a＜，‎ 故答案为：（﹣，）．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用数形结合以及直线垂直的性质是解决本题的关键，属于中档题..‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（14分）（2015秋•常州期末）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧‎ q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，‎ ‎∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，‎ ‎∴f′（x）=0有两个不等实数根，‎ ‎∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，‎ 解得a＞4或a＜﹣1；‎ 命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，‎ 则∈（1，2），解得0＜a＜15．‎ ‎∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，‎ ‎∴p与q必然一真一假，‎ 则或，‎ 解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系以及双曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；‎ ‎（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=‎ f'（x）=x﹣‎ 由f'（x）=0解得x=‎ f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：‎ X ‎ （0，）‎ ‎ （）‎ ‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎↑‎ 所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；‎ f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．‎ ‎（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．‎ 因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e 当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0‎ 所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．‎ 当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，‎ 所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．‎ 综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．‎ ‎【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）‎ ‎（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；‎ ‎（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．‎ 因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，‎ 设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）‎ 则圆心C到直线l的距离为．…‎ 因为，‎ 而，所以，…‎ 解得m=0或m=﹣4，‎ 故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）‎ ‎（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，‎ PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，‎ 即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）‎ 因为，…（12分）‎ 所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，‎ 所以点P的个数为2．…（14分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2015•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；‎ ‎（3）求△BCD面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）利用，，计算即可；‎ ‎（2）通过设B、C点坐标、写出直线AB、AC、BD、CD的斜率，联立直线BD、CD的方程，计算即可；‎ ‎（3）通过计算可得点D的纵坐标，进而可得点D到直线BC的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：由题意得，，‎ 解得，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=4，‎ ‎∴椭圆E的标准方程为．‎ ‎（2）证明：设B（x0，y0），C（﹣x0，y0），显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，‎ 设为k1，k2，k3，k4，则，，‎ ‎∴直线BD，CD的方程为：，‎ 消去y得：，‎ 化简得x=3，故点D在定直线x=3上运动．‎ ‎（3）解：由（2）得点D的纵坐标为，‎ 又∵，∴，‎ 则，‎ ‎∴点D到直线BC的距离h=，‎ 将y=y0代入，得，‎ ‎∴△BCD面积 ‎=，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故时，△BCD面积的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积计算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016秋•盐城期中）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．‎ ‎（1）请确定入口F的选址范围；‎ ‎（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；‎ ‎（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．转化为求其最小值．‎ ‎【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），‎ 设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，‎ 而EG⊥AF，故EG的斜率为，‎ 则EG的方程为，‎ 令x=0，得； ‎ 令y=0，得； ‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ 即入口F的选址需满足BF的长度范围是（单位：km）．‎ ‎（2）因为，‎ 故该商业区的环境舒适度指数，‎ 所以要使最大，只需S1最小．‎ 设，‎ 则，‎ 令f'（a）=0，得或（舍），‎ a，f'（a），f（a）的情况如下表：‎ a ‎2﹣‎ ‎（2﹣，）‎ ‎1‎ f'（a）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（a）‎ 减 极小 增 故当，即入口F满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大．‎ ‎【点评】本题主要考查了直角坐标系在应用题中的应用，考查了利用导数研究函数单调性与函数最值，属中等题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016秋•盐城期中）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；‎ ‎（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；‎ ‎（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；‎ ‎（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；‎ ‎（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到 ‎，画出图形，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，‎ ‎∴x=，则f（）=ln﹣，‎ ‎∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；‎ ‎（2）f′（x）=，‎ 当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，‎ 故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；‎ 当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，‎ 故f（x）在[1，e2]上先增后减，故 由﹣lna﹣1=1﹣ae，a无解；‎ 当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；‎ 当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，‎ 故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；‎ 综上，a=；‎ ‎（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），‎ 令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ 又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），‎ ‎∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，‎ 即⇒，‎ 作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣或0＜t＜2．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，难度较大．‎ ‎　‎