湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：坐标系与参数方程

湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：坐标系与参数方程

湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 坐标系与参数方程 ‎1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考）在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;‎ ‎（2）若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎2、（鄂州市2019届高三上学期期中考试）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为，设直线与曲线相交于两点．‎ ‎（Ⅰ）写出直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎3、（华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数)，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P(-1，0)，直线和曲线C交于A ,B两点，求的值.‎ ‎4、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）已知曲线C的极坐标方程为，‎ 直线：，‎ 直线：，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎ （1）求直线，的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；‎ ‎ (2)已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面 ‎ 积．‎ ‎5、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）在平面直角坐标系中，已知直线(t为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ （1） 求曲线的直角坐标方程；‎ （2） 设点M的极坐标为，直线与曲线的交点，求的值。‎ ‎6、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第一次（12月）联考）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与轴的交点，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.‎ ‎7、（荆门市2019届高三元月调研）在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于A、B，求的值．‎ ‎8、（荆州市2019届高三上学期质量检查（一））直角坐标系中，曲线的参数方程为 ‎（为参数），过点作倾斜角互补的两条相交直线，，分别交曲线于，和，，设的倾斜角为 ‎（1）写出的参数方程，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）求证：‎ ‎9、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 r = 2sinq + 4cosq (0 £q < 2p ) ，点 (1，)，‎ 以 极 点 O 为 原 点 ，以 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，已 知 直 线l：(t 为参数)与曲线C 交于 A，B 两点.‎ ‎（ 1） 若 P 为曲线C 上任意一点，当| OP | 最大时，求点 P 的直角坐标；‎ ‎（ 2） 求 的值.‎ ‎10、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线，曲线 ‎．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线与轴交于两点，为上任一点，求的最小值．‎ ‎11、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.‎ ‎(1)求曲线，的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线和的焦点为，，求以为直径的圆与轴的交点坐标.‎ ‎12、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ+6cosθ．‎ ‎（1）求C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．‎ ‎13、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于两点，求的面积．‎ ‎14、（荆门市第一中学2019届高三8月月考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 ‎（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）曲线与曲线交于点、，与曲线交于点、，求 ‎15、（天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末联考） 已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；‎ ‎ (Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎16、（钟祥一中2018届高三五月适应性考试（一））在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为(2，π)，且F在直线l上．‎ ‎（1）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的值；‎ ‎（2）求曲线C内接矩形周长的最大值．‎ 参考答案：‎ ‎1、解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为.‎ 将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.……………5分 ‎（2）设，.‎ 点的极坐标化为直角坐标为.‎ 则.‎ ‎∴点到直线的距离.‎ 当，即时，等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为.……………10分 ‎2、（1），曲线，即………………4分 ‎（2）点的直角坐标为，发现在直线上且，直线的极坐标方程为 联立的参数方程与的直角方程得：，则……………7分 联立及曲线的极坐标方程得：，则，‎ 故所求为1……10分 ‎3、‎ ‎4、解：（1） 依题意，直线，的直角坐标方程分别为， ．…2分 由得，‎ 因为，所以，…………4分 所以曲线的参数方程为（为参数）．………………………………5分 ‎（2）联立得，………………………6分 同理，．……………………………………………7分 又， …………………………………………8分 所以，………………9分 即的面积为． ……………………………10分 ‎5、‎ ‎6、解：（1）曲线C的普通方程为 直线的直角坐标方程为………………4分 ‎（2）点的坐标为设直线的参数方程为 （为参数，为倾斜角）联立直线与曲线的方程得：………………6分 设对应的参数分别为，则 ‎ ‎ ………8分 且满足 故直线的倾斜角是或……………10分 ‎7、解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为………………2分 由极坐标与直角坐标互化公式得 化简得. …………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程（为参数）， ………………………………6分 即（为参数）代入圆方程得：， ……………………8分 设、对应的参数分别为、，则，，‎ 于是．…………………………………………………10分 ‎8、解：（1）：（为参数），‎ ‎（2）将的参数方程与的普通方程联立，消去，得关于的方程，设其两根为，‎ 由直线参数方程参数的几何意义知，‎ 同理 所以 ‎9、‎ ‎10、解析：（1）由，得，‎ 即的直角坐标方程为；‎ 由，得，‎ 即的直角坐标方程为．…………………………………5分 ‎（2）与轴交于点，‎ 而关于直线的对称点为，‎ ‎．‎ ‎………………………………10分 ‎11、‎ ‎12、解：（1）由ρ＝8sinθ+6cosθ，得ρ2＝8ρsinθ+6ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2﹣6x﹣8y＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25；‎ ‎（2）把代入（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，‎ 得．‎ ‎∴t1t2＝﹣20．‎ 则|PA|•|PB|＝|t1t2|＝20．‎ ‎13、解析：（1）的普通方程为，由，得，‎ 又因为，所以的直角坐标方程为．……………………4分 ‎（2）原点到直线的距离，的标准方程为，表示圆心为 ‎，半径的圆．到直线的距离，所以．‎ 所以．………………………………………………………10分 ‎14、【解析】（1）曲线的普通方程为，即.‎ 由，得，∴曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B的极坐标为，则，，∴.‎ ‎15、解：(Ⅰ) 依题意有…………………………2分 ‎ 因此 ……………………………………3分 ‎ M的轨迹的参数方程为（为参数，）……5分 ‎(Ⅱ) M点到坐标原点的距离…………7分 ‎ 当时，，故M的轨迹过坐标原点………………………………10分 ‎16、解：(Ⅰ)∵点F的极坐标为(2，π)，∴直角坐标为(－2，0)，‎ 由题意得Þm=－2，‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ=12，‎ ‎∴直角坐标方程为x2＋3y2=12. …………………………3分 将直线l的标准参数方程 (t¢为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，‎ 得t¢2－2t¢－2=0，∴t¢A•t¢B=－2‎ ‎∴ |FA|·|FB|=2. ……………………………5分 ‎(Ⅱ)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθ，2sinθ)，由对称性可得 椭圆C的内接矩形的周长为8cosθ＋8sinθ=16sin，………………8分 ‎∴当θ＋ = ，即θ = 时，椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.………10分