2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

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绝密★启用前 江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．对于实数，下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：对于A．若，若 则故A错；对于 B．若，取则是假命题；C．若，取，则是错误的， D．若，则取，又，所以，又因为同号，则 考点：不等式的性质的应用 ‎2．某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．‎ 参考数据：，）‎ A．261 B．341 C．477 D．683‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．‎ 详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.‎ 故选B .‎ 点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．‎ ‎3．已知有穷数列2，3，，满足2，3，，，且当2，3，，时，若，则符合条件的数列的个数是    ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先选出三个数确定为，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求.‎ ‎【详解】‎ 先确定，相当于从10个数值中选取3个，共有种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为，共有种选法，所以符合条件的数列的个数是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据.‎ ‎4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：‎ 参照附表，得到的正确结论是　　‎ 附：由公式算得：‎ 附表：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎1.323‎ ‎2.702‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ A．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”‎ B．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.‎ ‎【详解】‎ 因为6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.‎ ‎5．设复数（是虚数单位），则（ ）‎ A．i B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，结合二项式定理化简可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.‎ ‎6．若随机变量X的分布列：‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.2‎ m 已知随机变量且，，则a与b的值为(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据随机变量X的分布列可求m的值，结合，，可求a与b的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以,；‎ 因为，，所以 解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.‎ ‎7．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： ‎ x ‎3‎ ‎4‎ y ‎12‎ 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.‎ ‎【详解】‎ 根据实验数据可以得出，近似增加一个单位时，的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.‎ ‎8．对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．‎ 分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，问题转化为求f（x）的最小值．‎ 解：（1）设f（x）=|x+2|-|x-1|，则有f（x）=，‎ 当x≤-2时，f（x）有最小值-3；当-2≤x≤1时，f（x）有最小值-3；‎ 当x≥1时，f（x）=3．综上f（x）有最小值-3，所以，a＜-3．‎ 故答案为：B．‎ ‎9．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.‎ ‎【详解】‎ 由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有个；事件A包含的基本事件有个；在事件A发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为个，而总的基本事件为，故所求概率为,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.‎ ‎10．某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有(    ) ‎ A．96‎ B．36‎ C．24‎ D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先安排第一节的课表种，再安排第二节的课表有2种，第三节的课表也有2‎ 种，最后一节只有1种安排方案，所以可求.‎ ‎【详解】‎ 先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有种；周二的第二节不和第一节相同，也不和周一的第二节相同，共有2种安排方案，第三节和第四节的顺序是确定的；周三的第二节也有2种安排方案，剩余位置的安排方案只有1种，根据计数原理可得种，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分步计数原理的应用，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎11．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.‎ ‎【详解】‎ 该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎12．已知n元均值不等式为：，其中均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为      ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n元均值不等式可求最大值.‎ ‎【详解】‎ 设正四棱锥的底面边长为，高为，则有，解得；‎ 正四棱锥的体积 ‎，当且仅当时取到最大值，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查四棱锥体积的求解和n元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用表示取到次品的件数，则的概率是_______；_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示两件产品中，一个正品一个次品，可求概率；求出的所有取值，分别求出概率可得.‎ ‎【详解】‎ ‎,根据题意的所有取值为；，，，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的期望，明确随机变量的可能取值及分布列是求解关键.‎ ‎14．组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合所给信息，构造，利用系数相等可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，则两个展开式中的系数也相等，在中的系数为，而在 中的系数为，‎ 所以可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养.‎ ‎15．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出最近路线的所有走法共有种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率.‎ ‎【详解】‎ 最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有种，故所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎16．伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”．‎ 证明思路：‎ 图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；‎ 图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设，图2阴影区域的面积可表示为______用含a，b，c，d，的式子表示；‎ 由图中阴影面积相等，即可导出不等式当且仅当a，b，c，d满足条件______时，等号成立．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 根据勾股定理可得,,所以可得 ， ，可得图阴影部分的面积是;由可得++,- ,所以当且仅当满足条件时，等号成立.故答案为 ， .‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．‎ ‎（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和； ‎ ‎（Ⅱ）求展开式中中间项．‎ ‎【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值，然后可求各项二项式系数的和；‎ ‎（Ⅱ）根据的值确定中间项，利用通项公式可求.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，展开式的通项为：‎ ‎，且，‎ 则第五项的系数为，第三项的系数为，‎ 则有，‎ 化简，得，解得，‎ 展开式中各项二项式系数的和；‎ 由（1）知，展开式共有7项，中间项为第4项，令，得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎18．已知,且.证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；‎ ‎（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.‎ ‎【详解】‎ 证明Ⅰ，b，，且，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时，等号成立 ‎ Ⅱ，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎19．大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示．‎ ‎（Ⅰ）将表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）现从表中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．‎ 附参考公式及数据：，其中．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据总人数和表格中的数据可以完成，计算卡方观测值，结合卡方观测值所在区间判定；‎ ‎（Ⅱ）根据古典概型的求解方法求解.‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ依题意，补充完整的表1如下：‎ 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 ‎23‎ ‎7‎ ‎30‎ 女 ‎9‎ ‎11‎ ‎20‎ 总计 ‎32‎ ‎18‎ ‎50‎ 由表中数据计算的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关．‎ ‎(Ⅱ)从成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为种，‎ 这2人恰好在同一组内的基本事件为种，‎ 故所求的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验和古典概率的求解，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎20．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．‎ ‎（Ⅰ）求证；‎ ‎（Ⅱ）若平面．‎ ‎①求二面角的大小；‎ ‎②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．‎ ‎【答案】Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；‎ Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；‎ 求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.‎ ‎【详解】‎ 证明：Ⅰ在图1中，，，‎ 为平行四边形，，‎ ‎，，‎ 当沿AD折起时，，，即，，‎ 又，平面PAB，‎ 又平面PAB，．‎ 解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD 则0，，0，，1，，0，，1，‎ ‎1，，1，，0，，‎ 设平面PBC的法向量为y，，‎ 则，取，得0，，‎ 设平面PCD的法向量b，，‎ 则，取，得1，，‎ 设二面角的大小为，可知为钝角，‎ 则，．‎ 二面角的大小为．‎ 设AM与面PBC所成角为，‎ ‎0，，1，，，，‎ 平面PBC的法向量0，，‎ 直线AM与平面PBC所成的角为，‎ ‎，‎ 解得或．‎ ‎【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.‎ ‎21．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放量单位：吨的历史统计数据，得到如下频率分布表：‎ ‎ 污水量 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 频率 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ 将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；‎ ‎（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60‎ 万元为减少损失，现有三种应对方案：‎ 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费万元；‎ 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；‎ 方案三：不采取措施．‎ 试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）采取方案二最好，理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求污水排放量的概率0.25，然后再求未来3年里，至多1年污水排放量的概率；‎ ‎（Ⅱ）分别求解三种方案的经济损失的平均费用，根据费用多少作出决策.‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ由题得，‎ 设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为Y，则 设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件A，‎ 则．‎ 在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为．‎ Ⅱ 方案二好，理由如下：‎ 由题得，‎ ‎．‎ 用，，分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失,则万元．‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ 62‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 10‎ ‎ 60‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 三种方案中方案二的平均损失最小，采取方案二最好．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的分布列和期望，数学期望是生活生产中进行决策的主要指标，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎22．在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的500名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．‎ ‎ ‎ 根据上表数据统计，可知考试成绩落在之间的频率为．‎ ‎（Ⅰ）求m、n的值；‎ ‎（Ⅱ）已知本欢质检中的数学测试成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该市有4万考生，试估计数学成绩介于分的人数；以各组的区间的中点值代表该组的取值Ⅲ现按分层抽样的方法从成绩在以及之间的学生中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取4人进行试卷分析，记被抽取的4人中成绩在之间的人数为X，求X的分布列以及期望．‎ 参考数据：若，则，，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）5436； （Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据考试成绩落在之间的频率为，可知频数为140，结合样本数可求m、n；‎ ‎（Ⅱ）先求出样本数的平均数和方差，再结合正态分布求出数学成绩介于分的人数；‎ ‎（Ⅲ）求出X的所有可能取值，分别求得概率，列出分布列求出期望.‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ由题意可得解得.‎ Ⅱ依题意，‎ 成绩X 人数Y ‎30‎ ‎120‎ ‎210‎ ‎100‎ ‎40‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.24‎ ‎0.42‎ ‎0.20‎ ‎0.08‎ 故，‎ ‎．‎ 则，‎ 所以，‎ 故所求人数为．‎ Ⅲ依题意成绩在之间的抽取9人，成绩在之间的抽取3人，故X的可能取值为0，1，2，3．‎ 故，，‎ ‎，．‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故E．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用样本估计总体和随机变量的分布列及期望，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.‎