高中数学必修2教案:第四章 4_1_2圆的一般方程

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高中数学必修2教案:第四章 4_1_2圆的一般方程

‎4.1.2 圆的一般方程 ‎[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.‎ ‎[知识链接]‎ ‎1.圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,它的圆心坐标为(a,b),半径为r.‎ ‎2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内,可以利用代数法与几何法进行判断.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.圆的一般方程的定义 ‎(1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其圆心为,半径为.‎ ‎(2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点.‎ ‎(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.‎ ‎2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).则其位置关系如下表:‎ 位置关系 代数关系 点M在圆外 x+y+Dx0+Ey0+F>0‎ 点M在圆上 x+y+Dx0+Ey0+F=0‎ 点M在圆内 x+y+Dx0+Ey0+F<0‎ 要点一 圆的一般方程的概念 例1 下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.‎ ‎(1)2x2+y2-7y+5=0;‎ ‎(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;‎ ‎(3)x2+y2-2x-4y+10=0;‎ ‎(4)2x2+2y2-5x=0.‎ 解 (1)∵方程2x2+y2-7y+5=0中x2与y2的系数不相同,‎ ‎∴它不能表示圆.‎ ‎(2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项.‎ ‎∴它不能表示圆.‎ ‎(3)方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2=-5,‎ ‎∴它不能表示圆.‎ ‎(4)方程2x2+2y2-5x=0化为2+y2=2,‎ ‎∴它表示以为圆心,为半径长的圆.‎ 规律方法 二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,应满足的条件是:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0.‎ 跟踪演练1 如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的范围是________.‎ 答案  解析 由题意可知(-2)2+12-4k>0,‎ 即k<.‎ 要点二 求圆的一般方程 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.‎ 解 方法一 设△ABC的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ ‎∵A,B,C在圆上,‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=25.‎ ‎∴圆心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.‎ 方法二 设△ABC的外接圆方程为 ‎(x-a)2+(y-b)2=r2,∵A、B、C在圆上,‎ ‎∴ 解得即外接圆的圆心为(1,-1),半径为5,‎ ‎∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25,展开易得其一般方程为x2+y2-2x+2y-23=0.‎ 方法三 ∵kAB==,kAC==-3,‎ ‎∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.‎ ‎∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.‎ ‎∴圆心是线段BC的中点,‎ 坐标为(1,-1),r=|BC|=5.‎ ‎∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.‎ 展开得一般方程为x2+y2-2x+2y-23=0.‎ 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时:‎ ‎(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.‎ ‎(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D、E、F.‎ 跟踪演练2 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求三角形ABC的外接圆的方程.‎ 解 设三角形ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 由题意得解得 即三角形ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0.‎ 要点三 求动点的轨迹方程 例3 等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.‎ 解 设另一端点C的坐标为(x,y).‎ 依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得 ‎=,‎ 整理得(x-4)2+(y-2)2=10.‎ 这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示,又因为A、B、C为三角形的三个顶点,所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A 的一直径的两个端点.‎ 因为点B、C不能重合,所以点C不能为(3,5).‎ 又因为点B、C不能为一直径的两个端点,‎ 所以≠4,且≠2,即点C不能为(5,-1).‎ 故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)),它的轨迹是以点A(4,2)为圆心,‎ 为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.‎ 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.‎ ‎(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.‎ ‎(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.‎ ‎(3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.‎ 跟踪演练3 已知直角△ABC的两个顶点A(-1,0)和B(3,0),求直角顶点C的轨迹方程.‎ 解 方法一 设顶点C(x,y),‎ 因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,‎ 所以x≠3且x≠-1.‎ 又kAC=,kBC=.‎ 且kAC·kBC=-1,所以·=-1,‎ 化简得x2+y2-2x-3=0.‎ 因此,直角顶点C的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).‎ 方法二 △ABC是以C为直角顶点的直角三角形,设顶点C(x,y),因为A,B,C三点不共线,‎ 所以x≠3且x≠-1.‎ 由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,‎ 即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,‎ 化简得x2+y2-2x-3=0.‎ 因此,直角顶点C的轨迹方程为 x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).‎ ‎1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(  )‎ A.(2,3) B.(-2,3)‎ C.(-2,-3) D.(2,-3)‎ 答案 D 解析 -=2,-=-3,∴圆心坐标是(2,-3).‎ ‎2.方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆,则实数k的取值范围为(  )‎ A.k≤ B.k= C.k≥ D.k< 答案 D 解析 方程表示圆⇔1+1-4k>0⇔k<.‎ ‎3.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形为(  )‎ A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b)‎ D.点(-a,-b)‎ 答案 D 解析 原方程可化为:(x+a)2+(y+b)2=0.所以它表示点(-a,-b).‎ ‎4.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为________.‎ 答案  解析 因(x+1)2+(y-2)2=5-m,‎ ‎∴r==,∴m=.‎ ‎5.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=________.‎ 答案 3‎ 解析 圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0的距离为=3.‎ ‎1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.‎ 在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.‎ ‎2.圆的方程可用待定系数法来确定,在设方程时,要根据实际情况,设出恰当的方程,以便简化解题过程.‎ ‎3.对于曲线的轨迹问题,要作简单的了解,能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤.‎ 一、基础达标 ‎1.已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标,半径的长分别是(  )‎ A.(2,-1),3 B.(-2,1),3‎ C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9‎ 答案 A 解析 圆x2+y2-4x+2y-4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=9.‎ 故其圆心坐标为(2,-1),半径的长为3.‎ ‎2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为(  )‎ A.-2或2 B.或 C.2或0 D.-2或0‎ 答案 C 解析 由圆的方程得圆心坐标为(1,2).再由点到直线的距离公式得=,解得a=2或a=0.‎ ‎3.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2>4F)表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(  )‎ A.D=E B.D=F C.E=F D.D=E=F 答案 A 解析 方程所表示的曲线为圆,由已知,圆关于直线y=x对称,所以圆心在直线y=x上,即点在直线y=x上,所以D=E.故选A.‎ ‎4.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积最小值是(  )‎ A.3- B.3+ C.3- D. 答案 A 解析 直线AB的方程为x-y+2=0,圆心到直线AB的距离为d==,‎ 所以,圆上任意一点到直线AB的最小距离为-1,‎ S△ABC=×|AB|× ‎=×2× ‎=3-.‎ ‎5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(  )‎ A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0‎ C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0‎ 答案 C 解析 直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0,‎ 由得C(-1,2).‎ ‎∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,‎ 即x2+y2+2x-4y=0.‎ ‎6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程是________.‎ 答案 x2+y2=4‎ 解析 设M(x,y),则即 又P(x0,y0)在圆上,‎ ‎∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.‎ ‎7.设圆的方程为x2+y2-4x-5=0,‎ ‎(1)求该圆的圆心坐标及半径;‎ ‎(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.‎ 解 (1)将x2+y2-4x-5=0配方得:(x-2)2+y2=9.∴圆心坐标为C(2,0),半径为r=3.‎ ‎(2)设直线AB的斜率为k.‎ 由圆的几何性质可知:CP⊥AB,‎ ‎∴kCP·k=-1.‎ 又kCP==1,∴k=-1.‎ ‎∴直线AB的方程为y-1=-(x-3),‎ 即:x+y-4=0.‎ 二、能力提升 ‎8.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则圆心在直线上,求得a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-2+≤,ab的取值范围是,故选A.‎ ‎9.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(  )‎ A.x2+y2=4(x≠±2) B.x2+y2=4‎ C.x2+y2=2(x≠±2) D.x2+y2=2‎ 答案 A 解析 设P(x,y),则PM⊥PN.‎ 又kPM==(x≠-2),‎ kPN==(x≠2),‎ ‎∵kPM·kPN=-1,∴·=-1,‎ 即x2-4+y2=0,即x2+y2=4(x≠±2).‎ 当x=2时,不能构成以MN为斜边的直角三角形,‎ 因此不成立.同理当x=-2时也不成立.‎ 故点P的轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2).‎ ‎10.光线从点A(1,1)出发,经y轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程等于________.‎ 答案 6-2‎ 解析 ∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(-1,1),‎ ‎∴所求的最短路程为|A′C|-2,‎ ‎|A′C|==6.‎ ‎∴所求的最短路程为6-2.‎ ‎11.已知定点A(2,0),圆x2+y2=1上有一个动点Q,若线段AQ的中点为P,求动点P的轨迹.‎ 解 设动点P的坐标为(x,y),Q(x1,y1),‎ 利用中点坐标公式有即 ‎∵x+y=1,‎ ‎∴(2x-2)2+(2y)2=1,‎ ‎∴动点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=.‎ ‎∴动点P的轨迹为以(1,0)为圆心,为半径的圆.‎ 三、探究与创新 ‎12.已知一圆过P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.‎ 解 方法一 设圆的方程为:‎ x2+y2+Dx+Ey+F=0,①‎ 将P、Q的坐标分别代入①,得 令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④‎ 由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程④的两根.‎ ‎∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.⑤‎ 解②③⑤联立成的方程组,‎ 得或.‎ 故所求方程为:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.‎ 方法二 求得PQ的中垂线方程为x-y-1=0.①‎ ‎∵所求圆的圆心C在直线①上,‎ 故设其坐标为(a,a-1),‎ 又圆C的半径r=|CP|= .②‎ 由已知圆C截y轴所得的线段长为4,而圆C到y轴的距离为|a|.‎ r2=a2+2,代入②并将两端平方,‎ 得a2-6a+5=0,‎ 解得a1=1,a2=5.‎ ‎∴r1=,r2=.‎ 故所求圆的方程为:(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.‎ ‎13.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示的图形是圆.‎ ‎(1)求t的取值范围;‎ ‎(2)求其中面积最大的圆的方程;‎ ‎(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内,求t的取值范围.‎ 解 (1)已知方程可化为(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=(t+3)2+(1-4t2)2-16t4-9,‎ ‎∴r2=-7t2+6t+1>0,‎ 由二次函数的图象解得-
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