重庆市中考数学试题A卷解析版

重庆市中考数学试题A卷解析版

‎2015年重庆市中考数学试卷 数学试题（A卷）‎ ‎（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）‎ 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。‎ ‎1．（2015•重庆A）在—4，0，—1，3这四个数中，最大的数是（ ）‎ ‎ A. —4 B. ‎0 C. —1 D. 3‎ 考点：有理数大小比较． ‎ 分析：先计算| ﹣4|=4 ，| ﹣1|=1，根据负数的绝对值越大，这个数越小得﹣4 ＜﹣1，再根据正 ‎ ‎ 数大于0，负数小于0 得到﹣4 ＜﹣1＜0＜3 ． ‎ 解答：解：∵| ﹣4|=4 ，| ﹣1|=1， ‎ ‎ ∴﹣4 ＜﹣1， ‎ ‎ ∴﹣4 ，0，﹣1，3 这四个数的大小关系为﹣4 ＜﹣1＜0＜3 ． ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0 ；负数的绝对值越大，这个数 ‎ ‎ 越小． ‎ ‎2．（2015•重庆A）下列图形是轴对称图形的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D 考点：轴对称图形． ‎ 分析：根据轴对称图形的概念求解． ‎ 解答：解：A、是轴对称图形，故正确； ‎ ‎ B、不是轴对称图形，故错误； ‎ ‎ C、不是轴对称图形，故错误； ‎ ‎ D 、不是轴对称图形，故错误． ‎ ‎ 故选A． ‎ 点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称 ‎ ‎ 轴折叠后可重合． ‎ ‎3．（2015•重庆A）化简的结果是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点：二次根式的性质与化简． ‎ 分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可． ‎ 解答： ‎ ‎ 解： =2 ． ‎ ‎ 故选：B． ‎ 点评：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． ‎ ‎4．（2015•重庆A）计算的结果是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点：幂的乘方与积的乘方． ‎ 分析： 根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：① （a m）n =a mn （m ，n 是正整数）；② （ab ）n ‎ ‎ =an bn （n 是正整数）；求出 的结果是多少即可． ‎ 解答： 解： ‎ ‎ = （a 2 ）3 •b 3 ‎ ‎ = ‎ ‎ 即计算 的结果是． ‎ ‎ 故选：A． ‎ 点评：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① （a m）n =a mn ‎ ‎ （m ，n 是正整数）；② （ab ）n =an bn ． ‎ ‎5．（2015•重庆A）下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）‎ ‎ A. 调查一批电视机的使用寿命情况 ‎ ‎ B. 调查某中学九年级一班学生视力情况 ‎ ‎ C. 调查重庆市初中学生锻炼所用的时间情况 ‎ ‎ D. 调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况 ‎ 考点：全面调查与抽样调查． ‎ 分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的 ‎ ‎ 调查结果比较近似． ‎ 解答：解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故A 不 ‎ ‎ 符合题意； ‎ ‎ B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B 符合题意； ‎ ‎ C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故 ‎ ‎ C 不符合题意； ‎ ‎ D 、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D 不符合 ‎ ‎ 题意； ‎ ‎ 故选：B． ‎ 点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对 ‎ ‎ 象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义 ‎ ‎ 或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用 ‎ ‎ 普查． ‎ ‎6．（2015•重庆A）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB,CD相交于点G，H。若1=135°，则2的度数为（ ）‎ ‎ A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° ‎ ‎6题图 考点：平行线的性质． ‎ 分析：根据平行线的性质求出∠2 的度数即可． ‎ 解答：解：∵AB∥CD，∠1=135°， ‎ ‎ ∴∠2=180° ﹣135°=45°． ‎ ‎ 故选C． ‎ 点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． ‎ ‎7．（2015•重庆A）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,230,220,216,209‎ ‎，则这五个数据的中位数为（ ）‎ ‎ A.220 B. ‎218 C. 216 D. 209‎ 考点：中位数． ‎ 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数） ‎ ‎ 为中位数． ‎ 解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：198，209 ，216 ，220 ，230 ． ‎ ‎ 位于最中间的数是216 ， ‎ ‎ 则这组数的中位数是216 ． ‎ ‎ 故选C． ‎ 点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要 ‎ ‎ 先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中 ‎ ‎ 间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． ‎ ‎8．（2015•重庆A）一元二次方程的根是（ ）‎ ‎ A. 　　　 B. ‎ ‎ C. D. ‎ 考点：解一元二次方程- 因式分解法． ‎ 分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． ‎ 解答：解：， ‎ ‎ x （x ﹣2 ）=0 ， ‎ ‎ x=0 ，x ﹣2=0 ， ‎ ‎ X1 =0 ，x2 =2 ， ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一 ‎ ‎ 次方程，难度适中． ‎ ‎9、（2015•重庆A）如图，AB是的直径，点C在上，AE是的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D，　若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）‎ ‎ A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°‎ ‎9题图 考点：切线的性质． ‎ 分析：由AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线，推出AD ⊥AB，‎ ‎ ∠DAC= ∠B= ∠AOC=40°， ‎ ‎ 推出∠AOD=50°． ‎ 解答：解：∵AB 是⊙O 直径，AE 是⊙O 的切线， ‎ ‎ ∴∠BAD=90°， ‎ ‎ ∵∠B= ∠AOC=40°， ‎ ‎ ∴∠ADB=90°﹣∠B=50°， ‎ ‎ 故选B． ‎ 点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形， ‎ ‎ 求∠B 的度数． ‎ 10． ‎（2015•重庆A）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为ｔ（分钟），所走的路程为ｓ（米），ｓ与ｔ之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）‎ ‎ A．小明中途休息用了20分钟 ‎ B．小明休息前爬上的速度为每分钟‎70米 ‎ C．小明在上述过程中所走的路程为‎6600米 ‎ ‎ D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 ss‎10题图 考点：一次函数的应用． ‎ 分析：根据函数图象可知，小明40 分钟爬山‎2800 米，40～60 分 ‎ 钟休息，60～100 分钟爬山 （3800 ﹣2800 ）米，爬山的 ‎ 总路程为‎3800 米，根据路程、速度、时间的关系进行解 ‎ ‎ 答即可． ‎ 解答：解：A、根据图象可知，在40～60 分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时 ‎ ‎ 间为：60 ﹣40=20 分钟，故正确； ‎ ‎ B、根据图象可知，当t=40 时，s=2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40=70 ‎ ‎ （米/分钟），故B 正确； ‎ ‎ C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为‎3800 米，故错误； ‎ ‎ D 、小明休息后的爬山的平均速度为：（3800 ﹣2800 ）÷ （100 ﹣60 ）=25 （米/分），小 ‎ ‎ 明休息前爬山的平均速度为：2800÷40=70 （米/分钟）， ‎ ‎ 70 ＞25 ，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确； ‎ ‎ 故选：C． ‎ 点评：本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题． ‎ 11． ‎（2015•重庆A）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ① ② ③‎ ‎ A. 21 B. ‎24 C. 27 D. 30‎ 考点：规律型：图形的变化类． ‎ 分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7 求解即可． ‎ 解答：解：观察图形得： ‎ ‎ 第 1 个图形有3+3×1=6 个圆圈， ‎ ‎ 第2 个图形有3+3×2=9 个圆圈， ‎ ‎ 第3 个图形有3+3×3=12 个圆圈， ‎ ‎ … ‎ ‎ 第n 个图形有3+3n=3（n+1 ）个圆圈， ‎ ‎ 当n=7 时，3×（7+1 ）=24 ， ‎ ‎ 故选B． ‎ 点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公 ‎ ‎ 式，难度不大． ‎ ‎12．（2015•重庆A）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与轴平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图像经过A,B两点，则菱形对ABCD的面积为（ ）‎ ‎ A. 2 B. ‎4 C. D. ‎ ‎12题图 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． ‎ 分析：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E，根据A，B 两 ‎ 点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE ，再 ‎ 根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公 式：底乘高即可得出答 ‎ 案． ‎ 解答：解：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E， ‎ ‎ ∵A，B 两点在反比例函数y= 的图象上且纵坐标分别为3，1， ‎ ‎ ∴A，B 横坐标分别为 1，3， ‎ ‎ ∴AE=2 ，BE=2 ， ‎ ‎ ∴AB=2， ‎ ‎ S 菱形ABCD=底×高=2×2=4， ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是 ‎ ‎ 解题的关键． ‎ 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.‎ ‎13．（2015•重庆A）我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37000吨，把数37000用科学记数法表示为 。‎ 考点：科学记数法—表示较大的数． ‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时， ‎ ‎ 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 ‎ ‎ 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． ‎ 解答：解：将37000 用科学记数法表示为3.7×104 ． ‎ ‎ 故答案为：3.7×104 ． ‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ‎ ‎ ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． ‎ ‎14．（2015•重庆A）计算 。‎ 考点：实数的运算；零指数幂． ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得 ‎ ‎ 到结果． ‎ 解答：解：原式=1 ﹣2 ‎ ‎ = ﹣1． ‎ ‎ 故答案为：﹣1． ‎ 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ‎ ‎15、（2015•重庆A）已知,与的相似比为4:1，则与对应边的高之比为 。‎ 考点：相似三角形的性质． ‎ 分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可． ‎ 解答：解：∵△ABC∽△DEF ，△ABC 与△ DEF 的相似比为4 ：1， ‎ ‎ ∴△ABC 与△ DEF 对应边上的高之比是4 ：1， ‎ ‎ 故答案为：4 ：1． ‎ 点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解 ‎ ‎ 此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比． ‎ ‎16、（2015•重庆A）如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90°，AB=，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是 。‎ 考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形． ‎ 分析：根据等腰直角三角形性质求出∠A 度数，解直角三角形求出AC 和BC，‎ ‎ 分别求出 △ACB 的面积和扇形ACD 的面积即可． ‎ ‎16题图 解答：解：∵△ACB 是等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°， ‎ ‎ ∴∠A= ∠B=45°， ‎ ‎ ∵AB=4 ， ‎ ‎ ∴AC=BC=AB×sin45°=4 ， ‎ ‎ ∴S△ ACB= =8 ，S 扇形ACD= =2π， ‎ ‎ ∴图中阴影部分的面积是8 ﹣2π， ‎ ‎ 故答案为：8 ﹣2π． ‎ 点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用， ‎ ‎ 解此题的关键是能求出△ACB 和扇形ACD 的面积，难度适中． ‎ ‎17．（2015•重庆A）从这五个数中随机抽取一个数记为，的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围内的概率是 。‎ 考点：概率公式；解一元一次不等式组；函数自变量的取值范围． ‎ 分析：由a 的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范 ‎ ‎ 围内的有﹣3，﹣2 ，可直接利用概率公式求解即可求得答案． ‎ 解答：解：∵不等式组 的解集是：﹣ ＜x ＜ ， ‎ ‎ ∴a 的值既是不等式组 的解的有：﹣3，﹣2 ，﹣1，0， ‎ ‎ ∵函数的自变量取值范围为：2x 2+2x≠0， ‎ ‎ ∴在函数的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2 ，4 ； ‎ ‎ ∴a 的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围 ‎ ‎ 内的有：﹣3，﹣2 ； ‎ ‎ ∴a 的值既是不等式组的解，又在函数的自变量取值范围 ‎ ‎ 内的概率是： ． ‎ ‎ 故答案为： ． ‎ 点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． ‎ ‎18．（2015•重庆A）如图，矩形ABCD中，AB=,AD=10,连接BD，DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△，当射线和射线都与线段AD相交时，设交点分别F,G，若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为 。‎ ‎18题图 考点：旋转的性质． ‎ 分析：根据角平分线的性质，可得CE 的长，根据旋转的性质，可得 ‎ BC′=BC，E′C′=EC ；根据等腰三角形，可得FD 、FB 的 ‎ 关系，根据勾股定理，可得BF 的长，根据正切函数， 可得 ‎ tan ∠ABF ，tan ∠FBG 的值，根据三角函数的和差，可得AG ‎ ‎ 的长，根据有理数的减法，可得答案． ‎ 解答： 解：作FK⊥BC′于K 点，如图： ‎ ‎ 在Rt△ABD 中，由勾股定理，得 ‎ ‎ BD==14 ‎ ‎ 设DE=x ，CE=4﹣x ， ‎ ‎ 由BE 平分∠DBC，得 ‎ ‎ ． ‎ ‎ 解得x=，EC=． ‎ ‎ 在Rt△ BCE 中，由勾股定理，得 ‎ ‎ BE=． ‎ ‎ 由旋转的性质，得 ‎ ‎ BE′=BE= ，BC′=BC=10 ，E′C′=EC= ． ‎ ‎ △ BFD 是等腰三角形，BF=FD=x ， ‎ ‎ 在Rt△ABF 中，由勾股定理，得 ‎ ‎ x2 = （4 ）2 + （10 ﹣x ）2 ， ‎ ‎ 解得x= ， ‎ ‎ AF=10 ﹣ = ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 故答案为： ． ‎ 点评：本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义，利用三角 ‎ ‎ 函数的和差得出AG 的长是解题关键． ‎ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎19．（2015•重庆A）解方程组 考点：解二元一次方程组． ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：方程组利用代入消元法求出解即可． ‎ 解答：解：， ‎ ‎ ①代入②得：3x+2x ﹣4=1 ， ‎ ‎ 解得：x=1 ， ‎ ‎ 把x=1 代入①得：y= ﹣2 ， ‎ ‎ 则方程组的解为 ． ‎ 点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加 ‎ ‎ 减消元法． ‎ 20． ‎（2015•重庆A）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。‎ 求证：ADB=FCE.‎ ‎20题图 考点：全等三角形的判定与性质． ‎ 专题：证明题． ‎ 分析：根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS 得出：△ABD 与△ FEC 全等，进而得出 ‎ ‎ ∠ADB= ∠FCE． ‎ 解答：证明：∵BC=DE， ‎ ‎ ∴BC+CD=DE+CD ， ‎ ‎ 即BD=CE， ‎ ‎ 在△ABD 与△FEC 中， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ∴△ABD ≌△FEC （SAS ）， ‎ ‎ ∴∠ADB= ∠FCE． ‎ 点评：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全 ‎ ‎ 等三角形的判定和性质解答． ‎ 四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎21．（2015•重庆A） ‎ 考点：分式的混合运算；整式的混合运算． ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：（1）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结 ‎ ‎ 果； ‎ ‎ （2 ）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 ‎ ‎ 形，约分即可得到结果． ‎ 解答： 解：（1）原式=2xy ﹣y2 +x2 +2xy+y2 ‎ ‎ =4xy+x2 ； ‎ ‎ （2 ）原式= • ‎ ‎ = ． ‎ 点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ‎ 22． ‎（2015•重庆A）为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润（万元）的多少分为以下四个类型：A类（），B类()，C类()，D类()，该镇政府对辖区对辖区内所有的小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 。扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为 度。请补全条形统计图。‎ ‎（2）为进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会，计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会代表中2个来自高新区，另2‎ 个来自开发区，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率。‎ 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． ‎ 分析：（1）由题意可得该镇本次统计的小微企业总个数是：4÷ 16%=25 （个）；扇形统计图 ‎ ‎ 中B 类所对应扇形圆心角的度数为： ×360°=72°；又由A 类小微企业个数为：25 ﹣ ‎ ‎ 5 ﹣14 ﹣4=2 （个）；即可补全条形统计图； ‎ ‎ （2 ）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽取的2 ‎ ‎ 个发言代表都来自高新区的情况，再利用概率公式即可求得答案． ‎ 解答：解：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是：4÷ 16%=25 （个）； ‎ ‎ 扇形统计图中B 类所对应扇形圆心角的度数为： ×360°=72°； ‎ ‎ 故答案为：25 ，72 ； ‎ ‎ A 类小微企业个数为：25 ﹣5 ﹣14 ﹣4=2 （个）； ‎ ‎ 补全统计图：‎ ‎ （2 ）分别用A，B 表示2 个来自高新区的，用C，D 表示2 个来自开发区的． ‎ ‎ 画树状图得： ‎ ‎ ∵共有 12 种等可能的结果，所抽取的2 个发言代表都来自高新区的有2 种情况， ‎ ‎ ∴所抽取的2 个发言代表都来自高新区的概率为：． ‎ 点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点 ‎ ‎ 为：概率=所求情况数与总情况数之比． ‎ ‎23．（2015•重庆A）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.‎ ‎(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；‎ ‎(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.‎ 考点：因式分解的应用；规律型：数字的变化类． ‎ 分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出 ‎ ‎ 的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”， ‎ ‎ 设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a=d，b=c ，则 ‎ ‎ ，‎ ‎ 易证得任意四位“和谐数”都可以被 11 整除； ‎ ‎ （2 ）设能被11 整除的三位“和谐数”为：，则 ‎ ‎ 为正整数．故y=2x （1≤x≤4 ，x 为自 ‎ ‎ 然数）． ‎ 解答：解：⑴四位“和谐数”：1111，2222，3443，1221等 ‎ 任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：‎ 设四位“和谐数”是，则满足：‎ 个位到最高位排列：‎ 最高位到个位排列：‎ 由题意，两组数据相同，则：‎ 则所以四位“和谐数”能被11整数 又由于的任意性，故任意四位“和谐数”都可以被11整除 ‎⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：‎ 个位到最高位排列： ‎ 最高位到个位排列： ‎ 由题意，两组数据相同，则：‎ 故 为正整数 故 点评：本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题 ‎ ‎ 意的数． ‎ ‎24．（2015•重庆A） 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角，观测渔船N在俯角，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为‎30米.‎ ‎（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到‎1米）；‎ ‎（2）已知坝高‎24米，坝长‎100米，背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽‎3米，背水坡FH的坡度为，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？‎ ‎（参考数据：）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-坡度坡 ‎ ‎ 角问题． ‎ 分析：（1）在直角△ PEN ，利用三角函数即可求得ME 的长，根据MN=EM ﹣EN 求解； ‎ ‎ （2 ）过点D 作DN ⊥AH 于点N ，利用三角函数求得AN 和AH 的长，进而求得△ ADH ‎ ‎ 的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20 天完成，列方程求 ‎ ‎ 解． ‎ 解答：⑴在Rt△PEN中，EN=PE=‎‎30m 在Rt△PEM中，‎ ‎∴‎ 答：两渔船M、N之间的距离为‎20米 ‎⑵过点D作DN⊥AH交直线AH于点N 由题意：，‎ 在RT△DAN中，m 在RT△DHN中，m 故AH=HN-AN=42-6=‎‎36m 故需要填筑的土石方共 设原计划平均每天填筑，则原计划天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑 解得：‎ 经检验：是原分式方程的解，且满足实际意义 答：该施工队原计划平均每天填筑864的土石方 点评：本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角 ‎ ‎ 形． ‎ 五、 解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎25．（2015•重庆A）如图1，在△ABC中，ACB=90°，BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。‎ ‎（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。‎ ‎（2）如图1，求证：HF=EF。‎ ‎（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理． ‎ 分析：（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果； ‎ ‎ （2 ）如图1，连接AF ，证出△ DAE≌△ADH，△ DHF ≌△AEF ，即可得到结果； ‎ ‎ （3 ）如图2 ，取AB 的中点M，连接CM，FM，在R △ADE 中，AD=2AE，根据三 ‎ ‎ 角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由 ‎ ‎ ∠CAE=∠CAB=30°∠CMF= ∠AMF ﹣AMC=30°，证得△ ACE≌△MCF ，问题即可 ‎ ‎ 得证． ‎ 解答：⑴,‎ ‎⑵连接AF 易证：△DAE≌△ADH，故DH=AE 故 易证：△DHF≌△AEF ‎∴HF=EF ‎⑶（方法不唯一，有很多，合理即可）‎ ‎（法一）取AB的中点M，连接CM、FM 在RT△ADE中，AD=2AE FM是△ABD的中位线，故AD=2FM ‎∴FM=AE 易证△ACM为等边三角形，故AC=CM 故△ACE≌△MCF（手拉手全等模型）‎ 故易证：△CEF为等边三角形 ‎（法二）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN；延长BC至点M，使CB=CM，连接AM；延长BD交AM于点P 易证：△ADE≌△ANE，△ABC≌△AMC 易证：△ADM≌△ANB（手拉手全等模型），故DM=BN CF是△BDM的中位线，EF是△BDN的中位线 故 故△CEF为等边三角形 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确 ‎ ‎ 的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． ‎ 26． ‎（2015•重庆A）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与轴的交点为D。‎ ‎（1）求直线BC的解析式。‎ ‎（2）点E（m，0），F（m+2，0）为轴上两点，其中，，F分别垂直于轴，交抛物线与点 ‎，，交BC于点M，N，当的值最大时，在轴上找一点R，使得值最大，请求出R点的坐标及的最大值。‎ ‎（3）如图2，已知轴上一点，现以点P为顶点，为边长在轴上方作等边三角形QPC，使GP⊥轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为，设与△ADC的重叠部分面积为s，当点到轴的距离与点到直线AW的距离相等时，求s的值。‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ 考点：二次函数综合题． ‎ 分析：（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可； ‎ ‎ （2 ）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M、F′N ，用二次函数的顶点坐标求出当 ‎ ‎ m=3 时，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R 在直 ‎ ‎ 线E′F′与y 轴的交点时，|RF′ ﹣RE′|的最大值，从而求出R 点的坐标及|RF′ ﹣RE′|的最 ‎ ‎ 大值； ‎ ‎ （3 ）分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相 ‎ ‎ 应线段，在求出△ Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S ． ‎ 解答：⑴ ‎ ‎⑵‎ 故：‎ 当时，最大，‎ 此时 ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎⑶由题意，Q点在的角平分线或外角平分线上 ‎①当Q点在的角平分线上时，如图 ‎,‎ ‎△RMQ’∽△RNC，故，则 ‎△CRN∽△CWO，故 ‎∴DN=CD-CN=‎ 故 ‎②当Q点在的外角平分线上时，如图 ‎△Q’RN∽△WCO，故，故 ‎△RCM∽△WCO，故CM=‎ 在Rt△Q’MP’中，，故 在Rt△CP’S中，‎ 故S=‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的三边关系，三 ‎ ‎ 角形相似的判定与性质以及数形结合和分类讨论思想的综合运用，此题牵扯知识面 ‎ ‎ 广，综合性强，难度较大． ‎ www.czsx.com.cn