江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

南昌二中2019—2020学年度上学期期中考试 高二数学（理）试卷 一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）‎ ‎1．命题： ， ，则（ ）‎ A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ：，‎ ‎2．在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．设角A,B,C是的三个内角,则“”是“是钝角三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．若满足不等式组，则的最大值是（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎6．椭圆以点为中点的弦所在直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．直线（为参数）被曲线所截的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．设点、分别是双曲线（,）的右顶点和右焦点,直线 交双曲线的一条渐近线于点．若是等腰三角形,则此双曲线离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）‎ A．10 B．‎13 ‎ C．16 D．19‎ ‎11．已知点是椭圆上非顶点的动点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .‎ ‎14．过抛物线的焦点作直线与其交于两点，若，则 .‎ ‎15．已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为 .‎ ‎16．已知曲线（且）与直线相交于两点，且（为原点），则的值为 .‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17． （本小题10分）‎ 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根.‎ ‎（1）如果是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题12分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，设圆与直线交于点，．求的最小值．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 已知直线： 恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求定点的坐标与圆的方程；‎ ‎（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（本小题12分）‎ 已知直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；‎ ‎（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．‎ ‎22．（本小题12分）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为 ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点．‎ ‎①求证：不可能是钝角；‎ ‎②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．‎ 高二期中考试数学（理）试卷参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎11‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎45‎ ‎46‎ ‎77‎ ‎88‎ ‎99‎ ‎110‎ ‎111‎ ‎112‎ 答案 BD AB DA BA DD AC BC CD CD BB BB DB 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14. 15. （2，2） 16. ‎ 小题详解：‎ ‎1．D 由含量词的命题的否定可得选项D成立.‎ ‎2．B 由题可知：,对于中点M有，同理，对于中点M有 ，所以中点M的参数值为.‎ ‎3．A 若 ,则若是钝角三角形,则C不一定为钝角,不一定成立,故选A.‎ ‎4．A 抛物线的焦点坐标为，因此，双曲线的离心率为，所以，因此双曲线的渐近线方程为，故选A.‎ ‎5．D ‎ ‎6．C 由题意该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为，‎ 代入椭圆得，，两式相减得直线的斜率为， 因此所求直线方程为，即.‎ ‎7．C 直线（为参数）化为普通方程：直线．∵曲线，展开为，∴，化为普通方程为，即，∴圆心，．圆心C到直线距离，∴直线被圆所截的弦长=．故选C．‎ ‎8．D 显然,,所以由是等腰三角形得.易知, ,所以,‎ ‎. 解得 .故选D.‎ ‎9．D 由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以，故选D.‎ ‎10.B如图所示，根据切线，可有，，所以最小值为13.‎ ‎11．B 延长交或其延长线于点，∵，∴，又为的平分线，∴且为的中点，∵为 的中点，∴，且．∵ ，∴．∴或，∴．‎ ‎12．B 因为关于原点对称，所以也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，是直角三角形斜边的中点，所以,，所以，所以，由于，所以.‎ ‎13．‎ ‎14. 由题：，焦点坐标为（1,0），运用抛物线定义可得；，‎ ‎ 可求出直线的方程为；， 联立方程可得：.‎ ‎15．（2，2） 由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）．‎ ‎16． 则，设，，联立直线的方程和双曲线的方程消去得，‎ ‎，且，由化简得.‎ ‎17．（1）直线 的普通方程为 曲线的直角坐标系下的方程为 圆心到直线的距离为 所以直线与曲线的位置关系为相离. ‎ ‎（2）设，则. ‎ ‎18．（1）若命题是真命题，当时定义域为，不合题意 当时，由已知可得故的范围为 ‎（2）若命题是真命题，则关于的方程有实根，令，‎ ‎ ∴ ‎ 若命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假 ‎ 若真假，则； 若假真，则 综上：实数的取值范围是或.‎ ‎19．（1）由得，得，即 ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得．‎ 由，故可设，是上述方程的两根，‎ 所以，又直线过点，故结合的几何意义得 ‎，所以的最小值为．‎ ‎20．（1）由得， ，令，得，即定点的坐标为. 设圆的方程为，‎ 由条件得，解得.‎ 所以圆的方程为.‎ ‎（2）圆的标准方程为， ， 设点关于圆心的对称点为，则有，解得， ，故点的坐标为. 因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，‎ 若点为直角三角形的顶点，则有， ，‎ 若点是直角三角形的顶点，则有， ，‎ 综上， 或. ‎ ‎21．（1），‎ ‎∴椭圆的方程为 联立，‎ ‎（2）， ‎ ‎ 整理得．‎ ‎， ‎ 整理得：， 代入上式得 由此得 ，故长轴长的最大值为．‎ ‎22．（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，‎ 则，而，则，‎ 化简得：，所以曲线的方程为． ‎ ‎（2）①设直线，， 由，得， 则，． ‎ ‎，，‎ ‎， 则不可能是钝角． ‎ ‎②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;‎ ‎，则，则，‎ 则，‎ 而，由得，， 所以存在点． ‎