人教A版文科数学课时试题及解析（40）空间几何体的表面积和体积

人教A版文科数学课时试题及解析（40）空间几何体的表面积和体积

课时作业(四十) [第 40 讲 空间几何体的表面积和体积] [时间：45 分钟 分值：100 分] 基础热身 1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图 K40－1(单位： cm)，则该几何体的表面积为 ( ) A．12π cm2 B．15π cm2 C．24π cm2 D．36π cm2 图 K40－1 图 K40－2 2． 图 K40－2 是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3，则图中正视图所标 a＝ ( ) A．1 B. 3 2 C. 3 D．2 3 3．一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为( ) A．8π B．4π C.32π 3 D.4 2 3 π 4．已知正五棱台的上、下底面边长分别为 4 cm 和 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧面 积为________． 能力提升 5． 图 K40－3 是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( ) A．6π B．12π C．18π D．24π 图 K40－3 图 K40－4 6． 已知某个几何体的三视图如图 K40－4(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数 据，这个几何体的体积是( ) A．288＋36π B．60π C．288＋72π D．288＋18π 7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32 3 π，那 么这个三棱柱的体积是( ) A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3 8．如图 K40－5，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB， EF＝3 2 ，EF 与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( ) A.9 2 B．5 C．6 D.15 2 图 K40－5 图 K40－6 9．如图 K40－6，半径为 2 的半球内有一内接正三棱锥 P－ABC，则此正三棱锥的侧面 积是( ) A．3 5 B．5 13 C．3 15 D．4 15 10． 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 K40－7 所示，则其表面积等于 ________． 图 K40－7 图 K40－8 11． 一个几何体的三视图如图 K40－8 所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3. 图 K40－9 12．长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积为 V，P 是 DD1 的中点，Q 是 AB 上的动点，则四 面体 P－CDQ 的体积是________． 13．圆锥的底面半径为 3，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________． 14．(10 分)已知某几何体的俯视图是如图 K40－10 所示的矩形，正视图是一个底边长 为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形． (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 图 K40－10 15．(13 分)圆锥底面半径为 5 cm，高为 12 cm，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的 侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积为最大？最大 值是多少？ 图 K40－11 难点突破 16．(12 分)如图 K40－12 所示，从三棱锥 P－ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA、PB、PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3，且 P2P1＝P2P3. (1)在三棱锥 P－ABC 中，求证：PA⊥BC； (2)若 P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥 P－ABC 的体积． 图 K40－12 课时作业(四十) 【基础热身】 1．C [解析] 该几何体是底面半径等于 3，母线长等于 5 的圆锥，其表面积 S 表＝π×3×5 ＋π×32＝24π(cm2)． 2．C [解析] 由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得 V ＝1 2 ×2×a×3＝3 3， ∴a＝ 3. 3．A [解析] 如图，设截面的半径为 r，则πr2＝π，r＝1，又已知球心与截面的距离 d ＝1，则球的半径 R＝ r2＋d2＝ 2，球的表面积 V＝4πR2＝8π. 4．50 6 cm2 [解析] 侧面高为 52－1＝2 6，所以侧面积为 S＝5×4＋6×2 6 2 ＝ 50 6(cm2)． 【能力提升】 5．B [解析] 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为 1，下底半径为 2， 母线长为 4，所以该几何体的侧面积为π×(1＋2)×4＝12π.故选 B. 6．A [解析] 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体 的长、宽、高分别为 8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为 3、高为 8. 因此该几何体的体积 V＝8×6×6＋1 2 ×π×32×8＝288＋36π. 7．D [解析] 由4 3πR3＝32 3 π，∴R＝2，∴正三棱柱的高 h＝4，设其底面边长为 a，则1 3 × 3 2 a ＝2，∴a＝4 3， ∴V＝ 3 4 ×(4 3)2×4＝48 3. 8．D [解析] 如图所示，连接 EB，EC，AC. 四棱锥 E－ABCD 的体积 VE－ABCD＝1 3 ×32×2＝6. 由于 AB＝2EF，EF∥AB，所以 S△EAB＝2S△BEF. ∴VF－BEC＝VC－EFB＝1 2VC－ABE＝1 2VE－ABC＝3 2 ， ∴VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VF－BEC＝6＋3 2 ＝15 2 . 9．C [解答] 设球心为 O，连接 PO、AO、BO. 因为 P－ABC 是正三棱锥，所以 PO⊥底面 ABC，且 PO＝AO＝2，所以 PA＝2 2.作 PD ⊥AB 于 D，则 D 为 AB 的中点．连接 OD. △AOB 中，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2， 所以 AB＝2 3，DO＝1. 在 Rt△POD 中，得 PD＝ 5， 所以棱锥的侧面积为 3×1 2·AB·PD＝3 2 ×2 3× 5＝3 15.故选 C. 10．6＋2 3 [解析] 由正视图可知，该三棱柱是底面边长为 2，侧棱长为 1 的正三棱柱， 其表面积为 2× 3 4 ×4＋3×2×1＝6＋2 3. 11．4 [解析] 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长 和宽都为 1，高为 2 的长方体叠加而成，故其体积 V＝2×1×1＋1×1×2＝4. 12. 1 12V [解析] 设长方体的长、宽、高分别为 AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有 V＝abc. 由题意知 PD＝1 2c，S△CDQ＝1 2·CD·AD＝1 2ab， ∴VP－CDQ＝1 3S△CDQ·PD＝1 3 ×1 2ab×1 2c＝ 1 12abc＝ 1 12V. 13．4π [解析] 如图，球心为 O，圆锥底面圆心为 O1，OO1 为球半径，AO1 为圆锥底 面圆半径，∠O1AO＝30°，OO1＝ 3 3 AO1＝1，所以球的表面积为 4π. 14．[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为 4，顶点在底面的射影是矩形 中心的四棱锥． (1)V＝1 3 ×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥有两个侧面 PAD、PBC 是全等的等腰三角形，且 BC 边上的高为 h1＝ 42＋ 8 2 2＝4 2，另两个侧面 PAB、PCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为 h2＝ 42＋ 6 2 2＝5， 因此侧面积 S＝2 1 2 ×6×4 2＋1 2 ×8×5 ＝40＋24 2. 15．[解答] 作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为 x，内接 圆柱的高为 h，则有 12－h x ＝12 5 ， ∴h＝12－12 5 x， 因此内接圆柱的表面积是 x 的函数， S 圆柱侧＝2πxh＝2πx 12－12 5 x (0＜x＜5)，S 底＝πx2， ∴S 圆柱全＝2πx 12－12 5 x ＋2πx2＝2πx 12－7 5x ＝10π 7 ·7x 5 12－7 5x ≤10π 7 ×62＝360 7 π(cm2)． 当且仅当7x 5 ＝12－7 5x，即 x＝30 7 时，等号成立． 因此，当内接圆柱的底面半径为30 7 cm 时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是360 7 π cm2. 【难点突破】 16．[解答] (1)证明：由题设知 A、B、C 分别是 P1P3，P1P2，P2P3 的中点，且 P2P1＝P2P3， 从而 PB＝PC，AB＝AC. 取 BC 的中点 D，连接 AD、PD， 则 AD⊥BC，PD⊥BC， ∴BC⊥面 PAD，故 PA⊥BC. (2)由题设有 AB＝AC＝1 2P1P2＝13， PA＝P1A＝BC＝10， PB＝PC＝P1B＝13， ∴AD＝PD＝ AB2－BD2＝12. 在等腰三角形 DPA 中， 底边 PA 上的高 h＝ AD2－ 1 2PA 2＝ 119， ∴S△DPA＝1 2PA·h＝5 119. 又 BC⊥面 PAD， ∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA ＝1 3BD·S△DPA＋1 3DC·S△PDA ＝1 3BC·S△PDA＝1 3 ×10×5 119＝50 3 119.