陕西省西安市西安中学2020届高三上学期10月月考数学试题

陕西省西安市西安中学2020届高三上学期10月月考数学试题

西安中学高2020届高三第一次月考 文科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得 ：，且：，‎ 据此有：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.若集合,集合,则图中阴影部分表示 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.‎ ‎【详解】因为阴影部分是：；‎ 又因为，所以或，所以或，所以 ‎，又因为，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.‎ ‎3.设，是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.‎ 考点：充分必要条件、向量共线 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.设,,则   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.‎ ‎5.若直线被圆截得弦长为4，则最小值是（ ）‎ A. 9 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，‎ 它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；‎ 设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，‎ 可得直线经过圆心，故有﹣‎2a﹣2b+2=0，‎ 即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 ‎=（ ）（a+b）=5+≥5+2‎ 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎6.函数在的图像大致是(    )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.‎ ‎【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.‎ ‎7.如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.‎ ‎【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则可得，‎ ‎，‎ 设异面直线与所成的角为,‎ 则，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．‎ ‎【详解】在△ABC中，∵cos2，‎ ‎∴‎ ‎∴1+cosA1，即cosA，‎ ‎∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，‎ ‎∴cosC＝0，‎ ‎∴C直角．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．‎ ‎9.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎10.如图，在中，已知，，，，则 A. -45 B. ‎13 ‎C. -13 D. -37‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用和表示出 ‎ 再根据，用用和表示出，再根据求出的值，最后将的值代入，从而得出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ∴ ‎ 整理可得：， ‎ ‎∴， ∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．‎ ‎11.定义在上的偶函数满足，对且，都有 ‎，则有（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．‎ 考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．‎ ‎12.设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是 A. （﹣∞，ln2﹣1） B. （﹣∞，ln2﹣1]‎ C. （1﹣ln2，+∞） D. [1﹣ln2，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，‎ 且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，‎ ‎∴f（x）在[a，b]上是增函数；‎ ‎∴ ， 即 在（0，+∞）上有两根，‎ 即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点， g′（x）= ，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞2，‎ 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，‎ 故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2， 故选C：．‎ 点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知向量,的夹角为,且,则=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将待求向量的模长平方后再开方，中间根据数量积计算公式计算.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的计算，难度较易.计算两个向量相加或者相减所得到的向量的模长，可通过先将模长平方再开方，中间利用数量积公式和已知条件去计算结果.‎ ‎14.若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．‎ ‎【详解】由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），‎ 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，‎ 经过点A（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，‎ 将A的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，‎ 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎15.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＝b2+c2bc，sinC＝2cosB，则B的大小为________________‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据余弦定理求解的值，然后利用三角恒等变换求解的大小.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，所以；‎ 又，所以，所以，所以，因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，难度一般.三角形中已知一个角，给出另外两个角的三角函数关系时，可通过将角度统一然后利用辅助角公式等完成角度的求解.‎ ‎16.已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号 ‎ 函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；‎ 函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；‎ 若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用辅助角公式将函数化简，然后再从单调区间、对称中心、图象平移、函数与方程四个方面逐项分析.‎ ‎【详解】，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；‎ 因为，所以不是对称中心，故错误；‎ 的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；‎ 因为，作出在上的图象如下图所示：‎ 与有且仅有三个交点：‎ 所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；‎ 故填写：①③④.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用，难度一般.（1）的对称中心处所对应的函数值为，对称轴处所对应的函数值为最值；（2）分析方程的解的个数时，可以借助两个函数图象的交点个数来分析.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ ‎17.已知,,且函数．‎ 求的对称轴方程；‎ 在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,求b的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2）先根据条件计算的值，再根据正弦定理计算的值.‎ ‎【详解】解：,令,‎ 可得,即的对称轴方程为,；‎ ‎,,得,‎ 当时,,,,‎ ‎​由正弦定理可得, ．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：；（2）利用正、余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.‎ ‎18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ 合计 ‎70‎ ‎100‎ ‎（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？‎ ‎（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.‎ 附：，‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表． （2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ 所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.‎ ‎（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：‎ ‎，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事件：，，，，，，‎ 所以所求概率是.‎ ‎19.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C的参数方程为（为参数）‎ 求直线L和曲线C的普通方程；‎ 在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值 ‎【答案】（1）直线L的普通方程为：；曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1；（2）点Q坐标为，距离最小值为2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标的互化得到的普通方程，根据圆的参数方程相关知识得到的普通方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性计算点到直线距离的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，‎ ‎∴直线L的普通方程为：，‎ ‎∵曲线C的参数方程为（α为参数），‎ ‎∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．‎ ‎（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：‎ ‎，‎ 当时，即，dmin=2，‎ 此时点Q坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式；（2）求解曲线上一点到直线的距离最值，常用的方法是：设出点的参数形式（三角函数形式更方便），利用点到直线的距离公式结合三角函数中的辅助角公式即可计算出对应的距离最值，同时注意取等号的条件.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（）解不等式．‎ ‎（）若对任意，都有，使得成立，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．‎ ‎（2）利用条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．‎ ‎【详解】（）由，得，‎ ‎∴，‎ 得不等式的解为．‎ 故解集为：‎ ‎（）因为任意，都有，使得成立，‎ 所以，‎ 又，‎ ‎，所以，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．‎ ‎21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，‎4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22.已知函数． ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明：对任意的,．‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求出导函数，对参数a进行分类讨论，得出导函数的正负，判断原函数的单调性；（Ⅱ）整理不等式得ex-lnx-2＞0，构造函数h（x）=ex-lnx-2，则可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即得出函数的最小值为h(x)min＝h(x0)＝ex0−lnx0−2＝即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，即原不等式成立.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 由已知得．‎ 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．‎ 当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；‎ 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（Ⅱ）证明：当a=1时，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可变为ex﹣lnx﹣2＞0，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，‎ 而， ‎ 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．‎ 当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增； 所以．‎ 即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，‎ 所以对任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查了零点存在性定理，不可解的零点问题，属于中档题. ‎